2018年中考四边形综合题集(压轴题)

./四边形综合题集评卷人得分一．选择题〔共9小题1．如图,在菱形ABCD中,AB=BD,点E、F分别是AB、AD上任意的点〔不与端点重合,且AE=DF,连接BF与DE相交于点G,连接CG与BD相交于点H．给出如下几个结论：①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG=CG2；③若AF=2DF,则BG=6GF；④CG与BD一定不垂直；⑤∠BGE的大小为定值．其中正确的结论个数为〔A．4 B．3 C．2 D．12．如图,正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,△AEF是等边三角形,连接AC交EF于点G,下列结论：①CE=CF,②∠AEB=75°,③AG=2GC,④BE+DF=EF,⑤S△CEF=2S△ABE,其中结论正确的个数为〔A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．如图,边长为2的正方形ABCD中,AE平分∠DAC,AE交CD于点F,CE⊥AE,垂足为点E,EG⊥CD,垂足为点G,点H在边BC上,BH=DF,连接AH、FH,FH与AC交于点M,以下结论：①FH=2BH；②AC⊥FH；③S△ACF=1；④CE=AF；⑤EG2=FG•DG,其中正确结论的个数为〔A．2 B．3 C．4 D．54．如图,在正方形ABCD中,E、F分别为BC、CD的中点,连接AE,BF交于点G,将△BCF沿BF对折,得到△BPF,延长FP交BA延长线于点Q,下列结论正确的个数是〔①AE=BF；②AE⊥BF；③sin∠BQP=；④S四边形ECFG=2S△BGE．A．4 B．3 C．2 D．15．如图,在矩形ABCD中,BC=AB,∠ADC的平分线交边BC于点E,AH⊥DE于点H,连接CH并延长交边AB于点F,连接AE交CF于点O,给出下列命题：〔1∠AEB=∠AEH〔2DH=2EH〔3OH=AE〔4BC﹣BF=EH其中正确命题的序号〔A．〔1〔2〔3 B．〔2〔3〔4 C．〔2〔4 D．〔1〔36．如图,在边长为1的正方形ABCD中,动点F,E分别以相同的速度从D,C两点同时出发向C和B运动〔任何一个点到达即停止,过点P作PM∥CD交BC于M点,PN∥BC交CD于N点,连接MN,在运动过程中,则下列结论：①△ABE≌△BCF；②AE=BF；③AE⊥BF；④CF2=PE•BF；⑤线段MN的最小值为．其中正确的结论有〔A．2个 B．3个 C．4个 D．5个7．如图,正方形ABCD中,以AD为底边作等腰△ADE,将△ADE沿DE折叠,点A落到点F处,连接EF刚好经过点C,再连接AF,分别交DE于G,交CD于H．在下列结论中：①△ABM≌△DCN；②∠DAF=30°；③△AEF是等腰直角三角形；④EC=CF；⑤S△HCF=S△ADH,其中正确的结论有〔A．2个 B．3个 C．4个 D．5个8．如图,在矩形ABCD中,E是AD边的中点,BE⊥AC于点F,连接DF,分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④S四边形CDEF=S△AEF,其中正确的结论有〔个．A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④9．如图,正方形ABCD的边CD与正方形CGFE的边CE重合,O是EG的中点,∠EGC的平分线GH过点D,交BE于H,连接OH、FH、EG与FH交于M,对于下面四个结论：①GH⊥BE；②HOBG；③点H不在正方形CGFE的外接圆上；④△GBE∽△GMF．其中正确的结论有〔A．1个 B．2个 C．3个 D．4个评卷人得分二．填空题〔共7小题10．如图,在正方形ABCD外取一点E,连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1,PB=．下列结论：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③点B到直线AE的距离为；④S△APD+S△APB=1+；⑤S正方形ABCD=4+．其中正确结论的序号是．11．如图,已知正方形ABCD的边长为2,E是边BC上的动点,BF⊥AE交CD于点F,垂足为G,连结CG．下列说法：①AG＞GE；②AE=BF；③点G运动的路径长为π；④CG的最小值为﹣1．其中正确的说法是．〔把你认为正确的说法的序号都填上12．如图,在菱形ABCD中,AB=6,∠DAB=60°,AE分别交BC、BD于点E、F,CE=2,连接CF,以下结论：①△ABF≌△CBF；②点E到AB的距离是2；③tan∠DCF=；④△ABF的面积为．其中一定成立的是〔把所有正确结论的序号都填在横线上．13．如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=,在边CD上有一点E,使EB平分∠AEC．若P为BC边上一点,且BP=2CP,连接EP并延长交AB的延长线于F．给出以下五个结论：①点B平分线段AF；②PF=DE；③∠BEF=∠FEC；④S矩形ABCD=4S△BPF；⑤△AEB是正三角形．其中正确结论的序号是．14．如图,在矩形ABCD中,AD=AB,∠BAD的平分线交BC于点E,DH⊥AE于点H,连接BH并延长交CD于点F,连接DE交BF于点O,下列结论：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤AB=HF,其中正确的有．15．如图所示,在正方形ABCD的对角线上取点E,使得∠BAE=15°,连结AE,CE．延长CE到F,连结BF,使得BC=BF．若AB=1,则下列结论：①AE=CE；②F到BC的距离为；③BE+EC=EF；④；⑤．其中正确的是．16．如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3cm,AB=5cm．点P从点A出发沿AC以1.5cm/s的速度向点C匀速运动,到达点C后立刻以原来的速度沿CA返回；点Q从点B出发沿BA以1cm/s的速度向点A匀速运动．伴随着P、Q的运动,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线PC﹣CB﹣BQ于点E．点P、Q同时出发,当点Q到达点A时停止运动,点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒〔t＞0,则当t=秒时,四边形BQDE为直角梯形．评卷人得分三．解答题〔共34小题17．在正方形ABCD中,动点E,F分别从D,C两点同时出发,以相同的速度在直线DC,CB上移动．〔1如图1,当点E在边DC上自D向C移动,同时点F在边CB上自C向B移动时,连接AE和DF交于点P,请你写出AE与DF的数量关系和位置关系,并说明理由；〔2如图2,当E,F分别在边CD,BC的延长线上移动时,连接AE,DF,〔1中的结论还成立吗？〔请你直接回答"是"或"否",不需证明；连接AC,请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE：CD的值；〔3如图3,当E,F分别在直线DC,CB上移动时,连接AE和DF交于点P,由于点E,F的移动,使得点P也随之运动,请你画出点P运动路径的草图．若AD=2,试求出线段CP的最大值．18．如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=6．点P在边AC上运动,过点P作PD⊥AB于点D,以AP、AD为邻边作▱PADE．设□PADE与△ABC重叠部分图形的面积为y,线段AP的长为x〔0＜x≤6．〔1求线段PE的长〔用含x的代数式表示．〔2当点E落在边BC上时,求x的值．〔3求y与x之间的函数关系式．〔4直接写出点E到△ABC任意两边所在直线距离相等时x的值．19．问题探究〔1如图①,已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别是边BC、CD上两点,且BM=CN,连接AM和BN,交于点P．猜想AM与BN的位置关系,并证明你的结论．〔2如图②,已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别从点B、C同时出发,以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动．连接AM和BN,交于点P,求△APB周长的最大值；问题解决〔3如图③,AC为边长为2的菱形ABCD的对角线,∠ABC=60°．点M和N分别从点B、C同时出发,以相同的速度沿BC、CA向终点C和A运动．