立足通性通法方显问题本质 论文

立足通性通法，方显问题本质通法，淡化解题技巧。关键词：通性通法，淡化技巧，核心素养中明确要求：考查内容应围绕数学内容主线，聚焦学生对重要数学概念、定理、了笔者的一些思考。本文笔者将以一道高考题的解法为例，谈谈对通性通法的理解，不当之处，敬请同行指正。一、题目呈现1.考题（2019年全国I卷理12）已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，PB的中点，∠CEF=900，则球O的体积为（）A．86π

B．46π

C．26π

D．6π2.考题分析本题位于I卷理科的第12题，是理科卷选择的压轴题，属高档题。考查的算等基本的核心素养。3.常见方法笔者查看了许多版本的参考答案，主要是下面两种解法：思路1=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，所以三棱锥P－ABC是正三棱锥，由正三棱锥性质知：PB⊥AC，又E，F分别是PA，PB的中点，所以EF∥PB，EF⊥AC，又EF⊥CE，CE∩AC=C，所以EF⊥面PAC，PB⊥面PAC，因为∠APB=900，所以PA=PB=PC= 2，三棱锥P－ABC为正方体一2+2+262+2+26πR3，即R=6，则V球=πR3

=4 = 6π，故选D。66π2 3 3 66π点评⊥⊥面PAC，EF∥PB的条件就可以了。思路2设PA=PB=PC=2x，E，F分别∥PBPB，且EF=1∥PB2

=x，因为△ABC是边长为2的等边三角形，则CF=123，∠CEF=900，CE= 3-x2，AE=12

ｘ2+4-(3-ｘ2)PA=x，在△=

22ｘ

，再作PD⊥ACAD 1 ｘ2，因为PA=PC，所以D为AC中点，cos∠EAC=PA=2，ｘ

+4-(3-ｘ2)4ｘ1 1 2= ，所以2x2+1=2，x2=，x= ，所以PA=PB=PC= 2，又1 1 22ｘ 2 22+2+26AB=BC=AC=2，所以PA，2+2+26πR3，R=6，则V球=πR3

=4 = 6π，故选D。66π2 3 3 66π点评采用待定系数法，利用余弦定理计算出侧棱的长，进而得出了PA、PB、PC两两1角体”模型的公式：(2R)2=a2+b2+c2.（R为外接球的半径，a、b、c分别是长方体的长、宽、高）2019年全国卷的第12题，还是有一定难度的，要求球的体积，关键是求出球的半径，要求要到各个顶点的距离相同。那么我们可以先在△ABC这个面上去确定一点O1到垂直于面ABC且与此平面垂直的垂线上。笔者猜想：命题者是以三棱锥的外接球为问题背景，要注重对学生常规思维的训练，淡化技巧性的解题方法。思路3：因为PA=PB=PC，△ABC等边三角形，所以三棱锥P－ABC正⊥∥PB，EF⊥AC，又EF⊥CE，CE∩AC=C，所以EF⊥面PAC，PB⊥面ABC，所以∠APB=∠BPC=900，则PA=PB=PC=2，由正三棱锥性质知：P在底面上的投影为△ABC所以PO1⊥面ABC，球心O在垂线PO1上，CO1=23CF=

,PO1=223PC2-CO122-346△= = ，因为OP=OC=2-346△3

-PO)2+6(O1C2=OC2，即(PO1-R)2+O1C2=R26(3

2-R)+

(6)2=

R2，得36 4R= ，则V球=πR36 4

466=π = 6π.2 3 3 8点评3：很多学生还是很自然的能想到本解法的，这种解法应该可以称得上了改变，学生可能会束手无策或者得到错误的答案。二、变式已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=2，PC=6，△ABC是边长为2的正三角形，则球O的表面积为 ；思路△ABC和

△PAB均为等边三角形。PE⊥AB，CE⊥AB，则∠PEC为二面角P－AB－C的一个平面角，因为PE=CE= 3，PE2+EC2=PC2，所以∠PEC=3、3，则球的直径为：2R==10π.

= 10，所以R=10，S球=4π24+34+3+3R点评1：在本解法中，学生找两两垂直的关系，目的是想套用长方体模型来是长期训练解题技巧性带来的危害。思路2：设球的半径为R，令

△ABC的外接圆的

△ABC和△⊥AB，CE⊥AB，则3PE=CE= 3，因为PE2+EC2=PC2，所以∠PEC=900，即二面角P－AB－C大小为900，则PE⊥面ABC，又因为DO1⊥面ABC，所以PE∥DO13，则四边形DO1EP为矩形，又因为CO1=23

23，= EO1=，3

3，DO1=PE= 3，由外接球的定义知OP=OC=R，所以OO12+CO12=DO2，+PD2，(3-DO)2+4=DO2+1，得DO=23，

则R2

=DO2

+PD2=41+ ，R=3

315R，所以S球=4π2=15R3

3 3 3203π.点评“切瓜模型”令

△PAB外接圆的半径为R1，△ABC外接圆的半径为R21，AB=L，则R2=R21

22L-+R2 .2L-4“全等三角形折叠模型”令

△ABC外接圆的半径为r，CE=h，则EO1R2 R2 r2 (h-r)2tan2.=h-r，ɑ为二面角P－AB－C大小，则 = +2或多或少对一些教师的习题教学产生了误导。三、教学启示：1.研究课程标准，优化教学学学科核心素养，数学问题的产生是否自然，解决问题的方法是否为通性通法。和创新能力的培养