力与运动圆周运动讲义

圆周运动编审教师：市级骨干教师缪祥禹本专题主要涉及水平面内、竖直面内和斜面上的圆周运动基本规律及临界问题等。高考常以生活中圆周运动的实例为命题背景，考查学生模型建构的能力，同时考查学生利用牛顿第二定律和功能关系求解圆周运动等综合应用能力。水平面内圆周运动及临界问题（2021.湖北.检测）水平圆盘上沿直径方向放置以轻绳相连的两个小物块A和B，两物块的质量分别为mA和mB，到圆心的距离分别为rA和rB，且rA＜rB。两物块与圆盘间的最大静摩擦力均为自身重力的μ倍，重力加速度为g。忽略小物块A、B的大小，不考虑轻绳拉力上限，轻绳伸直且最初拉力为零。圆盘绕过圆心的竖直轴转动，转动的角速度ω由零缓慢增大。（1）当圆盘以角速度ω1匀速转动时，轻绳上开始出现拉力，求ω1的大小；（2）当圆盘以角速度ω2匀速转动时，小物块A将开始滑动，求ω2的大小；（3）在角速度从零缓慢地增加到小物块A将开始滑动过程中，小物块A与圆盘间摩擦力大小为fA，试通过计算，在坐标系中作出fA－ω2图象（要求：必须标出每段图象转折点的纵坐标值）。关键信息：A、B随圆盘一起绕过圆心的竖直轴转动→水平圆盘模型A、B随圆盘一起绕过圆心的竖直轴转动→水平圆盘模型rA＜rB，且圆盘转速逐渐增大→物块滑动的临界状态为，则，，故wB临＜wA临，即B比A先达到临界状态。解题思路：抓住A刚要滑动和B刚要滑动时的两个临界状态，B所受的静摩擦力刚好达最大值时，细绳刚开始有拉力；A所受的静摩擦力刚好到达最大值时，A、B刚好同时相对圆盘发生滑动。（1）当角速度较小时，轻绳张力T＝0，圆盘对A、B的静摩擦力提供其绕轴做圆周运动的向心力，即f0＝mω2r。当圆盘转速增大时，因为rA＜rB，所以物体B先达到最大静摩擦力，对B：μmBg＝mBω12rB，即当ω1＝时，轻绳上开始出现拉力。（2）当ω＞ω1时，轻绳开始出现张力，对A：fA－T＝mAω2rA①对B：μmBg＋T＝mBω2rB②由①＋②得fA＋μmBg＝(mArA＋mBrB)ω2，则当角速度ω增大时，fA一直增大，当A将要开始滑动时fA＝μmAg，解得ω2＝。（3）由第（1）问可得，当0＜ω≤ω1时，fA＝mArAω2，令ω＝ω1时，解得fA＝由第（2）问可得，当ω1＜ω≤ω2时，fA＝(mArA＋mBrB)ω2－μmBg，令ω＝ω2时，解得fA＝μmAg综上作出fA－ω2图象如图所示（2022.重庆.检测）如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合。转台以一定角速度匀速转动，一质量为m的小物块（可视为质点）落入陶罐内，经过一段时间后小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，小物块与陶罐内壁间的动摩擦因数为μ，且它和O点的连线与OO′之间的夹角为θ，转动角速度为ω，重力加速度为g。则下列说法正确的是（）A．当ω2＝时，小物块与陶罐内壁间的弹力为mgcosθB．当ω2＝时，小物块与陶罐内壁间的弹力为C．当ω2＝时，小物块与陶罐内壁间的摩擦力沿罐壁向上D．当ω2＝时，小物块将向陶罐上沿滑动ABC、当摩擦力恰好为零，受力分析如图所示，支持力和重力的合力提供向心力，设此时角速度为ω0，有：mgtanθ＝mRsinθω02，解得ω02＝，此时小物块与陶罐内壁间的弹力为N＝，故AC错误，B正确；D、当角速度最大时，摩擦力方向沿罐壁切线向下达最大值，超过最大值物块将向陶罐上沿滑动，受力分析图如下：设此最大角速度为ω，水平方向：fcosθ＋Nsinθ＝mRsinθω2，竖直方向：fsinθ＋mg＝Ncosθ，其中f＝μN，联立解得ω2＝，D错误，故选B。