浅谈逆向思维在初中数学证明中的应用 论文

2022年安徽省中小学教育教学论文评选浅谈逆向思维在初中数学证明中的应用向思维是逻辑推理的一种重要思维方式，而逻辑推理是数学学科核心素养的重要组成部分。捉到解题思路，有利于学生思维能力的提升。关键词：逆向思维，数学证明，逻辑推理，核心素养。引言：数学证明是中学数学教学的重点，更是难点，有的学生对于数学证明一头雾水，明的一种重要思维方法。在数学课程中，应当注重发展学生的推理能力。[1]数学学科核心素养中包括逻辑推理，逆向思维是逻辑推理的一种重要思维方法。正文：综合法与分析法是中学数学证明的两种重要方法，综合法是“由因求果”，理等，逻辑清晰，证明效率较高。应用。例ABCD是对角线BDE在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于点F。（1）证明：PC=PE;（2）求∠CPE的度数.12022年安徽省中小学教育教学论文评选本题第（1）问，已知PA=PE，要证PC=PE，只需证PC=PA即可，结合图形，要证PC=PA，可通过证明△PBA≌△PBC得出。因为四边形ABCD为正方形，所以所以PC=PA，因为PA=PE，所以PC=PE，得证。本题第（2）问，逆向思考，从结果分析，观察图形可初步得出∠CPE是直角的猜想，为了证明∠CPE是直角，我们采用逆向思维来分析，即要证∠CPE是直角，只需要证∠PCF与∠CFP互余即可，从图形可知∠CFP与∠EFD是对顶角，与∠CFP∠E问的证明。大提高解题效率。我们再来看一道相对复杂一点的几何证明题：例2、已知正方形ABCD，点M为边AB的中点．如图，点G为线段CM上的一点，且∠AGB=90o，延长分别与边交于点。（1）证明：BE;（2）求证：BE2=BC.22022年安徽省中小学教育教学论文评选本题第（1）问，要证BE=CF，需证△ABE≌△BCF，由于全等三角形的证明边形ABCD为正方形，所以AB=BC，∠ABE=∠BCF，因为BE=CF是要证明的结论，所以不能当条件使用，那么“SAS”判定方法行不通，所以只能进一步寻找角相等来进行证明，下一步要么说明∠BAE=∠CBF要么说明∠BEA=∠CFB。由已知条件∠AGB=90o可知∠BAE与∠ABF互余，而∠CBF也与∠ABF互余，根据同角的余BE=CF，≌△BCF，进而得出BE=CF，完成本题第（1）问的证明。本题第（1）问采用逆问的证明并不难。BE2=BCBC在△CEG对应的在△CGB= 2CGB，则可得CE CG，即可得= 2CG BC

=BC，出现BC，与要证的结论紧密相关，要证BE2=BC，只需证CG=BE即可。由第（1）问可知BE=CF,所以要证CG=BE，即证CG=CF，只需证∠CFG=∠FGC，因为CD∥AB，所以∠CFG=∠MBG，因为∠FGC与∠MGBMBG=∠MGB，只需证MB=MG即可。已知M是AB中点，△AGB是直角三角形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可得出MB=MG。这样我们就能证明出CG=BE，再去分析△CEG∽△CGB。△CEG和△CGB中∠ECG与∠GCB是公共角，=题中CE CG是需要得出的结论，不能当作条件使用，故只能再找一组角对应=CG BC32022年安徽省中小学教育教学论文评选析得出∠CFG=∠FGC或者∠CEG=∠CGB都比较容易。因为∠CFG=∠FGC，且∠CGE+∠FGC=90o，∠CBG+∠CFG=90o，根据等角的余角相等即可得出∠CGE=∠CBG。或者是因为∠CFG=∠FGC，且由△ABE≌△BCF可得∠CFG=∠AEB，所以∠FGC=∠AEB，因为∠CEG+∠AEB=180o，∠CBG+∠FGC=180o，根的证明。本题第（2）问的核心要点是证明△CEG∽△CGB，而证明△CEG∽△CGB的思路启发就是依据要证结论构建BC放在△CEG对应的放在△CGB中，=根据BC逆向思维猜想得出△CEG∽△CGB，从而CECG，进而可得=CG BCCG2=BC，再去证明CG=BE即可。如果不采用逆向思维进行推理分析，由于题。添加辅助线的题型中也有应用，我们来看一道跟添加辅助线有关的几何证明题目：例为△ABCBPC=135o。（1）求证：△PAB∽△PBC;42022年安徽省中小学教育教学论文评选（2）求证：PA=2PC.45o中，∠APB=135o，根据三角形内角和定理，可得∠PAB+∠PBA=45o，从而可得∠PAB=∠PBC，进而根据两组角对应相等可以证出△PAB∽△PBC。同理可采用∠PBA=∠PCB完成证明。明。如果我们直接从第（2）问要证的结论出发，采用逆向思维，添加辅助线，也可以较好地完成证明。在这里笔者提供两种证明方法，由于要证PA=2PC，可以在PA上截取PD=PC，此时只要证出DA=PC即可；或者我们可以在PA上截取EA=PC，然后去证PE=PC即可。我们先来看第一种证法：PA上截取DA=PC，可证△CDA≌△BPC，从边入手易得BC=CA，其他边是否对应相等未知，故只能寻求角对应相等来完成证明。根据△CPD是等腰直角三角形，可得∠CDA=135o=∠-∠CDA=45o,且∠BCP+∠ACD=∠ACB-∠PCD=45o都与∠ACP最后根据“AAS”即可判定△CDA≌△BPC，得出DA=PC，进而证明出PA=2PC。我们再来看第二种证法;52022年安徽省中小学教育教学论文评选在PA上截取是等腰直角三角形，要证△CPE是等腰直角三角形，只需证∠CEA=135o，要证∠CEA=135o，只需证∠CEA=∠BPC，要证∠CEA=∠BPC，需证△CEA≌△BPC。根据EA=PC、CA=BC可知两组边对应相等，第三组边CE与BP是否相等未知，故只能找∠CAE=∠BCP。因为∠ACB=90o,∠APC=90o，所以∠CAE+∠ACP=90o，∠BCP+∠ACP=BPC=135o，进而说明△CPE是等腰直角三角形，得出PE=PC，最终得出PA=2PC，完成本题的证明。用。我们来看一道代数恒等式的证明题目：例4、已知分式a=c

a=cb d，求证：a-b c-d。本题要证的等式相对于已知条件较为复杂，可以采用逆向思维进行推理分析：a=c要证