专题08 规律探究二（培优）2023-2024学年七年级数学上册重难热点提升精讲与实战训练（人教版）（解析版）

第第页专题08规律探究二（培优）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、数字类规律1．由算式142857×1=142857,142857×2=285714,142857×3=428571，可以得出A．571428 B．714285 C．857142 D．999999【答案】C【详解】∵142857×6的末位数字为2，∴142857×6=857142，故选：C．2．观察下列等式：70=1,71=7，7A．0 B．1 C．7 D．8【答案】C【详解】解：∵7∴个位数4个数一循环，4个数一循环的个位数的和：1+7+9+3=20，∵2022+1÷4=505⋯3，∴7故选：C3．有一列数a1，a2，a3，⋯，an从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若a1A．2011 B．2 C．−1 D．1【答案】C【详解】解：∵a1=2∴aa3a4a5…以此类推，每3个数为一组进行循环，2022÷3=674，∴a故选：C．4．某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（由一个分裂成两个），若这种细菌由1个分裂成256个，则这个过程要经过（

）A．3小时 B．3.5小时 C．4小时 D．4.5小时【答案】C【详解】解：某种细菌原来有1个，半小时后有：2个，1小时后有221.5小时后有232小时后有24……4小时后有28∴这种细菌由1个经过4小时可分裂为256个，故选C．5．有理数a≠1，我们把11−a称为a的差倒数．如：3的差倒数是11−3＝−12的差倒数是，−1的差倒数11−（−1）=12．已知a1=2，a2是【答案】−1【详解】解：a2a3a4…∴这个列数以2，−1，12∴2021÷3=673⋯2，故a6．已知整数a1,a2,a3,a4,⋅⋅⋅，满足下列条件：a1=0A．−2019 B．−2020 C．−2021 D．−2022【答案】D【详解】解：∵a1∴a∴a∴a∴a……综上所述，可得出：当n>1，n为奇数时，an=−n−1，当n∵2022为偶数，∴a故选：D．7．观察下面一列数：−1，2，−3，4，−5，6，−7，…将这列数排成下列形式：

按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第9个数是；数−201是第行从左边数第个数．【答案】90155【详解】解：根据题意可得：第1行从左边数最后一个数是−11第2行从左边数最后一个数是−12第3行从左边数最后一个数是−13……第n行从左边数最后一个数是−1n∴那么第9行从左边数最后一个数是−19×9∴第10行从左边数第9个数是90，∵第14行从左边数最后一个数是−114×14∴−201是第15行从左边数第5个数，故答案为：90，15，5．8．如下表，从左边第1个格子开始依次在每个格子中填入一个正整数，第1个格子填入a1，第2个格子填入a2，第3个格子填入a3，…，第n个格子填入an，以此类推，表中任意4个相邻格子中所填正整数之和都相等，其中aaaa…a…(1)若a3=6，则a5(2)将表中前2024个数的和记为S，若2−a7−【答案】(1)2；6(2)8096【详解】（1）解：∵表中任意4个相邻格子中所填正整数之和都相等，∴a∴a1=a5以此类推，a3=a∵2023=4×506−1，∴a故答案为：2；6．（2）解：∵2−∴a7+∵a7∴a由（1）可知，a1=a∴a又∵表中任意4个相邻格子中所填正整数之和都相等，2024=4×506，∴S=506a二、图形类规律9．如图所示的一组图形中，按照此规律，第30个图形有个正方形．

【答案】61【详解】解：由图知，第1个图形有2+1=3个正方形，第2个图形有2×2+1=5个正方形，第3个图形有2×3+1=7个正方形，第4个图形有2×4+1=9个正方形，…，第n个图形有2n+1个正方形，∴第30个图形有30×2+1=61个正方形，故答案为：61．10．如图是用棋子摆成的“上”字，第一个“上”字是由6枚棋子摆成，第二个“上”字是由10枚棋子摆成，第三个“上”字是由14枚棋子摆成，…，如果按照这样的规律继续摆下去，第n个“上”字需用枚棋子．（用含n的式子表示）

【答案】4n+2/2+4n【详解】解：根据题意得：第一个“上”字是由6=2+4第二个“上”字是由10=2+4×2第三个“上”字是由14=2+4×3……，由此发现，第n个“上”字需用4n+2枚棋子．故答案为：4n+211．如图①，是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②；再分别连接图中小三角形三边的中点，得到图③．（1）图②中有个三角形；（2）按上面的方法继续下，第n个图形中有个三角形．【答案】54n−3【详解】解：图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有9个三角形，…发现每个图形都比起前一个图形依次多4个三角形，∴第n个图形中有1+4n−1故答案为：5，4n−3．12．用棋子摆出下列一组三角形，三角形每边有n枚棋子，每个三角形的棋子总数为s，如图按此规律推断，当三角形的边上有2021枚棋子时，该三角形棋子总数s=．

【答案】6060【详解】解：观察图形的变化可知：当n=2时，s=3×2−3=3，当n=3时，s=3×3−3=6，当n=4时，s=3×4−3=9，…发现规律：当三角形每边有n枚棋子时，s=3n−3．当n=2021时，s=3×2021−3=6060故答案为：6060．13．如图，将一串有理数按一定规律排列，探索下列问题：