连接AM和BN,交于点P．求△APB周长的最大值．20．如图1,在边长为4的菱形ABCD中,AC为其对角线,∠ABC=60°点M、N分别是边BC、边CD上的动点,且MB=NC．连接AM、AN、MN．MN交AC于点P．〔1△AMN是什么特殊的三角形？说明理由．并求其面积最小值；〔2求点P到直线CD距离的最大值；〔3如图2,已知MB=NC=1,点E、F分别是边AM、边AN上的动点,连接EF、PF,EF+PF是否存在最小值？若存在,求出最小值及此时AE、AF的长；若不存在,请说明理由．21．如图①,正方形ABCD边长为1,将正方形ABCD绕点A逆时针旋转α度后得到正方形AB'C'D'〔0°＜α＜90°,C'D'与直线CD相交于点E,C'B'与直线CD相交于点F．问题发现：〔1试猜想∠EAF=；三角形EC'F的周长．问题探究：如图②,连接B'D'分别交AE,AF于P,Q两点．〔2在旋转过程中,若D'P=a,QB'=b,试用a,b来表示PQ,并说明理由．〔3在旋转过程中△APQ的面积是否存在最小值,若存在,请求出这个值；若不存在,请说明理由．22．如图,在矩形ABCD中,AB=CD=4cm,AD=BC=6cm,AE=DE=3cm,点P从点E出发,沿EB方向匀速运动,速度为1cm/s；同时,点Q从点C出发,沿CD方向匀速运动,速度为2cm/s,连接PQ,设运动时间为t〔s〔0＜t＜2,解答下列问题：〔1当t为何值时,PQ⊥CD？〔2设四边形PBCQ的面积为y〔cm2,求y与t的函数关系式；〔3是否存在某一时刻t,使S四边形PBCQ：S四边形PQDE=22：5？若存在,求出t的值；若不存在,说明理由．〔4是否存在某一时刻t,使A,P,Q三点在同一直线上？若存在,求出t的值；若不存在,说明理由．23．已知,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AD=2,AB=4,BC=5,在射线BC任取一点M,联结DM,作∠MDN=∠BDC,∠MDN的另一边DN交直线BC于点N〔点N在点M的左侧．〔1当BM的长为10时,求证：BD⊥DM；〔2如图〔1,当点N在线段BC上时,设BN=x,BM=y,求y关于x的函数关系式,并写出它的定义域；〔3如果△DMN是等腰三角形,求BN的长．24．如图,在边长为2的正方形ABCD中,点P是边AD上的动点〔点P不与点A、点D重合,点Q是边CD上一点,联结PB、PQ,且∠PBC=∠BPQ．〔1当QD=QC时,求∠ABP的正切值；〔2设AP=x,CQ=y,求y关于x的函数解析式；〔3联结BQ,在△PBQ中是否存在度数不变的角？若存在,指出这个角,并求出它的度数；若不存在,请说明理由．25．已知在矩形ABCD中,AB=2,AD=4．P是对角线BD上的一个动点〔点P不与点B、D重合,过点P作PF⊥BD,交射线BC于点F．联结AP,画∠FPE=∠BAP,PE交BF于点E．设PD=x,EF=y．〔1当点A、P、F在一条直线上时,求△ABF的面积；〔2如图1,当点F在边BC上时,求y关于x的函数解析式,并写出函数定义域；〔3联结PC,若∠FPC=∠BPE,请直接写出PD的长．26．在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,且∠EAF=∠CEF=45°．〔1将△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG〔如图①,求证：△AEG≌△AEF；〔2若直线EF与AB,AD的延长线分别交于点M,N〔如图②,求证：EF2=ME2+NF2；〔3将正方形改为长与宽不相等的矩形,若其余条件不变〔如图③,请你直接写出线段EF,BE,DF之间的数量关系．27．已知：如图,菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AC=12cm,BD=16cm．点P从点B出发,沿BA方向匀速运动,速度为1cm/s；同时,直线EF从点D出发,沿DB方向匀速运动,速度为1cm/s,EF⊥BD,且与AD,BD,CD分别交于点E,Q,F；当直线EF停止运动时,点P也停止运动．连接PF,设运动时间为t〔s〔0＜t＜8．解答下列问题：〔1当t为何值时,四边形APFD是平行四边形？〔2设四边形APFE的面积为y〔cm2,求y与t之间的函数关系式；〔3是否存在某一时刻t,使S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40？若存在,求出t的值,并求出此时P,E两点间的距离；若不存在,请说明理由．28．如图1,矩形OABC顶点B的坐标为〔8,3,定点D的坐标为〔12,0,动点P从点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动,动点Q从点D出发,以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动,PQ两点同时运动,相遇时停止．在运动过程中,以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR．设运动时间为t秒．〔1当t=时,△PQR的边QR经过点B；〔2设△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S,求S关于t的函数关系式；〔3如图2,过定点E〔5,0作EF⊥BC,垂足为F,当△PQR的顶点R落在矩形OABC的内部时,过点R作x轴、y轴的平行线,分别交EF、BC于点M、N,若∠MAN=45°,求t的值．29．△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上一动点〔点D不与B,C重合,以AD为边在AD右侧作正方形ADEF,连接CF．〔1观察猜想如图1,当点D在线段BC上时,①BC与CF的位置关系为：．②BC,CD,CF之间的数量关系为：；〔将结论直接写在横线上〔2数学思考如图2,当点D在线段CB的延长线上时,结论①,②是否仍然成立？若成立,请给予证明；若不成立,请你写出正确结论再给予证明．〔3拓展延伸如图3,当点D在线段BC的延长线上时,延长BA交CF于点G,连接GE．若已知AB=2,CD=BC,请求出GE的长．30．已知：四边形ABCD中,对角线的交点为O,E是OC上的一点,过点A作AG⊥BE于点G,AG、BD交于点F．〔1如图1,若四边形ABCD是正方形,求证：OE=OF；〔2如图2,若四边形ABCD是菱形,∠ABC=120°．探究线段OE与OF的数量关系,并说明理由；〔3如图3,若四边形ABCD是等腰梯形,∠ABC=α,且AC⊥BD．结合上面的活动经验,探究线段OE与OF的数量关系为〔直接写出答案．31．如图,矩形ABCD中,AB=3,AD=4,E为AB上一点,AE=1,M为射线AD上一动点,AM=a〔a为大于0的常数,直线EM与直线CD交于点F,过点M作MG⊥EM,交直线BC于点G．〔1若M为边AD中点,求证△EFG是等腰三角形；〔2若点G与点C重合,求线段MG的长；〔3请用含a的代数式表示△EFG的面积S,并指出S的最小整数值．32．已知,在△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=45°,点D为直线BC上一动点〔点D不与点B,C重合．以AD为边作正方形ADEF,连接CF〔1如图1,当点D在线段BC上时．求证：CF+CD=BC；〔2如图2,当点D在线段BC的延长线上时,其他条件不变,请直接写出CF,BC,CD三条线段之间的关系；〔3如图3,当点D在线段BC的反向延长线上时,且点A,F分别在直线BC的两侧,其他条件不变；①请直接写出CF,BC,CD三条线段之间的关系；②若正方形ADEF的边长为2,对角线AE,DF相交于点O,连接OC．求OC的长度．33．已知：如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,对角线AC,BD交于点O．点P从点A出发,沿AD方向匀速运动,速度为1cm/s；同时,点Q从点D出发,沿DC方向匀速运动,速度为1cm/s；当一个点停止运动时,另一个点也停止运动．连接PO并延长,交BC于点E,过点Q作QF∥AC,交BD于点F．设运动时间为t〔s〔0＜t＜6,解答下列问题：〔1当t为何值时,△AOP是等腰三角形？〔2设五边形OECQF的面积为S〔cm2,试确定S与t的函数关系式；〔3在运动过程中,是否存在某一时刻t,使S五边形S五边形OECQF：S△ACD=9：16？若存在,求出t的值；若不存在,请说明理由；〔4在运动过程中,是否存在某一时刻t,使OD平分∠COP？若存在,求出t的值；若不存在,请说明理由．