数值分析(计算方法)实验一

《数值分析》课程实验指导书实验一函数插值方法一、问题提出对于给定的一元函数的n+1个节点值。试用Lagrange公式求其插值多项式或分段二次Lagrange插值多项式。数据如下：（1）0.40.550.650.800.951.050.410750.578150.696750.901.001.25382求五次Lagrange多项式，和分段三次插值多项式，计算,的值。（提示：结果为,）（2）12345670.3680.1350.0500.0180.0070.0020.001试构造Lagrange多项式，计算的,值。（提示：结果为,）二、要求1、利用Lagrange插值公式编写出插值多项式程序；2、给出插值多项式或分段三次插值多项式的表达式；3、根据节点选取原则，对问题（2）用三点插值或二点插值，其结果如何；4、对此插值问题用Newton插值多项式其结果如何。实验分析：Lagrange插值多项式的表达式：。其中被称为插值基函数，实际上是一个n次多项式。的这种表示具有较好的对称性。公式具有两大优点：（1）求插值多项式，不需要求解线性方程组，当已知数据点较多时，此公式更能显示出优越性。（2）函数值可以用符号形式表示，数据点未确定的纵坐标可用多项式表示。Newton插值多项式如下：其中：Newton插值多项式的优点是：当每增加一个节点时，只增加一项多项式。实验程序及注释1、m程序：function[c,l]=lagran(x,y)%x为n个节点的横坐标组成的向量，y为纵坐标所组成的向量%c为所得插值函数的系数所组成的向量w=length(x);n=w-1;l=zeros(w,w);fork=1:n+1v=1;forj=1:n+1ifk~=jv=conv(v,poly(x(j)))/(x(k)-x(j));endendl(k,:)=v;endc=y*l;functionfi=Lagran_(x,f,xi)fi=zeros(size(xi));n=length(f);fori=1:nz=ones(size(xi));forj=1:nifi~=j,z=z.*(xi-x(j))/(x(i)-x(j));endendfi=fi+z*f(i);endReturn主程序：对于数据（1），在主窗口输入：x=[0.40.550.650.800.951.05];y=[0.410750.578150.686750.901.001.25382];lagran(x,y)ans=143.8486-506.0836694.2890-463.5132151.5174-18.9859formatlongxi=[0.596,0.990];yi=Lagran_(x,y,xi)yi=0.619163507885471.05159915747938xx=0.3:0.01:1.1[c,l]=lagran(x,y)yy=polyval(c,xx)plot(xx,yy,x,y,'o');得出在拉格朗日的插值多项式曲线图，如图1-1所示：图1-1由此得到所求的lagrange多项式为：对于数据（2），在主窗口输入：x=[1234567];y=[0.3680.1350.0500.0180.0070.0020.001]；lagran(x,y)ans=0.0001-0.00160.0186-0.11750.4419-0.96830.9950xi=[1.8,6.15];yi=Lagran_(x,y,xi)yi=0.164760.0012658xx=0:7[c,l]=lagran(x,y)yy=polyval(c,xx)plot(xx,yy,x,y,'o');得出在拉格朗日的插值多项式曲线图，如图1-2所示：图1-2所以得到所求的lagrange多项式为：对于要求（3），在主窗口输入：x=[0.4,0.65,0.95];y=[0.41075,0.69675,1.00];[c,l]=lagran(x,y)c=-0.242121212121211.39822727272727-0.10980151515152xx=04:0.01：1.0yy=polyval(c,xx)plot(xx,yy,x,y,'o');得出在拉格朗日的插值多项式曲线图，如图1-3所示：图1-3xi=[0.596,0.990];yi=Lagran_(x,y,xi)yi=0.637536610909091.037140484848484.1基于Newton插值多项式对插值问题的分析。function[c,d]=newploy(x,y)%这里x为n个节点的横坐标所组成的向量，y为纵坐标所组成的向量%c为所求的Newton插值多项式的系数构成的向量n=length(x);d=zeros(n,n);d(:,1)=y';forj=2:nfork=j:nd(k,j)=(d(k,j-1)-d(k-1,j-1))/(x(k)-x(k-j+1));endendc=d(n,n);fork=(n-1):-1:1c=conv(c,poly(x(k)));m=length(c);c(m)=c(m)+d(k,k);endx=[0.40.550.650.800.951.05];y=[0.410750.578150.686750.901.001.25382];>>newploy(x,y)ans=143.8486-506.0836694.2890-463.5132151.5174-18.9859三、目的和意义1、学会常用的插值方法，求函数的近似表达式，以解决其它实际