《高职应用数学》教案 第13课 隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数

第13课隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数课题隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：1．理解隐函数的导数，及其求导方法2．掌握由参数方程确定的函数的求导方法3．掌握利用对数求导法求导的方法思政育人目标：通过讲解不同类型函数的求导方法，使学生认识到针对不同问题，要用不同的方法去解决，不能千篇一律、不知变通；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神；引导学生运用所学知识揭示生活中的奥秘，在实践中深化认识，达到学以致用的目的教学重难点教学重点：隐函数的求导方法教学难点：利用复合函数的求导法则对隐函数进行求导教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第一节课：课前任务→考勤（2min）→复习（10min）→讲授新课（33min）第二节课：讲授新课（16min）→课堂测验（13min）→课堂指导（13min）→课堂小结（3min）→课后拓展教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课课前任务【教师】和学生负责人取得联系，布置课前任务，提醒同学做完作业，在指定时间内交齐【学生】做完作业，在指定时间内交齐【教师】通过文旌课堂APP或其他学习软件，布置课前问答题：（1）什么是隐函数？（2）什么是（3）什么是对数求导法？【学生】查找资料，预习教材通过课前的预热，让学生了解所学科目的大概方向，激发学生的学习欲望考勤（2min）【教师】清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况复习（10min）【教师】提前设计好上节课的复习题目，并针对学生存在的问题及时讲解【学生】做复习题目复习上节课所学内容，为讲授新课打好基础讲授新课（33min）【教师】讲解隐函数的导数，并通过例题介绍其求导方法用解析法表示函数通常有两种不同的方式：一种是由的形式给出的自变量为的函数，称为显函数，如，，等均为显函数；另一种是由方程的形式所确定的自变量为的函数，称为隐函数，如，等均为隐函数．显函数与隐函数都反映了变量之间存在的某种依赖关系，只是表达形式不同．有些隐函数可以化为显函数，如可化为；有些隐函数则不能化为显函数，如．因此，在求隐函数的导数时，希望能找到一个不需要把隐函数化为显函数，而直接由方程求出导数的方法．利用复合函数的求导法则，就能解决一般隐函数的求导问题．下面通过实例介绍隐函数的求导方法．例1求由方程所确定的隐函数的导数．例1解将方程的两边同时对求导，并注意到是的函数，则是的复合函数，利用导数的基本公式，函数和、差、积、商的求导法则，以及复合函数的求导法则，得，即，解出得．例2求由方程所确定的函数在点处的导数．例2解将方程两边同时对求导，得，即，合并含项，得

．解出，得．由原方程知，当时，．因此在点处的导数为．由以上两例可以得出求隐函数的导数的方法：求由方程所确定的隐函数的导数时，将方程的两边同时对自变量求导，注意到是的函数，的函数则是的复合函数，利用导数的基本公式，函数和、差、积、商的求导法则，以及复合函数的求导法则，解出，就得到隐函数的导数．（例3～例5详见教材）【教师】讲解由参数方程确定的函数的求导方法，并通过例题介绍其应用呢？在式中，如果函数具有单调连续反函数，且此反函数与函数构成复合函数，那么由参数方程所确定的函数可以看成由函数，复合成的函数．因此，根据复合函数的求导法则与反函数的求导法则，有．例6求由参数方程所确定的函数的导数．例6解因为，所以．例7求摆线在时相应点处的切线方程．例7解当时，摆线上相应点的坐标为．因为，，即，所以，摆线在点处的导数为．因此，摆线在点处的切线方程为，即．【学生】理解隐函数的导数、掌握其求导方法；理解由参数方程确定的函数的求导方法学习隐函数的导数，及其求导方法，以及由参数方程确定的函数的求导方法。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化第二节课讲授新课（16min）【教师】讲解对数求导法，并通过例题介绍其应用有时我们会遇到这样一种情形：虽然给定的函数是显函数，但是直接求它的导数很困难或很麻烦，如幂指函数、多个函数相乘的函数等。对此，可以先将等式两边同时取对数，使其转化为隐函数，再利用隐函数求导法求出导数．这种方法就是对数求导法．例8求的导数．例8解等式两边同时取自然对数，得．上式两边同时对求导，得，所以．例9求函数的导数．例9解等式两边同时取自然对数，得．将上式两边同时对求导，得．于是．【学生】理解利用对数求导法求导的方法学习对数求导法。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验（13min）☞教师在文旌课堂APP或其他学习平台中发布测试的题目，并让学生加入测试。【教师】从教材配套题库中选择几道题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象课堂指导（13min）☞选出优秀学生带动、指导其他同学掌握知识点【教师】公布题目的正确答案，让答题快且正确的同学上台解答，为同学们做示范。如果题目比较难，无人答对则老师示范【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧以学生为主体，针对学生接受能力的差异性，让优秀学生带动其他学生掌握知识点课堂小结（3min）【教师】简要总结本节课的要点本节课上大家理解了隐函数的导数，及其求导方法，掌握了由参数方程确定的函数的求导方法，以及利用对数求导法求导的方法，课后要多加练习，巩固认知【学生】总结回顾知识点【教师】布置课后作业：习题3-4总结知识点，巩固印象课后拓展【教师】在文旌课堂APP或其他学习平台上共享本节课知识相关的学习链接【学生】登录文