34．如图1,在正方形ABCD内作∠EAF=45°,AE交BC于点E,AF交CD于点F,连接EF,过点A作AH⊥EF,垂足为H．〔1如图2,将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．①求证：△AGE≌△AFE；②若BE=2,DF=3,求AH的长．〔2如图3,连接BD交AE于点M,交AF于点N．请探究并猜想：线段BM,MN,ND之间有什么数量关系？并说明理由．35．给出定义,若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则称该四边形为勾股四边形．〔1在你学过的特殊四边形中,写出两种勾股四边形的名称；〔2如图,将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE,连接AD,DC,CE,已知∠DCB=30°．①求证：△BCE是等边三角形；②求证：DC2+BC2=AC2,即四边形ABCD是勾股四边形．36．如图1,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=8,BC=6,点M从点D出发,以每秒2个单位长度的速度向点A运动,同时,点N从点B出发,以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动．过点N作NP⊥AD于点P,连接AC交NP于点Q,连接MQ．设运动时间为t秒．〔1AM=,AP=．〔用含t的代数式表示〔2当四边形ANCP为平行四边形时,求t的值〔3如图2,将△AQM沿AD翻折,得△AKM,是否存在某时刻t,①使四边形AQMK为为菱形,若存在,求出t的值；若不存在,请说明理由②使四边形AQMK为正方形,则AC=．37．已知,如图1,BD是边长为1的正方形ABCD的对角线,BE平分∠DBC交DC于点E,延长BC到点F,使CF=CE,连接DF,交BE的延长线于点G．〔1求证：△BCE≌△DCF；〔2求CF的长；〔3如图2,在AB上取一点H,且BH=CF,若以BC为x轴,AB为y轴建立直角坐标系,问在直线BD上是否存在点P,使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在,直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在,说明理由．38．如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,BC=10cm,AD=8cm,E点F点分别为AB,AC的中点．〔1求证：四边形AEDF是菱形；〔2求菱形AEDF的面积；〔3若H从F点出发,在线段FE上以每秒2cm的速度向E点运动,点P从B点出发,在线段BC上以每秒3cm的速度向C点运动,问当t为何值时,四边形BPHE是平行四边形？当t取何值时,四边形PCFH是平行四边形？39．如图,四边形OABC是边长为4的正方形,点P为OA边上任意一点〔与点O、A不重合,连接CP,过点P作PM⊥CP交AB于点D,且PM=CP,过点M作MN∥OA,交BO于点N,连接ND、BM,设OP=t．〔1求点M的坐标〔用含t的代数式表示．〔2试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？并说明理由．〔3当t为何值时,四边形BNDM的面积最小．40．如图〔1,E是正方形ABCD的边BC上的一个点〔E与B、C两点不重合,过点E作射线EP⊥AE,在射线EP上截取线段EF,使得EF=AE；过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G．〔1求证：FG=BE；〔2连接CF,如图〔2,求证：CF平分∠DCG；〔3当=时,求sin∠CFE的值．41．如图,已知在矩形ABCD中,AD=10,CD=5,点E从点D出发,沿线段DA以每秒1个单位长的速度向点A方向移动,同时点F从点C出发,沿射线CD方向以每秒2个单位长的速度移动,当B、E、F三点共线时,两点同时停止运动,此时BF⊥CE．设点E移动的时间为t〔秒．〔1求当t为何值时,两点同时停止运动；〔2求当t为何值时,EC是∠BED的平分线；〔3设四边形BCFE的面积为S,求S与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围；〔4求当t为何值时,△EFC是等腰三角形．〔直接写出答案42．如图1,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转至矩形B点正好落在CD上的点E处,连结BE．〔1求证：∠BAE=2∠CBE；〔2如图2,连BG交AE于M,点N为BE的中点,连MN、AF,试探究AF与MN的数量关系,并证明你的结论；〔3若AB=5,BC=3,直接写出BG的长．43．将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中,O为原点,C在x轴上,OA=6,OC=10．〔1如图〔1,在OA上取一点E,将△EOC沿EC折叠,使O点落在AB边上的D点,求E点的坐标；〔2如图〔2,在OA、OC边上选取适当的点E′、F,将△E′OF沿E′F折叠,使O点落在AB边上D′点,过D′作D′G∥AO交E′F于T点,交OC于G点,求证：TG=AE′；〔3在〔2的条件下,设T〔x,y．①探求：y与x之间的函数关系式．②指出变量x的取值范围．44．如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=16cm,AB=12cm,BC=21cm,动点P从点B出发,沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动,动点Q从点A出发,在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动,点P,Q分别从点B,A同时出发,当点Q运动到点D时,点P随之停止运动,设运动的时间为t〔秒．〔1当t为何值时,四边形PQDC是平行四边形．〔2当t为何值时,以C,D,Q,P为顶点的梯形面积等于60cm2？〔3是否存在点P,使△PQD是等腰三角形〔不考虑QD=PD？若存在,请求出所有满足要求的t的值,若不存在,请说明理由．45．如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,其中点A在x轴的正半轴上,点B的坐标为〔4,2,点D为对角线OB上一个动点〔不包括端点,∠BCD的平分线交OB于点E．〔1求线段OB所在直线的函数表达式,并写出CD的取值范围．〔2当∠BCD的平分线经过点A时,求点D的坐标．〔3点P是线段BC上的一个动点,求CD十DP的最小值．46．如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD∥BC,E为AB的中点,连接CE,BD,过点E作FE⊥CE于点E,交AD于点F,连接CF,已知2AD=AB=BC．〔1求证：CE=BD；〔2若AB=4,求AF的长度；〔3求sin∠EFC的值．47．如图①,在长方形ABCD中,AB=DC=3cm,BC=5cm,点P从点B出发,以1cm/s的速度沿BC向点C运动,设点P的运动时间为ts．〔1PC=cm．〔用含t的代数式表示；〔2当t为何值时,△ABP≌△DCP,请说明理由；〔3如图②,当点P从点B开始运动时,点Q从点C出发,以acm/s的速度沿CD向点D运动,是否存在这样a的值,使得△ABP与△PCQ全等？若存在,请求出a的值,若不存在,请说明理由．48．如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是平行四边形,AD=6,若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根,且OA＞OB．〔1求OA、OB的长．〔2若点E为x轴上的点,且S△AOE=,试判断△AOE与△AOD是否相似？并说明理由．〔3在直线AB上是否存在点F,使以A、C、F为顶点的三角形是等腰三角形？如果存在,请直接写出点F的坐标．49．如图,已知四边形ABCD中,AB∥DC,AB=DC,且AB=6cm,BC=8cm,对角线AC=l0cm．〔1求证：四边形ABCD是矩形；〔2如图〔2,若动点Q从点C出发,在CA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动,同时动点P从点B出发,在BC边上以每秒4cm的速度向点C匀速运动,运动时间为t秒〔0≤t＜2,连接BQ、AP,若AP⊥BQ,求t的值；〔3如图〔3,若点Q在对角线AC上,CQ=4cm,动点P从B点出发,以每秒1cm的速度沿BC运动至点C止．