C34导热微分方程及其定界条件稳态导热

2-2导热微分方程式及定解条件作用：导热微分方程式及定解条件是对导热体的数学描述，是理论求解导热体温度分布的基础。热力学第一定律+傅里叶定律理论：导热微分方程式建立的基础是：方法：对导热体内任意的一个微小单元进行分析，依据能量守恒关系，建立该处温度与其它变量之间的关系式。一、导热微分方程的推导1.物理问题描述

三维的非稳态导热体，且物体内有内热源（导热以外其它形式的热量，如化学反应能、电能等）。2.假设条件(1)所研究的物体是各向同性的连续介质；(2)热导率、比热容和密度均为已知；(3)内热源均匀分布，强度为[W/m3]；(4)导热体与外界没有功的交换。3.建立坐标系，取分析对象（微元体）

在直角坐标系中进行分析。xyzdxdydz

由于是非稳态导热，微元体的温度随时间变化，因此存在内能的变化；从各个界面上有导入和导出微元体的热量；内热源产生的热量。导入与导出净热量+内热源发热量=热力学能的增加（1）微元体热力学能（内能）的增量4.能量变化的分析:（2）导入与导出微元体的热量

利用导热基本定律可写出各个表面上导入和导出微元体的热量。

沿x轴方向、经x表面导入的热量：

沿x轴方向、经x+dx表面导出的热量：xyz沿x

轴方向导入与导出微元体净热量沿y轴方向导入与导出微元体净热量沿z

轴方向导入与导出微元体净热量同理可得：导入与导出净热量:（3）微元体内热源生成的热量5.导热微分方程的基本形式非稳态项三个坐标方向净导入的热量内热源项1.若导热系数也为常数2.若物性参数为常数且无内热源：二、一些具体情况下的简化为材料的扩散系数，单位：m2/s3.若物性参数为常数、无内热源稳态导热：4.一维稳态含内热源导热：5.一维稳态无内热源导热：1.圆柱坐标系（r,,z）三、其它坐标系中的导热微分方程式2.球坐标系（r,

，）四、导热过程的定解条件

导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律+能量守恒。描写物体温度随时间和空间变化的关系；没有涉及具体、特定的导热过程。是通用表达式。定解条件：使得微分方程获得某一特定问题的解的附加条件。对于非稳态导热问题，需要描述初始时刻温度分布的初始条件，以及给出物体边界上温度或换热的边界条件。稳态导热问题仅有边界条件。导热问题的完整数学描述：导热微分方程+定解条件导热问题常见的边界条件有三类：1.第一类边界条件:指定边界上的温度分布。0δxtw2tw1例：右图中最简单：tw=常数（稳态导热）非稳态导热：τ〉0，tw=f1（τ）2.第二类边界条件:给定边界上的热流密度。0δxqw例：右图中最简单：qw=常数（稳态导热）非稳态导热：τ〉0，qw==f2（τ）3.第三类边界条件:给定边界面与流体间的换热系数和流体的温度，也称为对流换热边界。0δxhqwtf傅里叶定律：牛顿冷却定律：例：右图中其他边界条件——处理复杂实际工程问题（1）辐射边界条件：导热物体表面与温度为Tc的外界环境只发生辐射换热。（2）界面连续条件:发生在不均匀材料中的导热问题，材料接触良好，则满足界面一和界面二上温度和热流密度连续的条件。课下作业：列出下列问题的的数学描述：1.一块厚度为d

的平板，两侧的温度分别为tw1和tw2。（1）导热系数为常数；（2）导热系数是温度的函数。2.一块厚度为d

的平板，平板内有均匀的内热源，热源强度为，平板一侧温度为tw1，平板另一侧绝热。3.一块厚度为d

的平板，平板内有均匀的内热源，热源强度为，平板一侧绝热，平板另一侧与温度为tf

的流体对流换热，且表面传热系数为h。4.已知一单层圆筒壁的内、外半径分别为

r1、r2，导热系数

为常量，无内热源，内、外壁面维持均匀恒定的温度tw1，tw2

。rtw2r1r2tw12-3一维稳态导热稳态导热通过平壁的导热,直角坐标系中的一维问题。通过圆筒壁的导热,圆柱坐标系中的一维问题。通过球壳的导热,球坐标系中的一维问题。温度不随时间而变化。一、通过平壁的导热

