培优专题01一元二次方程的解法-原卷版

培优专题01一元二次方程的解法◎方法一直接开平方法如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=,x2=.直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。1．（2022·浙江绍兴·八年级期末）一元二次方程x2-1＝0的根是（

）A．x1＝x2＝1 B．x1＝1，x2＝-1C．x1＝x2＝-1 D．x1＝1，x2＝02．（2022·安徽滁州·八年级期末）如果关于的方程可以用直接开平方法求解，那么的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2022·全国·九年级课时练习）关于的方程．（1）当时，方程有__________的实数根；（2）当时，方程有__________的实数根；（3）当时，方程__________．4．（2022·安徽合肥·八年级期末）方程的解为______．5．（2022·全国·九年级单元测试）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．(1)若，求的值．(2)若，求的值．◎方法二配方法1、配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开；2、把常数项移到等号的右边；3、方程两边都除以二次项系数；4、方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；5、若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。6．（2022·江苏南通·八年级期末）用配方法解方程，变形正确的是（

）A． B． C． D．7．（2022·全国·九年级课时练习）下列解方程变形正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则或8．（2022·江苏·九年级专题练习）用配方法将方程变为的形式，则________．9．（2022·江苏南京·模拟预测）当满足时，方程的根是________．10．（2022·浙江金华·八年级期末）解方程：(1)；(2)x2－6x＋2＝0．◎方法三公式法一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为x=，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。公式法解一元二次方程的具体步骤：方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值确定公式中a,b,c的值，注意符号；求出b2-4ac的值；若b2-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，则方程无实数根。11．（2022·广西崇左·八年级期末）用公式法解方程时，求根公式中a，b，c的值分别是（

）．A．，， B．，，C．，， D．，，12．（2022·全国·九年级专题练习）用公式法解方程4y2﹣12y﹣3＝0，得到（）A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝13．（2022·江苏·九年级课时练习）已知代数式x2-3与代数式的值互为相反数，那么x的值为______．14．（2019·全国·八年级单元测试）方程的解是______.15．（2021·湖北·襄阳市樊城区青泥湾九年级阶段练习）解方程：(1)(2)◎方法四因式分解法1.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.特别说明：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式；（4）解一元二次方程时如果能用因式分解法进行解题，它是首选。16．（2022·山东泰安·八年级期末）下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是（）A． B． C． D．17．（2022·浙江·温州市南浦实验八年级期中）方程的解是（）A．x＝﹣3 B．x1＝3，x2＝﹣3C．x1＝，x2＝ D．x＝﹣3，x＝018．（2022·浙江·杭州外国语八年级期中）已知直角三角形的其中两条边长是方程x2﹣12x+32＝0的根，则该三角形的第三条边长为_____．19．（2021·湖南永州·九年级期中）关于x的一元二次方程的一个解为0，则______．20．（2021·陕西·西安高新第一初中校区一模）解方程(1)(2)◎方法五换元法1、解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理.2、我们常用的是整体换元法,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程,从而达到降次的目的.21．（2021·山东济南·八年级期末）关于x的一元二次方程方程ax2＋bx＋c＝0（a、b、c均为常数，a≠0）的解是x1＝m－3，x2＝1－m，那么方程a（x－m）2＋bx＋c＝mb的解是（）A．x1＝－3，x2＝1 B．x1＝2m－3，x2＝1C．x1＝2m－3，x2＝1－2m D．x1＝－3，x2＝1－2m22．（2022·安徽·合肥市五十新校八年级期中）若实数满足方程，那么的值为（

）A．或4 B．4 C． D．2或23．（2022·全国·九年级专题练习）已知，则的值是_______．24．（2022·江苏·九年级专题练习）已知（a2+b2）（a2+b2﹣1）＝6，则a2+b2＝___．25．（2022·全国·九年级）解方程（x2﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝0时，我们将x2﹣1作为一个整体，设x2﹣1＝y，则原方程化为y2﹣3y＝0，解得y1＝0，y2＝3，当y＝0时，x2﹣1＝0，解得x＝1或x＝﹣1，当y＝3时，x2﹣1＝3，解得x＝2或x＝﹣2，所以，原方程的解为x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2模仿材料中解方程的方法，求方程（x2＋2x）2﹣2（x2＋2x）﹣3＝0的解．◎方法六十字相乘法26．（2022·江苏·九年级单元测试）已知三角形的两边长为3和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是（

）A．12 B．13 C．12或13 D．1527．（2022·内蒙古包头·中考真题）若是方程的两个实数根，则的值为（

）A．3或 B．或9 C．3或 D．或628．（2