设点P运动了t秒,请你探索：从运动开始,经过多少时间,以点Q、P、C为顶点的三角形是等腰三角形？请求出所有可能的结果．50．如图,点E为正方形ABCD的边BC所在直线上的一点,连接AE,过点C作CF⊥AE于F,连接BF．〔1如图1,当点E在CB的延长线上,且AC=EC时,求证：BF=；〔2如图2,当点E在线段BC上,且AE平分∠BAC时,求证：AB+BE=AC；〔3如图3,当点E继续往右运动到BC中点时,过点D作DH⊥AE于H,连接BH．求证：∠BHF=45°．四边形综合题集参考答案与试题解析一．选择题〔共9小题1．如图,在菱形ABCD中,AB=BD,点E、F分别是AB、AD上任意的点〔不与端点重合,且AE=DF,连接BF与DE相交于点G,连接CG与BD相交于点H．给出如下几个结论：①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG=CG2；③若AF=2DF,则BG=6GF；④CG与BD一定不垂直；⑤∠BGE的大小为定值．其中正确的结论个数为〔A．4 B．3 C．2 D．1[分析]①先证明△ABD为等边三角形,根据"SAS"证明△AED≌△DFB；②证明∠BGE=60°=∠BCD,从而得点B、C、D、G四点共圆,因此∠BGC=∠DGC=60°,过点C作CM⊥GB于M,CN⊥GD于N．证明△CBM≌△CDN,所以S四边形BCDG=S四边形CMGN,易求后者的面积；③过点F作FP∥AE于P点,根据题意有FP：AE=DF：DA=1：3,则FP：BE=1：6=FG：BG,即BG=6GF；④因为点E、F分别是AB、AD上任意的点〔不与端点重合,且AE=DF,当点E,F分别是AB,AD中点时,CG⊥BD；⑤∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°．[解答]解：①∵ABCD为菱形,∴AB=AD,∵AB=BD,∴△ABD为等边三角形,∴∠A=∠BDF=60°,又∵AE=DF,AD=BD,∴△AED≌△DFB,故本选项正确；②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD,即∠BGD+∠BCD=180°,∴点B、C、D、G四点共圆,∴∠BGC=∠BDC=60°,∠DGC=∠DBC=60°,∴∠BGC=∠DGC=60°,过点C作CM⊥GB于M,CN⊥GD于N〔如图1,则△CBM≌△CDN〔AAS,∴S四边形BCDG=S四边形CMGN,S四边形CMGN=2S△CMG,∵∠CGM=60°,∴GM=CG,CM=CG,∴S四边形CMGN=2S△CMG=2××CG×CG=CG2,故本选项错误；③过点F作FP∥AE交DE于P点〔如图2,∵AF=2FD,∴FP：AE=DF：DA=1：3,∵AE=DF,AB=AD,∴BE=2AE,∴FP：BE=FP：2AE=1：6,∵FP∥AE,∴PF∥BE,∴FG：BG=FP：BE=1：6,即BG=6GF,故本选项正确；④当点E,F分别是AB,AD中点时〔如图3,由〔1知,△ABD,△BDC为等边三角形,∵点E,F分别是AB,AD中点,∴∠BDE=∠DBG=30°,∴DG=BG,在△GDC与△BGC中,,∴△GDC≌△BGC,∴∠DCG=∠BCG,∴CH⊥BD,即CG⊥BD,故本选项错误；⑤∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°,为定值,故本选项正确；综上所述,正确的结论有①③⑤,共3个,故选：B．[点评]此题综合考查了菱形的性质,等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定和性质,作出辅助线构造出全等三角形,把不规则图形的面转化为两个全等三角形的面积是解题的关键．2．如图,正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,△AEF是等边三角形,连接AC交EF于点G,下列结论：①CE=CF,②∠AEB=75°,③AG=2GC,④BE+DF=EF,⑤S△CEF=2S△ABE,其中结论正确的个数为〔A．2个 B．3个 C．4个 D．5个[分析]通过条件可以得出△ABE≌△ADF,从而得出∠BAE=∠DAF,BE=DF,得到CE=CF；由正方形的性质就可以得出∠AEB=75°；设EC=x,由勾股定理得到EF,表示出BE,利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF和2S△ABE,再通过比较大小就可以得出结论．[解答]解：∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．∵△AEF等边三角形,∴AE=EF=AF,∠EAF=60°．∴∠BAE+∠DAF=30°．在Rt△ABE和Rt△ADF中,,Rt△ABE≌Rt△ADF〔HL,∴BE=DF,∴CE=CF,故①正确；∵∠BAE=∠DAF,∴∠DAF+∠DAF=30°,即∠DAF=15°,∴∠AEB=75°,故②正确；设EC=x,由勾股定理,得EF=x,CG=x,AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=x,∴AG≠2GC,③错误；∵CG=x,AG=x,∴AC=x∴AB=AC•=x,∴BE=x﹣x=x,∴BE+DF=〔﹣1x,∴BE+DF≠EF,故④错误；∵S△CEF=x2,S△ABE=×BE×AB=x×x=x2,∴2S△ABE═S△CEF,故⑤正确．综上所述,正确的有3个,故选：B．[点评]本题考查了正方形的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,勾股定理的运用,等边三角形的性质的运用,三角形的面积公式的运用,解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．3．如图,边长为2的正方形ABCD中,AE平分∠DAC,AE交CD于点F,CE⊥AE,垂足为点E,EG⊥CD,垂足为点G,点H在边BC上,BH=DF,连接AH、FH,FH与AC交于点M,以下结论：①FH=2BH；②AC⊥FH；③S△ACF=1；④CE=AF；⑤EG2=FG•DG,其中正确结论的个数为〔A．2 B．3 C．4 D．5[分析]①②、证明△ABH≌△ADF,得AF=AH,再得AC平分∠FAH,则AM既是中线,又是高线,得AC⊥FH,证明BH=HM=MF=FD,则FH=2BH；所以①②都正确；③可以直接求出FC的长,计算S△ACF≠1,错误；④根据正方形边长为2,分别计算CE和AF的长得结论正确；还可以利用图2证明△ADF≌△CDN得：CN=AF,由CE=CN=AF；⑤利用相似先得出EG2=FG•CG,再根据同角的三角函数列式计算CG的长为1,则DG=CG,所以⑤也正确．[解答]解：①②如图1,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠B=∠D=90°,∠BAD=90°,∵AE平分∠DAC,∴∠FAD=∠CAF=22.5°,∵BH=DF,∴△ABH≌△ADF,∴AH=AF,∠BAH=∠FAD=22.5°,∴∠HAC=∠FAC,∴HM=FM,AC⊥FH,∵AE平分∠DAC,∴DF=FM,∴FH=2DF=2BH,故选项①②正确；③在Rt△FMC中,∠FCM=45°,∴△FMC是等腰直角三角形,∵正方形的边长为2,∴AC=2,MC=DF=2﹣2,∴FC=2﹣DF=2﹣〔2﹣2=4﹣2,S△AFC=CF•AD≠1,所以选项③不正确；④AF===2,∵△ADF∽△CEF,∴,∴,∴CE=,∴CE=AF,故选项④正确；⑤延长CE和AD交于N,如图2,∵AE⊥CE,AE平分∠CAD,∴CE=EN,∵EG∥DN,∴CG=DG,在Rt△FEC中,EG⊥FC,∴EG2=FG•CG,∴EG2=FG•DG,故选项⑤正确；本题正确的结论有4个,故选：C．[点评]本题是四边形的综合题,综合考查了正方形、相似三角形、全等三角形的性质和判定；求边时可以利用三角形相似列比例式,也可以直接利用同角三角函数列式计算；同时运用了勾股定理求线段的长,勾股定理在正方形中运用得比较多．4．如图,在正方形ABCD中,E、F分别为BC、CD的中点,连接AE,BF交于点G,将△BCF沿BF对折,得到△BPF,延长FP交BA延长线于点Q,下列结论正确的个数是〔①AE=BF；②AE⊥BF；③sin∠BQP=；④S四边形ECFG=2S△BGE．A．4 B．3 C．2 D．