水平面内圆周运动常见的三种临界情况分析：临界情况典型模型临界条件分析相对滑动的临界条件两物体相对静止且存在着摩擦力时，二者相对滑动的临界条件是静摩擦力刚好达到最大值接触与分离的临界条件两物体恰好接触或分离，临界条件是弹力Fn＝0绳子断裂与松弛的临界条件绳子所能承受的张力是有限度的，绳子恰不断裂的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是绳子张力为0竖直面内圆周运动及临界问题（2022.海南.检测）如图所示，一质量为mv0＝10m/s冲入一管道。该管道为圆管道，半径为R＝5m。已知小球的入口与圆心在同一高度。经过管道后，它又沿着水平导轨进入另一半径为r的圆轨道，且恰好能通过圆轨道的最高点，若所有衔接处均不损失机械能，不计摩擦，小球直径以及管道内径可忽略，圆轨道和圆轨道底端均与水平导轨相切，g取10m/s2。下列说法正确的是（）A．小球到达管道最高点时对管道的压力为零B．小球到达管道最高点时速度为m/sC．小球到达管道最低点时对管道的压力为6ND．圆轨道半径r为4m关键信息：光滑圆管道→轻杆模型，最高点速度v≥0光滑圆轨道→轻绳模型，恰好能通过最高点的临界v＝解题思路：“两点”即最高点和最低点，在最高点和最低点对小球受力分析，找出向心力的来源，根据牛顿第二定律列方程，“一过程”，即从最高点到最低点（或从最低点到最高点），用动能定理或机械能守恒定律将这两点联系起来。B．小球从出发点到管道最高点，由动能定理可得－mgR＝mv12－mv02，解得小球到达管道最高的点时速度v1＝0，选项B错误；A．小球在最高点时，小球对管道的压力等于小球的重力，选项A错误；C．小球从出发点到管道最低点，由动能定理可得mgR＝mv22－mv02，解得小球到达管道最低点时速度v2＝m/s，在最低点，由牛顿第二定律F－mg＝，解得管道最低点对小球的支持力F＝5N，再结合牛顿第三定律可知，选项C错误；D．小球刚好通过圆轨道最高点，在最高点速度v满足mg＝，解得v＝，小球从出发点到圆轨道最高点由动能定理可得：mgR－2mgr＝mv2－mv02，联立得：r＝4m，故D正确。（2022.广东.检测）如图甲所示，陀螺可在圆轨道外侧旋转而不脱落，好像轨道对它施加了魔法一样，被称为“魔力陀螺”。它可等效为一质点在圆轨道外侧运动的模型，如图乙所示。在竖直平面内固定的强磁性圆轨道半径为R，A、B两点分别为轨道的最高点与最低点。质点沿轨道外侧做完整的圆周运动，所受圆轨道的强磁性引力始终指向圆心O且大小恒为F，当质点以速率v＝通过A点时，对轨道的压力为其重力的8倍，不计摩擦和空气阻力，质点质量为m，重力加速度为g，则（）A．强磁性引力的大小F＝7mgB．质点在A点对轨道的压力小于在B点对轨道的压力C．只要质点能做完整的圆周运动，则质点对A、B两点的压力差恒为5mgD．若强磁性引力大小恒为2F，为确保质点做完整的圆周运动，则质点通过B点的最大速率为A、质点在A点，由牛顿第二定律有：F＋mg－FA＝，根据牛顿第三定律有：FA＝FA′＝8mg，联立解得：F＝8mg，选项A错误；BC、质点能完成圆周运动，则在A点根据牛顿第二定律有：F＋mg－NA＝，根据牛顿第三定律有：NA＝NA′；在B点，根据牛顿第二定律有：F－mg－NB＝，根据牛顿第三定律有：NB＝NB′；从A点到B点过程，根据动能定理有：mg⋅2R＝－。