组合数学题库答案

./填空题1．将5封信投入3个邮筒,有_____243_种不同的投法．2．5个男孩和4个女孩站成一排。如果没有两个女孩相邻,有43200方法．3．22件产品中有2件次品,任取3件,恰有一件次品方式数为__380______．4．所有项的系数和是_64__．答案：645．不定方程的非负整数解的个数为_6___．6．由初始条件及递推关系确定的数列叫做Fibonacci数列7．〔3x-2y20的展开式中x10y10的系数是．8．求6的4拆分数2．9．已知在Fibonacci数列中,已知,试求Fibonacci数1094610．计算〔DA．5B.8C.10D.6选择题1．集合的非空真子集的个数为〔AA.1022B.1023C.1024D.10212．把某英语兴趣班分为两个小组,甲组有2名男同学,5名女同学；乙组有3名男同学,6名女同学,从甲乙两组均选出3名同学来比赛,则选出的6人中恰有1名男同学的方式数是〔DA．800B.780C.900D.8503．设满足条件,则有序正整数对的个数为〔DA.100B.81C.50D.454．求中项的系数是〔CA.1450B.60C.3240D.34605．多项式中项的系数是〔CA．78B.104C.96D.486．有4个相同的红球,5个相同的白球,那么这9个球有〔B种不同的排列方式A.63B.126C.252D.3787．递推关系的特种方程有重根2,则〔B是它的一般解A．B.C.D.8．用数字1,2,3,4〔数字可重复使用可组成多少个含奇数个1、偶数个2且至少含有一个3的位数〔运用指数生产定理A.B.C.D.9．不定方程正整数的解的个数为多少？〔A/C不确定A.B.C.D.10．的非负整数解个数为〔AA.120B.100C.85D.5011．从1至1000的整数中,有多少个整数能被5整除但不能被6整除？〔AA.167B.200C.166D.3312．期末考试有六科要复习,若每天至少复习完一科〔复习完的科目不再复习,5天里把全部科目复习完,则有多少种不同的安排？〔DA.9B.16C.90D.180013．某年级的课外学科小组分为数学、语文二个小组,参加数学小组的有23人,参加语文小组的有27人；同时参加数学、语文两个小组的有7人。这个年级参加课外学科小组人数〔C。A．50 B．57 C．43 D．1114．将11封信放入8个信箱中,则必有一个信箱中至少有〔B封信。A、1B、2C、3D、415．组合式与下列哪个式子相等？〔BA、B、+C、D、16．在{1,2,3,4,5,6}全排列中,使得只有偶数在原来位置的排列方式数为〔A。A、2B、4C、9D、2417．若存在一递推关系则<A>.A.B.C.D.18．递推关系的特解形式是〔B〔为待定系数A.B.C.D.19．错位排列数<C>答案：CA.B.C.D.20．有100只小鸟飞进6个笼子,则必有一个笼子至少有〔C只小鸟A.15B.16C.17D.1821．10个节目中有6个演唱,4个舞蹈,今编写节目单,要求任意两个舞蹈之间至少有1个演唱,问可编写出多少种不同的演出节目单？22．数列的生成函数是〔D。A、B、C、D、23．6个男孩和4个女孩站成一圈,如果没有两个女孩相邻,有〔C种排法。A、B、C、D、24．排A,B,C,D,E,F六个字母,使A,B之间恰有2个字母的方式数〔D。A、12B、72C、36D、14425．求多重集的8-排列数是〔CA.700B.140C.1260D.120026．一糕点店生产8种糕点,如果一盒装有12块各种糕点,并且可以认为每种糕点无限多,那么你能买到多少种不同的盒装糕点〔假设装盒与顺序无关？〔BＡ．50000Ｂ．50388Ｃ．55000Ｄ．5278827．在一次聚会上有15位男士和20位女士,则形成15对男女一共有多少种方式数〔AA．B.C.D.28．的生成函数是〔DA．B.C.D.计算题试确定多重集的组合数。解：把S的r—组合分成两类：①包含的组合：这种组合数等于即②不包含的组合：这种组合数等于组合数即由加法法则,所求的组合数为2．求的6-排列数解：根据题意有：则的全排列数3．求展开式中的系数4．求的展开式中的系数,其中。〔解：=。又因为所以的系数为〔5．<1>求的生成成函数。〔解：设,则<2>解递归关系：,。答案：解特征方程x2-4x-4=0x1=x2=2.得H<n>=2n{1+n/2}6．求重集的10-组合数。答案：C<10+3-1,10>7．的展开式在合并同类项后一共有多少项？答案：C<100+4-1,100>.8．解递推关系〔解：递推关系〔1的特征方程为,特征根为故其通解为因为〔1式无等于1的特征根,所以递推关系〔2有特征根,其中A和B是待定常数,代入〔2式得化简得所以解之得于是其中是待定常数。由初始条件得解之得所以9.解递推关系〔解：递推关系〔1的特征方程为,特征根为故其通解为因为〔1式无等于1的特征根,所以递推关系〔2有特征根,其中A和B是待定常数,代入〔2式得化简得所以解之得于是其中是待定常数。由初始条件得解之得所以答案：10．求1到1000之间不能被5,6,或8整除的自然数的个数。解：设A为1至1000的整数中能被5整除的数的个数；B为1至1000的整数中能被6整除的数的个数；C为1至1000的整数中能被8整除的数的个数.则所以即所求为：.11．