1[分析]首先证明△ABE≌△BCF,再利用角的关系求得∠BGE=90°,即可得到①AE=BF；②AE⊥BF；△BCF沿BF对折,得到△BPF,利用角的关系求出QF=QB,解出BP,QB,根据正弦的定义即可求解；根据AA可证△BGE与△BCF相似,进一步得到相似比,再根据相似三角形的性质即可求解．[解答]解：∵E,F分别是正方形ABCD边BC,CD的中点,∴CF=BE,在△ABE和△BCF中,,∴Rt△ABE≌Rt△BCF〔SAS,∴∠BAE=∠CBF,AE=BF,故①正确；又∵∠BAE+∠BEA=90°,∴∠CBF+∠BEA=90°,∴∠BGE=90°,∴AE⊥BF,故②正确；根据题意得,FP=FC,∠PFB=∠BFC,∠FPB=90°∵CD∥AB,∴∠CFB=∠ABF,∴∠ABF=∠PFB,∴QF=QB,令PF=k〔k＞0,则PB=2k在Rt△BPQ中,设QB=x,∴x2=〔x﹣k2+4k2,∴x=,∴sin=∠BQP==,故③正确；∵∠BGE=∠BCF,∠GBE=∠CBF,∴△BGE∽△BCF,∵BE=BC,BF=BC,∴BE：BF=1：,∴△BGE的面积：△BCF的面积=1：5,∴S四边形ECFG=4S△BGE,故④错误．故选：B．[点评]本题主要考查了四边形的综合题,涉及正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及折叠的性质的知识点,解决的关键是明确三角形翻转后边的大小不变,找准对应边,角的关系求解．5．如图,在矩形ABCD中,BC=AB,∠ADC的平分线交边BC于点E,AH⊥DE于点H,连接CH并延长交边AB于点F,连接AE交CF于点O,给出下列命题：〔1∠AEB=∠AEH〔2DH=2EH〔3OH=AE〔4BC﹣BF=EH其中正确命题的序号〔A．〔1〔2〔3 B．〔2〔3〔4 C．〔2〔4 D．〔1〔3[分析]〔1根据矩形的性质得到AD=BC=AB=CD,由DE平分∠ADC,得到△ADH是等腰直角三角形,△DEC是等腰直角三角形,得到DE=CD,得到等腰三角形求出∠AED=67.5°,∠AEB=67.5°,得到〔1正确；〔2设DH=1,则AH=DH=1,AD=DE=,求出HE=﹣1,得到2HE≠1,所以〔2不正确；〔3通过角的度数求出△AOH和△OEH是等腰三角形,从而得到〔3正确；〔4由△AFH≌△CHE,到AF=EH,由△ABE≌△AHE,得到BE=EH,于是得到BC﹣BF=〔BE+CE﹣〔AB﹣AF=〔CD+EH﹣〔CD﹣EH=2EH,从而得到〔4不正确．[解答]解：〔1在矩形ABCD中,AD=BC=AB=CD,∠ADC=∠BCD=90°,∵DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE=45°,∵AH⊥DE,∴△ADH是等腰直角三角形,∴AD=AH,∴AH=AB=CD,∵△DEC是等腰直角三角形,∴DE=CD,∴AD=DE,∴∠AED=67.5°,∴∠AEB=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°,∴∠AEH=∠AEB,所以〔1结论正确；〔2设DH=1,则AH=DH=1,AD=DE=,∴HE=DE﹣DH=﹣1,∴2HE=2〔﹣1=4﹣2≠1,所以〔2结论不正确；〔3∵∠AEH=67.5°,∴∠EAH=22.5°,∵DH=CD,∠EDC=45°,∴∠DHC=67.5°,∴∠OHA=180°﹣90°﹣67.5°=22.5°,∴∠OAH=∠OHA=22.5°,∴OA=OH,∴∠AEH=∠OHE=67.5°,∴OH=OE=OA,∴OH=AE,所以〔3正确；〔4∵AH=DH,CD=CE,在△AFH与△CHE中,,∴△AFH≌△CHE,∴AF=EH,在Rt△ABE与Rt△AHE中,,∴△ABE≌△AHE,∴BE=EH,∴BC﹣BF=〔BE+CE﹣〔AB﹣AF=〔CD+EH﹣〔CD﹣EH=2EH,所以〔2不正确,故选：D．[点评]本题考查了矩形的性质,全等三角形的判定与性质,角平分线的定义,等腰三角形的判定与性质,熟记各性质并仔细分析题目条件,根据相等的度数求出相等的角,从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键,也是本题的难点．6．如图,在边长为1的正方形ABCD中,动点F,E分别以相同的速度从D,C两点同时出发向C和B运动〔任何一个点到达即停止,过点P作PM∥CD交BC于M点,PN∥BC交CD于N点,连接MN,在运动过程中,则下列结论：①△ABE≌△BCF；②AE=BF；③AE⊥BF；④CF2=PE•BF；⑤线段MN的最小值为．其中正确的结论有〔A．2个 B．3个 C．4个 D．5个[分析]由正方形的性质及条件可判断出①△ABE≌△BCF,即可判断出②AE=BF,∠BAE=∠CBF,再根据∠BAE+∠BEA=90°,可得∠CBF+∠BEA=90°,可得出∠APB=90°,即可判断③,由△BPE∽△BCF,利用相似三角形的性质,结合CF=BE可判断④；然后根据点P在运动中保持∠APB=90°,可得点P的路径是一段以AB为直径的弧,设AB的中点为G,连接CG交弧于点P,此时CP的长度最小,最后在Rt△BCG中,根据勾股定理,求出CG的长度,再求出PG的长度,即可求出线段CP的最小值,可判断⑤．[解答]解：如图,∵动点F,E的速度相同,∴DF=CE,又∵CD=BC,∴CF=BE,在△ABE和△BCF中,∴△ABE≌△BCF〔SAS,故①正确；∴∠BAE=∠CBF,AE=BF,故②正确；∵∠BAE+∠BEA=90°,∴∠CBF+∠BEA=90°,∴∠APB=90°,故③正确；在△BPE和△BCF中,∵∠BPE=∠BCF,∠PBE=∠CBF,∴△BPE∽△BCF,∴=,∴CF•BE=PE•BF,∵CF=BE,∴CF2=PE•BF,故④正确；∵点P在运动中保持∠APB=90°,∴点P的路径是一段以AB为直径的弧,设AB的中点为G,连接CG交弧于点P,此时CP的长度最小,在Rt△BCG中,CG===,∵PG=AB=,∴CP=CG﹣PG=﹣=,即线段CP的最小值为,故⑤正确；综上可知正确的有5个,故选：D．[点评]本题为四边形的综合应用,涉及全等三角形、相似三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的性质等知识点．在判定三角形全等时,关键是选择恰当的判定条件,证明△ABE≌△BCF是解题的关键．本题考查知识点较多,综合性较强,难度较大．7．如图,正方形ABCD中,以AD为底边作等腰△ADE,将△ADE沿DE折叠,点A落到点F处,连接EF刚好经过点C,再连接AF,分别交DE于G,交CD于H．在下列结论中：①△ABM≌△DCN；②∠DAF=30°；③△AEF是等腰直角三角形；④EC=CF；⑤S△HCF=S△ADH,其中正确的结论有〔A．2个 B．3个 C．4个 D．5个[分析]首先证明∠HCF=∠FHC=67.5°,由此可以判定③正确,②错误,再证明AC∥DF,推出S△DFA=S△FDC,由此判断⑤正确,根据ASA可以判断①正确,在△EAF中,由∠CAE=∠CAF,∠AEC=90°,作CK⊥AF于K,推出CE=CK＜CF,由此判断④错误．[解答]解：如图,连接AC、以D为圆心DA为半径画圆．∵四边形ABCD是正方形,∴DA=DC=AB=BC,∠ADC=∠B=∠DCB=90°,∠ACD=∠DAC=45°∵△DEF是由△DEA翻折得到,∴DA=DF=DC,EA=EF,∠AED=∠DEF,∴∠AFC=∠ADC=45°∴∠EFA=∠EAF=45°,∴∠AEF=90°,∴∠DEF=∠DEA=45°,∵EA=ED=EF,∴∠DAE=∠ADE=∠EDF=∠EFD=67.5°,∴∠DAF=∠DFA=22.5°,∴∠ADF=180°﹣∠DAF﹣∠DFA=135°,∴∠CDF=∠ADF﹣∠ADC=45°,∴∠DCF=180°﹣∠CDF﹣∠DFC=67.5°,∵∠CHF=∠CDF+∠DFA=67.5°,∴∠HCF=∠FHC,∴△CFH是等腰三角形,故③正确．②错误,∵∠ACD=∠CDF,∴AC∥DF,∴S△DFA=S△FDC,∴S△ADH=S△CHF,故⑤正确,∵EA=ED,∴∠EAD=∠EDA,∴∠BAM=∠CDN,在△ABM和△DCN中,,∴△ABM≌△DCN,故①正确,在△EAF中,∵∠CAE=∠CAF,∠AEC=90°,作CK⊥AF于K,∴CE=CK＜CF,∴CE≠CF故④错误．∴①③⑤正确,选B．[点评]本题考查四边形综合题、圆的有关性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识,解题的关键是添加辅助线,构造圆利用圆的有关性质解决问题,属于中考常考题型．8．