联立解得：NA′－NB′＝6mg，选项BC错误；D、若强磁性引力大小恒为2F，在B点根据牛顿第二定律有2F－mg－FB＝，当FB＝0时，质点速度最大，联立解得vB′＝，故选D。解决竖直平面内的圆周运动临界问题的解题思路：斜面上的圆周运动及临界问题（2022.河北.月考）如图所示，一倾斜的匀质圆盘可绕垂直于盘面的固定中心轴转动，盘面上离转轴距离为l＝处有一质量为m＝的小物体（可视为质点）静止在倾斜的匀质圆盘上，物体与盘面间的动摩擦因数为μ＝，盘面与水平面的夹角为θ＝30°。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2。（1）若小物体与圆盘始终保持相对静止，求圆盘匀速转动角速度的最大值；（计算结果保留根式）（2）若小物体与圆盘始终保持相对静止，当圆盘匀速转动的角速度达最大值时，求小物体运动到最高点时所受摩擦力；（3）若小物块在最高点不受摩擦力，求此时小物块的角速度和线速度大小。（计算结果保留根式）关键信息：小物体随圆盘一起做匀速转动→斜面模型＋匀速圆周运动；小物体在圆盘最低点→所受摩擦力最大，临界点1：角速度最大；小物体在圆盘最高点→所受摩擦力为零，临界点2：只有重力沿斜面向下的分力提供向心力。解题思路：“两点”即最高点和最低点，在最高点和最低点对小球受力分析，找出向心力的来源，根据牛顿第二定律列方程求解。（1）小物块在最低点相对圆盘即将滑动时，圆盘匀速转动角速度最大，受力分析如图所示：f1＝μmgcos30°由牛顿第二定律有μmgcos30°－mgsin30°＝，代入数据解得ω1＝rad/s；（2）设小物体在最高点所受摩擦力大小为f，方向沿斜面向上，受力分析如图所示：根据牛顿第二定律得mgsin30°－f＝，代入数据解得f＝1N，方向沿圆盘面向上；（3）小物块在最高点不受摩擦力，根据牛顿第二定律有mgsin30°＝，解得小物块在最高点不受摩擦力时的角速度ω2＝，代入数据解得ω2＝rad/s，小物块在最高点不受摩擦力时的线速度大小v＝ω2l＝m/s（2021.江苏.检测）如图所示，两个质量均为m的小物块a和b（可视为质点），静止在倾斜的匀质圆盘上，圆盘可绕垂直于盘面的固定轴转动，a到转轴的距离为l，b到转轴的距离为2l，物块与盘面间的动摩擦因数为，盘面与水平面的夹角为30°。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，若a、b随圆盘以角速度ω匀速转动，下列说法正确的是（）A．a在最高点时所受摩擦力可能为0 B．a在最低点时所受摩擦力可能为0C．ω＝是a开始滑动的临界角速度 D．ω＝是b开始滑动的临界角速度A．假设在最高点，若a所受的摩擦力为零，仅靠重力沿圆盘向下的分力提供向心力，有：mgsinθ＝mlω2，在最低点，有f－mgsinθ＝mlω2，解得最低点的摩擦力f＝mg，而最大静摩擦力fm＝μmgcosθmg，可知最高点a的摩擦力不会为零，选项A错误；B．在最低点，a靠静摩擦力和重力沿圆盘方向的分力提供向心力，合力指向圆心，则静摩擦力大于重力沿圆盘方向的分力，选项B错误；C．在最低点，对a，根据牛顿第二定律得，μmgcos30°－mgsin30°＝mlω2，解得