《高职应用数学》教案 第24课 不定积分的积分方法

第24课不定积分的积分方法课题不定积分的积分方法课时2课时（90min）教学目标知识技能目标1．熟练掌握不定积分的第一类换元积分法（凑微分）2．了解不定积分的第二类换元积分法3．掌握不定积分的分部积分法思政育人目标：通过讲解不定积分的积分方法，培养学生的逻辑推理能力，锻炼学生的开放创新思维；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神；引导学生运用所学知识揭示生活中的奥秘，在实践中深化认识，达到学以致用的目的教学重难点教学重点：不定积分的第一类换元积分法、不定积分的第二类换元积分法、不定积分的分部积分法教学难点：掌握不定积分的第一类换元积分法（凑微分）教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第一节课：课前任务→考勤（2min）→复习（10min）→讲授新课（33min）第二节课：讲授新课（22min）→课堂测验（10min）→课堂指导（10min）→课堂小结（3min）→课后拓展教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课课前任务【教师】和学生负责人取得联系，布置课前任务，提醒同学做完作业，在指定时间内交齐【学生】做完作业，在指定时间内交齐【教师】通过文旌课堂APP或其他学习软件，布置课前问答题：不定积分的第一类换元积分法（凑微分）、第二类换元积分法、分部积分法是怎样的？如何应用？被积函数分别有什么特点？【学生】查找资料，预习教材通过课前的预热，让学生了解所学科目的大概方向，激发学生的学习欲望考勤（2min）【教师】清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况复习（10min）【教师】提前设计好上节课的复习题目，并针对学生存在的问题及时讲解【学生】做复习题目复习上节课所学内容，为讲授新课打好基础讲授新课（33min）【教师】引入课题——换元积分法和分部积分法利用不定积分的基本积分公式及性质可以求出一些不定积分，但这种方法只能求一些简单的不定积分，对于一些复杂的积分（如等），靠上述方法是解决不了的．为了能求出更多的不定积分，有必要研究求不定积分的其他方法．本节我们将介绍求不定积分的两种主要方法：换元积分法和分部积分法．换元积分法可分为第一换元积分法（凑微分法）和第二换元积分法（去根号法）两种．【教师】讲解不定积分的第一类换元积分法（凑微分），将凑微分的方法分成三类，针对每一类，从易到难的列举例题，反复讲解，总结被积函数的特点规律，使学生达到熟练掌握的目的定理1（第一换元积分法）设函数具有原函数，且可导，则函数是函数的原函数，即有换元公式．上述积分方法称为第一换元积分法，也称为凑微分法．例1求．例1解将进行配凑，因为，所以．（例2～例4详见教材）从以上例子可以看出，第一换元积分法的关键在于“配凑”．为方便计算，下面给出一些常用的凑微分公式供大家参考．（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）．替换变量是为了计算上的方便，在计算熟练的基础上，我们可以省略设中间变量的步骤．例5求．例5解因为，所以．（例6～例9详见教材）【教师】讲解第二换元积分法，并通过例题介绍简单根式换元法和三角换元法的应用通过上面的学习，我们可以总结出，第一换元积分法在运算过程中比较适合求解复合函数的积分问题，但有些积分不能通过第一换元积分法来求解，我们该怎样来计算呢？定理2（第二换元积分法）设是单调、可导的函数，且．又设具有原函数，则有换元公式，其中，为的反函数．第二换元积分法主要包括两种方法：简单根式换元法和三角换元法．下面通过例子来介绍这两种方法．1）简单根式换元法例10求．例10解求这个积分的主要困难是，所以令，则，显然，于是．例11求．例11解为了去掉根号，设，则，，于是．2）三角换元法例12求．例12解设，则．令，于是得．因为，，所以．例13求．例13解设，则．令，于是得，所以．又因为，且，所以．一般被积函数含有时，宜采用三角换元法．（1）当被积函数含有时，设；（2）当被积函数含有时，设；（3）当被积函数含有时，设．【教师】介绍补充的积分公式利用换元法求得的一些积分结果，可以作为补充的积分公式，便于今后做题时使用．（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）．【学生】理解、掌握不定积分的第一类换元积分法（凑微分），了解不定积分的第二类换元积分法学习不定积分的第一类换元积分法（凑微分）和第二类换元积分法。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化第二节课讲授新课（22min）【教师】讲解不定积分的分部积分法，通过由易到难的例题使学生掌握其应用前面在复合函数微分法的基础上得到了换元积分法，现在我们利用函数乘积的微分运算来推导分部积分法．设函数具有连续导数，则这两个函数乘积的导数为，即．对上式的两边求不定积分，有，即，上式可简记为．此公式为分部积分公式．在运用分部积分公式时，应当正确选取函数和函数，下面举例来说明．例14求．例14解设，于是，所以．（例15～例21详见教材）【学生】理解、掌握不定积分的分部积分法学习不定积分的分部积分法。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验（10min）☞教师在文旌课堂APP或其他学习平台中发布测试的题目，并让学生加入测试。【教师】从教材配套题库中选择几道题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象课堂指导（10min）☞选出优秀学生带动、指导其他同学掌握知识点【教师】公布题目的正确答案，让答题快且正确的同学上台解答，为同学们做示范。如果题目比较难，无人答对则老师示范【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧以学生为主体，针对学生接受能力的差异性，让优秀学生带动其他学生掌握知识点课堂小结（3min）【教师】简要总结本节课的要点本节课上大家掌握了不定积分的第一类换元积分法（凑微分），了解了不定积分的第二类换元积分法，并掌握了不定积分的分部积分法，课后要多加练习，巩固认知【学生】总结回顾知识点【教师】布置课后作业：习题5-4总结知识点，巩固印象课后拓展【教师】在文旌课堂APP或其他学