如图,在矩形ABCD中,E是AD边的中点,BE⊥AC于点F,连接DF,分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④S四边形CDEF=S△AEF,其中正确的结论有〔个．A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④[分析]①四边形ABCD是矩形,BE⊥AC,则∠ABC=∠AFB=90°,又∠BAF=∠CAB,于是△AEF∽△CAB,故①正确；②由AE=AD=BC,又AD∥BC,所以==,故②正确；③过D作DM∥BE交AC于N,得到四边形BMDE是平行四边形,求出BM=DE=BC,得到CN=NF,根据线段的垂直平分线的性质可得结论,故③正确；④根据△AEF∽△CBF得到==,求出S△AEF=S△ABF,S△ABF=S矩形ABCDS四边形CDEF=S△ACD﹣S△AEF=S矩形ABCD﹣S矩形ABCD=S矩形ABCD,即可得到S四边形CDEF=5S△AEF=,故④错误．[解答]解：过D作DM∥BE交AC于N,∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠ABC=90°,AD=BC,∵BE⊥AC于点F,∴∠EAC=∠ACB,∠ABC=∠AFE=90°,∴△AEF∽△CAB,故①正确；∵AD∥BC,∴△AEF∽△CBF,∴==,∵AE=AD=BC,∴=,∴CF=2AF,故②正确,∵DE∥BM,BE∥DM,∴四边形BMDE是平行四边形,∴BM=DE=BC,∴BM=CM,∴CN=NF,∵BE⊥AC于点F,DM∥BE,∴DN⊥CF,∴DF=DC,故③正确；∵△AEF∽△CBF,∴==,∴S△AEF=S△ABF,S△ABF=S矩形ABCD∴S△AEF=S矩形ABCD,又∵S四边形CDEF=S△ACD﹣S△AEF=S矩形ABCD﹣S矩形ABCD=S矩形ABCD,∴S四边形CDEF=5S△AEF故④错误；故选：B．[点评]本题考查了相似三角形的判定和性质,矩形的性质,图形面积的计算,正确的作出辅助线是解题的关键．9．如图,正方形ABCD的边CD与正方形CGFE的边CE重合,O是EG的中点,∠EGC的平分线GH过点D,交BE于H,连接OH、FH、EG与FH交于M,对于下面四个结论：①GH⊥BE；②HOBG；③点H不在正方形CGFE的外接圆上；④△GBE∽△GMF．其中正确的结论有〔A．1个 B．2个 C．3个 D．4个[分析]〔1由四边形ABCD和四边形CGFE是正方形,得出△BCE≌△DCG,推出∠BEC+∠HDE=90°,从而得GH⊥BE；〔2由GH是∠EGC的平分线,得出△BGH≌△EGH,再由O是EG的中点,利用中位线定理,得HOBG；〔3△EHG是直角三角形,因为O为EG的中点,所以OH=OG=OE,得出点H在正方形CGFE的外接圆上；〔4连接CF,由点H在正方形CGFE的外接圆上,得到∠HFC=∠CGH,由∠HFC+∠FMG=90°,∠CGH+∠GBE=90°,得出∠FMG=∠GBE,所以△GBE∽△GMF．[解答]解：〔1如图,∵四边形ABCD和四边形CGFE是正方形,∴BC=CD,CE=CG,∠BCE=∠DCG,在△BCE和△DCG中,∴△BCE≌△DCG〔SAS,∴∠BEC=∠BGH,∵∠BGH+∠CDG=90°,∠CDG=∠HDE,∴∠BEC+∠HDE=90°,∴GH⊥BE．故①正确；〔2∵GH是∠EGC的平分线,∴∠BGH=∠EGH,在△BGH和△EGH中∴△BGH≌△EGH〔ASA,∴BH=EH,又∵O是EG的中点,∴HO是△EBG的中位线,∴HOBG,故②正确；〔3由〔1得△EHG是直角三角形,∵O为EG的中点,∴OH=OG=OE,∴点H在正方形CGFE的外接圆上,故③错误；〔4如图2,连接CF,由〔3可得点H在正方形CGFE的外接圆上,∴∠HFC=∠CGH,∵∠HFC+∠FMG=90°,∠CGH+∠GBE=90°,∴∠FMG=∠GBE,又∵∠EGB=∠FGM=45°,∴△GBE∽△GMF．故④正确,故选：C．[点评]本题主要考查了四边形的综合题,解题的关键是能灵活利用三角形全等的判定和性质来解题．二．填空题〔共7小题10．如图,在正方形ABCD外取一点E,连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1,PB=．下列结论：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③点B到直线AE的距离为；④S△APD+S△APB=1+；⑤S正方形ABCD=4+．其中正确结论的序号是①②⑤．[分析]①首先利用已知条件根据边角边可以证明△APD≌△AEB；②由①可得∠BEP=90°,故BE不垂直于AE过点B作BM⊥AE延长线于M,由①得∠AEB=135°所以∠EMB=45°,可以得出∠PEB=90°就可以得出②正确,③所以△EMB是等腰Rt△,故B到直线AE距离为BF=,故③是错误的；④由△APD≌△AEB,可知S△APD+S△APB=S△AEB+S△APB,然后利用已知条件计算即可判定；⑤连接BD,根据三角形的面积公式得到S△BPD=PD×BE=,所以S△ABD=S△APD+S△APB+S△BPD=2+,由此即可判定．[解答]解：∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=AD,∠BAD=90°．∵AP⊥AE,∴∠EAP=90°,∴∠BAD=∠EAP,∴∠BAD﹣∠BAP=∠EAP﹣∠BAP,即∠DAP=∠BAE．∵在△APD和△AEB中,,∴△APD≌△AEB〔SAS,故①正确；∴∠AEB=∠APD,∵∠AEP=∠APE=45°,∴∠APD=∠AEB=135°,∴∠BEP=90°,∴EB⊥ED,故②正确．过B作BF⊥AE,交AE的延长线于F,则BF的长是点B到直线AE的距离,在Rt△AEP中,由勾股定理得PE=,在Rt△BEP中,PB=,PE=,由勾股定理得：BE=,∵∠PAE=∠PEB=∠EFB=90°,AE=AP,∴∠AEP=45°,∴∠BEF=180°﹣45°﹣90°=45°,∴∠EBF=45°,∴EF=BF,在Rt△EFB中,由勾股定理得：EF=BF=,故③是错误的；∵△APD≌△AEB,∴PD=BE=,∴S△APD+S△APB=S△AEB+S△APB=S△AEP+S△BEP=+,因此④是错误的；连接BD,则S△BPD=PD×BE=,所以S△ABD=S△APD+S△APB+S△BPD=2+,所以S正方形ABCD=2S△ABD=4+．故⑤正确；综上可知,正确的有①②⑤．故答案为：①②⑤．[点评]本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、三角形的面积及勾股定理的运用,综合性比较强,解题时要求熟练掌握相关的基础知识才能很好解决问题．11．如图,已知正方形ABCD的边长为2,E是边BC上的动点,BF⊥AE交CD于点F,垂足为G,连结CG．下列说法：①AG＞GE；②AE=BF；③点G运动的路径长为π；④CG的最小值为﹣1．其中正确的说法是②④．〔把你认为正确的说法的序号都填上[分析]根据正方形对角线的性质可得出当E移动到与C重合时,F点和D点重合,此时G点为AC中点,故①错误；求得∠BAE=∠CBF,根据正方形的性质可得AB=BC,∠ABC=∠C=90°,然后利用"角角边"证明△ABE和△BCF全等,根据全等三角形对应角相等可得AE=BF,判断出②正确；根据题意,G点的轨迹是以AB中点O为圆心,AO为半径的圆弧,然后求出弧的长度,判断出③错误；由于OC和OG的长度是一定的,因此当O、G、C在同一条直线上时,CG取最小值,根据勾股定理求出最小CG长度．[解答]解：∵在正方形ABCD中,BF⊥AE,∴∠AGB保持90°不变,∴G点的轨迹是以AB中点O为圆心,AO为半径的圆弧,∴当E移动到与C重合时,F点和D点重合,此时G点为AC中点,∴AG=GE,故①错误；∵BF⊥AE,∴∠AEB+∠CBF=90°,∵∠AEB+∠BAE=90°,∴∠BAE=∠CBF,在△ABE和△BCF中,,∴△ABE≌△BCF〔AAS,∴故②正确；∵当E点运动到C点时停止,∴点G运动的轨迹为圆,圆弧的长=×2=,故③错误；由于OC和OG的长度是一定的,因此当O、G、C在同一条直线上时,CG取最小值,OC==,CG的最小值为OC﹣OG=﹣1,故④正确；综上所述,正确的结论有②④．故答案为②④．[点评]本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,弧长的计算,勾股定理的应用,熟记性质并求出△ABE和△BCF全等是解题的关键,用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．