大学物理微积分基础

附录IV微积分基础由于在大学物理学习中，经常需要借助微积分工具解决问题，如速度、加速度、变力冲量、变力做功、高斯定理等物理问题，为了更加好的理解和学习有关物理知识，需要对微积分有一定的认识，学会求简朴函数的导数、微分、积分的办法.一、函数1定义在一种变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一种拟定的值，都有唯一拟定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是因变量，则可称是的函数。函数的三要素为（1）定义域；（2）值域；（3）对应法则.注意：（1）函数符号表达是的函数，不是表达与的乘积；（2）表达对应法则，不同函数中的具体含义不同；（3）相似函数必须满足：定义域、值域、对应法则三者相似。2基本初等函数（1）幂函数；（2）指数函数(且)；（3）对数函数(且)；（4）三角函数与反三角函数.=1\*GB3①正弦函数：；=2\*GB3②余弦函数：；=3\*GB3③正切函数：；=4\*GB3④余切函数：；=5\*GB3⑤正割函数：；=6\*GB3⑥余割函数：以及它们所对应的反三角函数.3、复合函数（1）定义：设的定义域为，的值域为，若，则有关函数的叫做函数与的复合函数，叫中间量.举例以下：=1\*GB3①函数是由和两个函数复合而成；=2\*GB3②函数是由、和三个函数复合而成.二、函数的导数1定义设函数在点的某一邻域内有定义，当自变量在处有增量（也在该邻域内）时，对应地函数有增量，若与之比当时极限存在，则称这个极限值为在处的导数.记为：，还可记为：或。2可导性（1）函数在点处存在导数，则称函数分在点处可导，否则不可导.（2）若函数在区间内每一点都可导，就称函数在区间内可导，这时函数对于区间内的每一种拟定的值，都对应着一种拟定的导数，这就构成一种新的函数，我们就称这个函数为原来函数的导函数。

求导举例：①求函数的导数（为常数）②求函数的导数③求函数（为正整数）3、惯用导数公式表1惯用函数的导数3导数的四则运算法则（1）函数和、差的求导法则：如果函数和函数在处都可导，则函数在点处可导，则有（证明从略），简记为.即两个可导函数之和（差）的导数等于这两个函数的导数之和（差）.（2）函数积的求导法则：如果函数和函数在处都可导，则函数在点处可导，则有（证明从略），简记为.即两个可导函数乘积的导数等于第一种因子的导数与第二个因子的乘积，加上第一种因子与第二个因子的导数的乘积.（3）函数商的求导法则：如果函数在点处可导且，则函数在点处可导，则有（证明从略），简记为.即两个可导函数商的导数等于分子的导数与分母的乘积减去分母的导数与分子的乘积，再除以分母的平方.4、函数的高阶导数普通地，函数的导数仍是自变量的函数，若的导数存在，此导数就被称为函数的二阶导数，记为：、或，即：.推广则为：若函数的阶导函数的导数存在，此导数就称为函数的阶导数，记为：、或，即：.（1）两个函数的和（差）的阶导数等于这两个函数的阶导数的和（差）两个函数的积的阶导数的公式（莱布尼兹公式）惯用几个函数的阶导数；；；；；.5、复合函数的导数函数由和两个函数复合而成，则对的导数可采用公式求得.举例以下：求函数的函数，该函数能够看做由函数，复合而成，由复合函数求导法则得.三、函数的微分1定义设函数在某区间内有定义，及在这区间内，若函数的增量可表达为，其中是不依赖于的常数，是的高阶无穷小，则称函数在点可微的.叫做函数在点对应于自变量增量的微分，记作，即：.微分是自变量变化量的线性函数，与的差是有关的高阶无穷小量，我们把称作的线性主部.当时，,导数的记号为：.把当作（即：定义自变量的增量等于自变量的微分)，此式还可表达为：.若函数在某区间上可导，则它在此区间上一定可微，反之亦成立.

2惯用微分公式表2惯用函数的微分3微分运算法则表3函数的微分法则四、函数的不定积分1原函数设是定义在区间上的一种函数，如果存在函数，使得对于任意，都有或那么函数就称为在区间上的一种原函数.例如

，由于对任意的都有，因此是在区间内的一种原函数.提问：

①满足什么条件的函数含有原函数？②一种函数如果存在原函数，那么它的原函数有多少个？③一种函数如果存在若干个原函数，这些原函数之间有什么关系？原函数存在定理：如果函数在区间上持续，

那么在区间上存在可导函数，

使对任一

都有

，即

持续函数一定有原函数.

这里需要简朴的阐明两点：

=1\*GB3①如果函数在区间上有原函数，

那么就有无限多个原函数，都是的原函数，其中是任意常数；=2\*GB3②的任意两个原函数之间只差一种常数，即如果和都是的原函数，则

(为某个常数).

2不定积分1定义如果函数使函数在区间上的一种原函数，则称的全体原函数（为任意常数）为在区间上的不定积分，记为：.其中，记号称为积分号，称为被积函数，称为被积体现式，称为积分变量.通过上述定义可知，求已知函数的不定积分，只需规定出的一种原函数，然再加上任意常数即可.举例以下：我们已经懂得是的原函数，而是的原函数，因此它们的不定积分从不定积分的定义，

即可知下述关系：由于是函数的原函数，因此或又由于是的原函数，因此或由此可见，微分运算和不定积分的运算是互逆的.3不定积分的性质根据不定积分的定义，能够推到出以下两个性质（证明从略）：①设函数与的原函数存在，则.②设函数的原函数存在，为非零常数，则（为常数，且）.举例以下：求；求4不定积分公式由于积分是微分的逆运算，因此很自然地能够由导数的公式对应的得到如表4所示的积分公式（为常数）.表4积分的基本公式五函数的定积分1定义普通地，设函数在区间上持续，用分点将区间等分成个社区间，每个社区间长度为（即），在每个社区间上取一点作和式：如果无限靠近于0（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分.记为：.其中，成为被积函数，叫做积分变量，为积分区间，积分上限，积分下限.2定积分的几何意义定积分等于觉得曲边的上的曲边梯形的面积，即①如果在上，因，从而.此时表达由直线以及曲线所围成的曲边梯形的面积的负