(1)在A处的数是正数还是负数？(2)负数排在A，B，C，D中的什么位置？(3)第2021个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的什么位置？【答案】(1)在A处的数是正数；(2)负数排在B，D位置；(3)第2021个数是负数，排在排在B对应的位置．【详解】（1）解：A处是向上箭头对应的数，与4、8对应，则在A处的数是正数；（2）根据前面的数字可得，除1外，向右的箭头对应的数为负数，在A，B，C，D中B，D是向右的箭头对应的数，即负数排在B，D位置；（3）根据前面的数据可得，奇数为负数，偶数为正数，且A与4对应，B与−5对应，C与6对应，D与−7对应，依次循环，2021为奇数，则2021÷4=505……1，排在B对应的位置答：第2021个数是负数，排在排在B对应的位置．14．下面各图均由边长相同的正方形按一定规律拼接而成，请你观察、分析并解决下列问题：

(1)第5个图中的正方形的个数是______；(2)求第n个图中正方形的个数．【答案】(1)16(2)3n+1【详解】（1）解：第1个图中正方形的个数是：3=3×1+1，第2个图中正方形的个数是：7=3×2+1，第3个图中正方形的个数是：10=3×3+1，…则第n个图中正方形的个数是：3n+1，即第5个图中的正方形的个数是：3×5+1=16，故答案为：16；（2）解：由（1）得，第n个图中正方形的个数是3n+1．15．如图几何体是由若干棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），观察该图．探究其中的规律．

(1)第1个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有_____个；第2个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有______个；第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有_____个；第10个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有______个；(2)第n个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有______个．（用含n的式子表示）【答案】(1)4，12，20，76；(2)(8n−4)【详解】（1）解：观察图形可得第1个几何体中最底层的4个角的小立方体只有2个面涂色；第2个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有3×4=第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有5×4=第10个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数共有19×4=76(个)．故答案为：4，12，20，76；（2）解：观察图形可知：图①中，只有2个面涂色的小立方体共有4个；图②中，只有2个面涂色的小立方体共有12个；图③中，只有2个面涂色的小立方体共有20个．4，12，20都是4的倍数，可分别写成4×1，4×3，4×5的形式，因此，第n个图中两面涂色的小立方体的块数共有：4(2n﹣1)＝8n﹣4．故答案为：(8n−4)．三、图形与数字类的融合16．如图，平面内有公共端点的六条射线OA、OB、OC、OD、OE、OF，从射线OA开始按逆时针依次在射线上写出数字1、2、3、4、5、6、7…，则数字“2012”在（

）

A．射线OA上 B．射线OB上 C．射线OD上 D．射线OF上【答案】B【详解】解：观察图形可得，按照逆时针方向，每6个数字为一个循环组，∵2012÷6=335…2，所以，数字2012是第336组的第2个数字，在射线OB上，故选：B．17．如图，一动点从原点开始向左运动，每秒运动1个单位长度，规定；每向左运动3秒就向右运动2秒．则动点运动到第2023秒时所对应的数是（

）A．−406 B．−407 C．−2022 D．−2023【答案】B【详解】解:∵每向左运动3秒就向右运动2秒，即每经过3+2秒就向左移动1个单位，∴2023÷5=404……3，即经过404个5秒后，又经过3秒的左移，∴404+3=407个单位，∴动点运动到第2023秒时所对应的数是−407，故选B．18．如图，把一个面积为1的正方形分成两个面积为12的长方形，再把其中一个面积为12的长方形分成两个面积为14的正方形，再把其中一个面积为1

(1)计算；12(2)计算：12【答案】(1)31(2)1−【详解】（1）解：1==1−=1−=31（2）解：1==1−=1−119．综合与实践：问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：11×2=1−12，12×3(1)独立思考：解答王老师提出的问题：第5个式子为，第n个式子为．(2)实践探究：在（1）中找出规律，并利用规律计算：11×2(3)问题拓展，求1(4)问题解决：求11+2【答案】(1)15×6=(2)2021(3)1011(4)2021【详解】（1）解：由题意得：5个式子为：15×6第n个式子为：1n(n+1)故答案为：15×6=1（2）1=1−=1−=2021（3）1====1011（4）1===2×(=2×(=2×(=2×=202120．背景阅读：意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，⋯，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两上数的和．为了纪念这个著名的发现，人们将这组数命名为斐波那契数列．实践操作：

(1)写出斐波那契数列的前10个数；(2)斐波那契数列的前2018个数中，有

个奇数？(3)现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造如图1的正方形系列：再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个，⋯正方形拼成如图2长方形并记为①，②，③，④，⑤⋯．（ⅰ）通过计算相应长方形的周长填写表（不计拼出的长方形内部的线段）；序号①②③④⑤……周长610

……（ⅱ）若按此规律继续拼成长方形，求序号为⑩的长方形的长与宽．【答案】(1)1，1，2，3，5，8，13，21，34，55(2)1346(3)（ⅰ）16；26；42；（ⅱ）长为144，宽为89【详解】（1）写出斐波那契数列的前10个数是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55（2）奇偶特点：奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶……，3个一周期.201奇数：672×2+2故答案为：1346；（3）（i）通过计算相对应长方形的周长填写表（不计拼出的长方形内部的线段）序号为①的长方形的周长为6=(1+2)×2；序号为②的长方形的周长为10=(2+3)×2；序号为③的长方形的周长为16=(3+5)×2；序号为④的长方形的周长为26=(5+8)×2；序号为⑤的长方形的周长为42=(8+13)×2；序号①②③④⑤……周长610

16

26

42

……（ii）由（1）得，第11个数为34+55=89，第10个长方形的长为：89+55=144；宽为：34+55=89．21．如图，将一张正方形纸片剪成两个小长方形，每个小长方形的面积