12．如图,在菱形ABCD中,AB=6,∠DAB=60°,AE分别交BC、BD于点E、F,CE=2,连接CF,以下结论：①△ABF≌△CBF；②点E到AB的距离是2；③tan∠DCF=；④△ABF的面积为．其中一定成立的是①②③〔把所有正确结论的序号都填在横线上．[分析]利用SAS证明△ABF与△CBF全等,得出①正确,根据含30°角的直角三角形的性质得出点E到AB的距离是2,得出②正确,同时得出；△ABF的面积为得出④错误,得出tan∠DCF=,得出③正确．[解答]解：∵菱形ABCD,∴AB=BC=6,∵∠DAB=60°,∴AB=AD=DB,∠ABD=∠DBC=60°,在△ABF与△CBF中,,∴△ABF≌△CBF〔SAS,∴①正确；过点E作EG⊥AB,过点F作MH⊥CD,MH⊥AB,如图：∵CE=2,BC=6,∠ABC=120°,∴BE=6﹣2=4,∵EG⊥AB,∴EG=,∴点E到AB的距离是2,故②正确；∵BE=4,EC=2,∴S△BFE：S△FEC=4：2=2：1,∴S△ABF：S△FBE=3：2,∴△ABF的面积为=,故④错误；∵,∴=,∵,∴FM=,∴DM=,∴CM=DC﹣DM=6﹣,∴tan∠DCF=,故③正确；故答案为：①②③[点评]此题考查了四边形综合题,关键是根据菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质分析．此题难度较大,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用．13．如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=,在边CD上有一点E,使EB平分∠AEC．若P为BC边上一点,且BP=2CP,连接EP并延长交AB的延长线于F．给出以下五个结论：①点B平分线段AF；②PF=DE；③∠BEF=∠FEC；④S矩形ABCD=4S△BPF；⑤△AEB是正三角形．其中正确结论的序号是①②③⑤．[分析]由角平分线的定义和矩形的性质可证明∠AEB=∠ABE,可求得AE=AB=2,在Rt△ADE中可求得DE=1,则EC=1,又可证明△PEC∽△PBF,可求得BF=2,可判定①；在Rt△PBF中可求得PF,可判定②；在Rt△BCE中可求得BE=2,可得∠BEF=∠F,可判定③；容易计算出S矩形ABCD和S△BPF；可判定④；由AE=AB=BE可判定⑤；可得出答案．[解答]解：∵四边形ABCD为矩形,∴AB∥CD,∴∠CEB=∠ABE,又∵BE平分∠AEC,∴∠AEB=∠CEB,∴∠AEB=∠ABE,∴AE=AB=2,在Rt△ADE中,AD=,AE=2,由勾股定理可求得DE=1,∴CE=CD﹣DE=2﹣1=1,∵DC∥AB,∴△PCE∽△PBF,∴=,即==,∴BF=2,∴AB=BF,∴点B平分线段AF,故①正确；∵BC=AD=,∴BP=,在Rt△BPF中,BF=2,由勾股定理可求得PF===,∵DE=1,∴PF=DE,故②正确；在Rt△BCE中,EC=1,BC=,由勾股定理可求得BE=2,∴BE=BF,∴∠BEF=∠F,又∵AB∥CD,∴∠FEC=∠F,∴∠BEF=∠FEC,故③正确；∵AB=2,AD=,∴S矩形ABCD=AB•AD=2×=2,∵BF=2,BP=,∴S△BPF=BF•BP=×2×=,∴4S△BPF=,∴S矩形ABCD=≠4S△BPF,故④不正确；由上可知AB=AE=BE=2,∴△AEB为正三角形,故⑤正确；综上可知正确的结论为：①②③⑤．故答案为：①②③⑤．[点评]本题主要考查矩形的性质和相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的判定等知识点的综合应用．根据条件求得AE=AB,求得DE的长是解题的关键,从而可求得BF、PF、BE等线段的长容易判断②③④⑤．本题知识点较多,综合性较强,难度较大．在解题时注意勾股定理的灵活运用．14．如图,在矩形ABCD中,AD=AB,∠BAD的平分线交BC于点E,DH⊥AE于点H,连接BH并延长交CD于点F,连接DE交BF于点O,下列结论：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤AB=HF,其中正确的有①②③④．[分析]①根据角平分线的定义可得∠BAE=∠DAE=45°,可得出△ABE是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得AE=AB,从而得到AE=AD,然后利用"角角边"证明△ABE和△AHD全等,根据全等三角形对应边相等可得BE=DH,再根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE=∠AED=67.5°,根据平角等于180°求出∠CED=67.5°,从而判断出①正确；②求出∠AHB=67.5°,∠DHO=∠ODH=22.5°,然后根据等角对等边可得OE=OD=OH,判断出②正确；③求出∠EBH=∠OHD=22.5°,∠AEB=∠HDF=45°,然后利用"角边角"证明△BEH和△HDF全等,根据全等三角形对应边相等可得BH=HF,判断出③正确；④根据全等三角形对应边相等可得DF=HE,然后根据HE=AE﹣AH=BC﹣CD,BC﹣CF=BC﹣〔CD﹣DF=2HE,判断出④正确；⑤判断出△ABH不是等边三角形,从而得到AB≠BH,即AB≠HF,得到⑤错误．[解答]解：∵在矩形ABCD中,AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE=45°,∴△ABE是等腰直角三角形,∴AE=AB,∵AD=AB,∴AE=AD,在△ABE和△AHD中,,∴△ABE≌△AHD〔AAS,∴BE=DH,∴AB=BE=AH=HD,∴∠ADE=∠AED=〔180°﹣45°=67.5°,∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°,∴∠AED=∠CED,故①正确；∵∠AHB=〔180°﹣45°=67.5°,∠OHE=∠AHB〔对顶角相等,∴∠OHE=∠AED,∴OE=OH,∵∠DOH=90°﹣67.5°=22.5°,∠ODH=67.5°﹣45°=22.5°,∴∠DOH=∠ODH,∴OH=OD,∴OE=OD=OH,故②正确；∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°,∴∠EBH=∠OHD,又∵BE=DH,∠AEB=∠HDF=45°在△BEH和△HDF中∴△BEH≌△HDF〔ASA,∴BH=HF,HE=DF,故③正确；由上述①、②、③可得CD=BE、DF=EH=CE,CF=CD﹣DF,∴BC﹣CF=〔CD+HE﹣〔CD﹣HE=2HE,所以④正确；∵AB=AH,∠BAE=45°,∴△ABH不是等边三角形,∴AB≠BH,∴即AB≠HF,故⑤错误；综上所述,结论正确的是①②③④．故答案为：①②③④．[点评]本题考查了矩形的性质,全等三角形的判定与性质,角平分线的定义,等腰三角形的判定与性质,熟记各性质并仔细分析题目条件,根据相等的度数求出相等的角,从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键,也是本题的难点．15．如图所示,在正方形ABCD的对角线上取点E,使得∠BAE=15°,连结AE,CE．延长CE到F,连结BF,使得BC=BF．若AB=1,则下列结论：①AE=CE；②F到BC的距离为；③BE+EC=EF；④；⑤．其中正确的是①③⑤．[分析]根据正方形的性质得出AB=BC,∠ABD=∠CBD=45,利用SAS证明△ABE≌△CBE,即可判断①正确；过F作FH⊥BC于H,先求出∠FBH=30°,再根据直角三角形的性质求出FH,即可判断②错误；在EF上取一点N,使BN=BE,由∠BEN=60°,得出△NBE为等边三角形,再利用ASA证明△FBN≌△CBE,得出NF=EC,从而判断③正确；过A作AM⊥BD交于M,根据勾股定理求出BD,解直角△ADM与直角△AEM,求出AM、DM与EM的值,根据三角形的面积公式求出S△AED=DE×AM=+,即可判断④错误；根据S△EBF=S△FBC﹣S△EBC及S△CBE=S△ABE=S△ABM﹣S△AEM,求出S△EBF=,进而判断⑤正确．[解答]解：①∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABD=∠CBD=45°,∵BE=BE,∴△ABE≌△CBE,∴AE=CE,∴①正确；②过F作FH⊥BC于H．∵△ABE≌△CBE,∴∠BAE=∠BCE=15°．