平壁的长度和宽度都远大于其厚度，且平板两侧保持均匀边界条件，则该问题就可以归纳为直角坐标系中的一维导热问题。0δxδ

本章只讨论稳态的情况，平壁两侧的边界条件有给定温度、给定热流及对流边界等情况，此外还有平壁材料的导热系数是否是常数，是否有内热源存在等区分。下面分别介绍。1.无内热源，λ为常数，两侧均为第一类边界数学描述:对微分方程直接积分两次，得微分方程的通解0δxt2t1利用两个边界条件将两个积分常数代入原通解，可得平壁内的温度分布如下t2t10δxt线性分布利用傅立叶导热定律可得通过平壁的热流量λ0、b为常数2.无内热源，变导热系数，两侧均为第一类边界数学描述:t2t10δxt若导热系数随温度线性变化则导热微分方程变为对x积分一次得对x再次积分得微分方程的通解利用边界条件最后得温度分布为抛物线形式

其抛物线的凹向取决于系数b的正负。当b>0，λ=λ0(1+bt)，随着t增大，λ增大，即高温区的导热系数大于低温区。所以高温区的温度梯度dt/dx较小，而形成上凸的温度分布。当b<0，情况相反。t2t10δxtb>0b<0热流密度计算式为:或式中

从中不难看出，λm为平壁两表面温度下的导热系数值的算术平均值，亦为平壁两表面温度算术平均值下的导热系数值。t2t10δxt多层平壁：由几层导热系数不同材料组成的复合平壁。3.通过多层平壁的导热，两侧均为第一类边界

对于类似这样的问题，可采用热阻的概念进行分析。在稳态、无内热源的情况下，通过各层的热流量相等。热流量也等于总温差比上总热阻。0xtδ1δ2l1l2t3t1t2二、通过圆筒壁的导热

圆筒壁就是圆管的壁面。当管子的壁面相对于管长而言非常小，且管子的内外壁面又保持均匀的温度时，通过管壁的导热就是圆柱坐标系上的一维导热问题。rr2r1

r1

r

r21、通过单层圆筒壁的导热(无内热源，λ为常数，两侧均为第一类边界)数学描述:积分上面的微分方程两次得到其通解为:

t1

r1

t2

r

r2

利用两个边界条件将两个积分常数代入原通解，可得圆筒壁内的温度分布如下温度分布是一条对数曲线

t1

r1

t2

r

r2通过圆筒壁的热流量式中为通过圆筒壁导热的热阻2.通过多层圆筒壁的导热

采用热阻的概念进行分析。在稳态、无内热源的情况下，通过各层的热流量相等。三、通过球壳的导热

内、外半径分别为r1、r2，球壳材料的导热系数为常数，无内热源，球壳内、外侧壁面分别维持均匀恒定的温度t1、t2。数学描述:温度分布:热流量:(2-24)2-4通过肋片的导热2-4通过肋片的导热

肋片它是指那些从基础表面上伸展出来的固体表面。肋的主要作用是通过提高面积来提高传热量。一、肋片的分类二、主要问题（1）通过肋片散热的热流量；（2）肋片上的温度分布。三、通过等截面直肋导热的分析和计算h，t∞

若肋片长度方向的温度不均可以忽略的话，肋片中的温度分布应是二维的。但是，如果肋片的很薄，导热系数很大，肋片厚度方向的温差近似可以忽略，则，肋片中的温度常仅是高度x的函数。Hδx0dx

将肋片表面的散热量虚拟为肋片中的内热源（吸热）来进行处理，因此，该问题最终可简化为一维、稳态、含有内热源的导热问题。h，t∞Hδx0dx导热微分方程内热源强度的确定：

设横截面积为Ac，界面的周长为P。对dx的微元段进行分析。h，t∞为了数学求解的方便，令导热微分方程相应变成该导热微分方程的通解为第一个边界条件是在x=H的边界处，有三种情况Hδx0dxh，t∞H0t0t∞xt0Ht0t∞xtH0t0t∞xt采用第二种情况，顶端绝热用两个边界条件，可以得到两个未知的常数C1和C2,最后，肋片中的温度分布可表示为

由肋片散失的全部热流量都必须通过肋的根部，在此处应用傅立叶定律，可得h，t∞x0此时，肋片顶端的温度可表示为肋片效率：肋片的实际散热量

与假定整个肋片表面都处在肋基温度t0时的理想散热量

0的比值。四、肋片效率Ht0t∞x0

对于等截面直肋片其肋效率可表示为肋片散热量的工程计算方法：（2）计算出理想情况下的散热量

0=hA(t0-t

)（1）由图线或计算公式得到

f（3）由式

=f

0

计算出实际散热量

例题2-5五、肋片的优化1、最优的肋片型式tHt0t∞x0

假定表面传热系数h保持常数，对流散热的热流密度q将沿肋高逐步下降，因此，肋基处材料的利用率明显高于靠近肋端的部分，最佳的肋片型式就是希望单位重量的肋片材料发挥相同的作用，或者说在给定的散热量下，使肋的材料消耗量最小。

理论研究表明肋片的外形是圆弧的时候最佳。但实际上，由于制造工艺的原因，工程上常用简单的三