在所有的位数中,包含数字3、8、9但不包含数字0、4的数有多少？解：除去0、4,则在1、2、3、5、6、7、8、9这8个数组成的位数中:令表示由这8个数字组成的所有位数的集合,则；令表示具有性质：一个位数不包含3；令表示具有性质：一个位数不包含8；令表示具有性质：一个位数不包含9；令表示中具有性质的元素构成的集合则有容斥原理,而,所以12．求的展开式中的系数。解：原式==所以的系数=80请确定在的展开式中项的系数。试确定多重集的组合数。解：构造多重集S’={∞*b1,∞*b2,∞*b3,∞*b4},令S’的所有10−组合构成的集合为S,有|S|=C<4+10-1,10>。令B为至少出现4个b2的组合构成的集合,C为至少出现6个b3的组合构成的集合,D为至少出现8个b4的组合构成的集合。由于B中的每一个10−组合至少含有4个b2,故这样的一个组合相当于S’的一个6−组合,反之,S’的一个6−组合加上4个b2就得到了B的一个10−组合。这两种选法是一一对应的。故|B|=C<4+6-1,6>,同理有|C|=C<4+4-1,4>,|D|=C<4+2-1,2>。类似的分析可得|B∩C|=C<4+0-1,0>,|B∩D|=0,|C∩D|=0,|B∩C∩D|=0。根据容斥原理,S的10−组合数为286-<84+35+10>+<1+0+0>-0=15814．解递推关系：解：特征方程为,特征根为所以对应的齐次递推关系式有的通解原递推式有特解为,代入原递推式得A=1,D=2,因此原递推式有通解,再将代入通解得,所以14.有红球4个,黄球3个,白球3个,把它们排成一条直线,有多少种排法？解：由定理得：15．求的5-可重排列数。解法1：所以的系数为：则的系数为：〔=25的5-排列数有,,三种情况。15．求的正整数解的个数解：证明题1．证明：边长为4的正三角形任意5个点必有两点其距离不超过2。答案：取个边中点将三角形等分为四个边长为2的三角形。则5个点中必然有两个落在同一个三角形。设是个正整数,证明其中存在着连续的若干数,其和为的倍数。3.设是元集,则的子集数是。4．某学生在37天里共做了60道数学题。已知他每天至少做1道题,求证：必存在连续的若干天,在这些天里该学生恰做了13道数学题。证明：设该同学从第1天至第天共做了道数学题,则,则则如果,则这与矛盾,所以,从而存在使得即这表明该学生从第天到第天共做了13道数学题。5．证明：。这里,表示从个对象中取个的方法数。答案：等式左边表示从2n个不同的球中取两个球的方法数。我们把2n个球平均分成A,B两组,选球的方法有以下两类：去自同一组的选法数为;取自不同组的球的方法数为6．如n,r∈N且n≥r≥2,则P<n,r>=r×P<n-1,r-1>+P<n-1,r>。证明：当r≥2时,把集合A的r−排列分为两大类：一类包含A中的某个固定元素,不妨设为a1,另一类不包含a1。第一类排列相当于先从A-{a1}中取r-1个元素进行排列,有P<n-1,r-1>种取法,再将a1放入每一个上述排列中,对任一排列,a1都有r种放法。由乘法法则,第一类排列共有r×P<n-1,r-1>个。第二类排列实质上是A-{a1}的r−排列,共有P<n-1,r>个。再由加法法则有P<n,r>=r×P<n-1,r-1>+P<n-1,r>证毕。7．用非降路径法证明：这里,表示从个对象中取个元素的方法数。答案：〔0,0到〔m,n的路径数为C<m+n,n>;又,<0,0>到<m,n>的任一路径必过<m-1,n>或<m.n-1>。故,等式成立；证明：。解：证明：法1,设A={am},B={bn},且A∩B=Φ,则A∪B=C有m+n个元素。C的r−组合个数为C<m+n,r>,而C的每个r−组合无非是先从A中取k个元素,再从B中取出r-k个元素组成<k=0,1,…,r>。由乘法法则共有C<m,k>C<n,r-k>种取法,再由加法法则即可得证。应用题1．一次宴会,5位来宾寄存他们的帽子,在取帽子的时候有多少种可能使得没有一位来宾取回的是他自己的帽子？44种可能使得没有一位来宾取回的是他自己的帽子。解：属于重排问题,所求为。………〔6分2.对夫妻围圆桌就座,要求每对夫妻不相邻,问有多少种入座方式？2．用17100元钱买3支股票,不要求每支股票都买,但要求买A股钱数必须是200的倍数,买B股钱数是400的倍数,求有多少种买法？25种买法。解：此题等同于求方程的非负整数解的个数。方程通过换元可变为：,其中为非负整数,为非负偶数,为非负的4的倍数的整数。由此构造常生函数：所求为常生成函数的的系数,化简生成函数为：,可求得公式得的系数为25。3．方程有多少满足,,,的整数解？解进行变量代换：,,,则方程变为原方程满足条件的解的个数等于新方程的非负整数解的个数。新方程的非负整数解的个数为用四种颜色〔红、蓝、绿、黄涂染四台仪器和。规定每台仪器只能用一种颜色并任意两台仪器都不能相同。如果不允许用蓝色和红色,不允许用蓝色和绿色,不允许用绿色和黄色,问有多上种染色方案？5．一个学生有37天用来准备考试。根据过去的经验,她知道她需要不超过60小时的学习时间。她还希望每天至少学习1小时。证明,无论她如何安排她的学习时间〔不过,每天都是整数个小时,都存在连续的若干天,在此期间她恰好学习了13小时。证明设从第一天到第i天她共学习了小时。因为她每天至少学习1小时,所