∵BF=BC=1,∴∠BFC=∠FCB=15°,∴∠FBH=∠BFC+∠FCB=30°,∴FH=BF=,∴②错误；③在EF上取一点N,使BN=BE,又∵∠BEN=∠EBC+∠ECB=45°+15°=60°,∴△NBE为等边三角形,∴∠ENB=60°,又∵∠NFB=15°,∴∠NBF=45°,又∵∠EBC=45°,∴∠NBF=∠EBC,又∵BF=BC,∠NFB=∠ECB=15°,∴△FBN≌△CBE,∴NF=EC,故BE+EC=EN+NF=EF,∴③正确；④过A作AM⊥BD交于M．在直角△ABM中,∵∠BAD=90°,AB=AD=1,∴BD=,在直角△ADM中,∵∠AMD=90°,∠ADM=45°,AD=1,∴DM=AM=,在直角△AEM中,∵∠AME=90°,∠AEM=60°,AM=,∴EM==,∴S△AED=DE×AM=〔+×=+,∴④错误；⑤∵BD=,AM=DM=,EM=,∴BM=BD﹣DM=﹣=,BM﹣EM=﹣,∴S△ABE=S△ABM﹣S△AEM=BM•AM﹣EM•AM=AM〔BM﹣EM=××〔﹣=﹣．∵△ABE≌△CBE,∴S△ABE=S△CBE=﹣,∴S△EBF=S△FBC﹣S△EBC=×1×﹣〔﹣=,∴⑤正确．故答案为①③⑤．[点评]本题是四边形的综合题,主要考查了正方形的性质,全等三角形的性质和判定,三角形的面积,解直角三角形等知识,综合性较强,有一定难度．准确作出辅助线是解题的关键．16．如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3cm,AB=5cm．点P从点A出发沿AC以1.5cm/s的速度向点C匀速运动,到达点C后立刻以原来的速度沿CA返回；点Q从点B出发沿BA以1cm/s的速度向点A匀速运动．伴随着P、Q的运动,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线PC﹣CB﹣BQ于点E．点P、Q同时出发,当点Q到达点A时停止运动,点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒〔t＞0,则当t=或秒时,四边形BQDE为直角梯形．[分析]由四边形QBED为直角梯形,分为∠PQB=90°和∠CPQ=90°两种情况,得出三角形相似,利用相似比求出相应t的值即可．[解答]解：在Rt△ABC中,BC=3cm,AB=5cm,根据勾股定理得：AC==4cm,设P、Q运动t秒时,四边形QBED为直角梯形,①当∠PQB=90°时,得DE∥QB,则四边形QBED是直角梯形〔如图1,此时△APQ∽△ABC,则=,即=,解得：t=；②当∠CPQ=90°时,得PQ∥BC,则四边形QBED是直角梯形〔如图2,此时△APQ∽△ACB,则=,即=,解得：t=,综上,当点P、Q运动或秒时,四边形QBED是直角梯形．故答案为：或[点评]此题考查了四边形综合题,涉及的知识有：相似三角形的判定与性质,直角梯形的性质,利用了分类讨论及数形结合的思想,解题的关键是由直角梯形的直角的可能情况,利用平行线得相似三角形,分类求解．三．解答题〔共34小题17．在正方形ABCD中,动点E,F分别从D,C两点同时出发,以相同的速度在直线DC,CB上移动．〔1如图1,当点E在边DC上自D向C移动,同时点F在边CB上自C向B移动时,连接AE和DF交于点P,请你写出AE与DF的数量关系和位置关系,并说明理由；〔2如图2,当E,F分别在边CD,BC的延长线上移动时,连接AE,DF,〔1中的结论还成立吗？〔请你直接回答"是"或"否",不需证明；连接AC,请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE：CD的值；〔3如图3,当E,F分别在直线DC,CB上移动时,连接AE和DF交于点P,由于点E,F的移动,使得点P也随之运动,请你画出点P运动路径的草图．若AD=2,试求出线段CP的最大值．[分析]〔1根据正方形的性质得出AD=DC,∠ADE=∠DCF=90°,求出DE=CF,根据SAS推出△ADE≌△DCF,根据全等三角形的性质得出AE=DF,∠DAE=∠FDC即可；〔2有两种情况：①当AC=CE时,设正方形ABCD的边长为a,由勾股定理求出AC=CE=a即可；②当AE=AC时,设正方形ABCD的边长为a,由勾股定理求出AC=AE=a,根据正方形的性质∠ADC=90°,根据等腰三角形的性质得出DE=CD=a即可；〔3根据〔1〔2知：点P在运动中保持∠APD=90°,得出点P的路径是以AD为直径的圆,设AD的中点为Q,连接CQ并延长交圆弧于点P,此时CP的长度最大,求出QC即可．[解答]解：〔1AE=DF,AE⊥DF,理由是：∵四边形ABCD是正方形,∴AD=DC,∠ADE=∠DCF=90°,∵动点E,F分别从D,C两点同时出发,以相同的速度在直线DC,CB上移动,∴DE=CF,在△ADE和△DCF中,∴△ADE≌△DCF,∴AE=DF,∠DAE=∠FDC,∵∠ADE=90°,∴∠ADP+○CDF=90°,∴∠ADP+∠DAE=90°,∴∠APD=180°﹣90°=90°,∴AE⊥DF；〔2〔1中的结论还成立,CE：CD=或2,理由是：有两种情况：①如图1,当AC=CE时,设正方形ABCD的边长为a,由勾股定理得：AC=CE==a,则CE：CD=a：a=；②如图2,当AE=AC时,设正方形ABCD的边长为a,由勾股定理得：AC=AE==a,∵四边形ABCD是正方形,∴∠ADC=90°,即AD⊥CE,∴DE=CD=a,∴CE：CD=2a：a=2；即CE：CD=或2；〔3∵点P在运动中保持∠APD=90°,∴点P的路径是以AD为直径的圆,如图3,设AD的中点为Q,连接CQ并延长交圆弧于点P,此时CP的长度最大,∵在Rt△QDC中,QC===,∴CP=QC+QP=+1,即线段CP的最大值是+1．[点评]本题考查了正方形的性质,勾股定理,圆周角定理,全等三角形的性质和判定,等腰三角形的性质,三角形的内角和定理的应用,能综合运用性质进行推理是解此题的关键,用了分类讨论思想,难度偏大．18．如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=6．点P在边AC上运动,过点P作PD⊥AB于点D,以AP、AD为邻边作▱PADE．设□PADE与△ABC重叠部分图形的面积为y,线段AP的长为x〔0＜x≤6．〔1求线段PE的长〔用含x的代数式表示．〔2当点E落在边BC上时,求x的值．〔3求y与x之间的函数关系式．〔4直接写出点E到△ABC任意两边所在直线距离相等时x的值．[分析]〔1先由∠C=90°,AC=BC,得出∠A=45°,再解等腰直角△APD,得出AD=AP•cos∠A=x=PD,然后根据平行四边形对边相等得出PE=AD=x；〔2当点E落在边BC上时,先由平行线的性质得出∠CPE=∠A=45°,再解等腰直角△CPE,得出PC=PE•cos∠CPE=x•=x,再根据AP+PC=AC列出方程x+x=6,解方程即可；〔3分两种情况进行讨论：①当0＜x≤4时,y=S▱PADE,根据平行四边形面积公式求解即可；②当4＜x≤6时,设DE与BC交于G,PE与BC交于F．求出GE=DE﹣DG=x﹣〔6﹣x=x﹣6,再根据y=S▱PADE﹣S△GFE计算即可；〔4由〔2知,x=4时,点E落在边BC上,此时点E到△ABC任意两边所在直线距离均不相等,所以分两种情况进行讨论：①当E在△ABC内部时,0＜x＜4．过E作EL⊥AC于L,EM⊥AB于M,延长DE交BC于N,则EN⊥BC．求出EL=x,EM=x,EN=6﹣x．由于x≠x,即EL≠EM．所以分EL=EN与EM=EN分别列出方程,求解即可；②当E在△ABC外部时,4＜x≤6,过E作EL⊥AC交AC延长线于L,EM⊥AB于M,易知EG⊥BC．求出EL=x,EM=x,EG=x﹣6．由于x≠x,即EL≠EM．所以分EL=EN与EM=EN分别列出方程,求解即可．[解答]解：〔1∵在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,∴∠A=45°,∵PD⊥AB,∴AD=AP•cos∠A=x=PD,∵四边形PADE是平行四边形,∴PE=AD=x；〔2当点E落在边BC上时,如图1．∵PE∥AD,∴∠CPE=∠A=45°,∵∠C=90°,∴PC=PE•cos∠CPE=x•=x．∵AP+PC=AC,∴x+x=6,∴x=4；〔3①当0＜x≤4时,如图2．y=S▱PADE=AD•PD=x•x=x2,即y=x2；②当4＜x≤6时,如图3,设DE与BC交于G,PE与BC交于F．∵AD=x,AB=AC=6,∴DB=AB﹣AD=6﹣x,∴DG=DB•sin∠B=〔6﹣x•=6﹣x,∴GE=DE﹣DG=x﹣〔6﹣x=x﹣