抛物线内接和外切三角形的一组命题之间的联系 论文

抛物线内接和外切三角形的一组命题之间的联系抛物线中内接和外切三角形蕴藏着诸多命题，本文以向量共线为工具，探讨先后由多位老师提出的一组关联命题之间的关系，首先观察邵明志和陈克勤两位老师在文[1]中提出的一个命题，即：命题1阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的对称轴.图1注释1圆锥曲线弦的弦的两个端点和在这端点处的切线的交点所构成的三角形叫做阿基米德三角形注释2向量

1(PA+PC)与对称轴平行.2命题1在抛物线的内接和外切三角形的探究中起的是基本性的作用，为了检验这一判断，考察先后由多位老师提出的关于抛物线内接和外切三角形的命题，龚新平老师在文[2]中为了解释卢伟峰老师在文[3]所提出的一个关于抛物线内接三角形和外切三角形面积关系的命题，提出如下结论，即：命题2已知抛物线G上不同的三点A、B、C处的切线两两相交于点P、M、N，NB CN那么 = = .NP图2龚新平老师指出卢伟峰老师所提的面积关系实际上是这一命题2的推论，本文在这一判断基础之上，进一步指出：命题2本质上是命题1的推论.为了详细说明这一点，给出命题2另外一个证明，证明的过程也是揭示命题2和命题1因果关系的过程.证明根据命题

1(PA+PC)，2

1(MA，2

1(NB+NC)2PA，MA，NB共线；设PMPA，PN，NBNMPBPMt)PN量运算法则，可知MAl)PA，MB-PM(t-1)PA；所以MA(t-l))PA；又因为NC，NB-PNPA-，所以NBPA；ìl(t-l)t)míîtll，t=NB CN== .NP通过这一证明，可以看到命题2的确是命题1的推论.龚新平老师是为了解释卢伟峰老的面积是面积的22.反思本文证明命题2呢？答案是肯定的.观察卢伟峰老师在文[3]中提出的命题，即：命题3已知抛物线G上不同的三点A、B、C处的切线两两相交于点P、M、N，那么的面积是面积的2倍.图3证明设直线PB交直线AC于点D，BDPD，根据命题2的证明过程可以发现1PB2PAPC，所以PD=l2PB=PA+PC，又因为又A、D、C1-n

1-n

1-n三点共线，所以l2n，结合l，所以n2，即PBgPABD；= glm PNPM= gDDD且=

SMNMNAC

SAM，所以AMg g .图4再次考察林广军老师在文[4]探讨抛物线内接三角形和外切三角形的性质时，提出的一个命题，即：命题5如图G上不同的三点A、B、C处的切线两两相交于点P、M、N，分别过M、N作PM、PN的平行线，交于点H，那么点H、B的纵坐标相同，且点H必在直线AC上.图5证明根据命题2的证明过程PHPAl点H必在直线AC上.且BH-PB

-l2)PA)PC，其中l

-l2，所以可以推出BH与PA1可知直线BHH、B的纵坐标相同.的重心和的重心连线和对称轴位置关系时，得到的一个结论，也可以用命题2的证明过程给出统一解释，首先给出文[5]所提命题，即：命题6如图G上不同的三点A、B、C处的切线两两相交于点P、M、N，的重心和的重心连线平行于抛物线的对称轴.证明根据命题2证明的共线向量之间的数乘关系，以PA、PC为基底，可以计算出1122

=(lPA，PG23

=3

)PA)PC)；=所以GG=

-PG

1((l2)PC)，其中l2；12 2 1 3=因此GG=

12)(PA+PC)与对称轴平行，所以直线GG

平行于抛物线的对称12 3 12轴.图6本文揭示了抛物线阿基米德三角形和抛物线内接三角形、外切三角形之间的联系，中学数学教师关于这两个主题的探究活动，早些年异常丰富.为此199910期的编者曾对阿基米德三角形的研究情况作过说明.如果在圆锥曲线问题的研究中引入其它方法(如向量方法)，那么阿基米德三角形诸多性质的应用可能会得到极大改观.最后，需要指出的是本文从抛物线阿基米德三角形对命题2给出的解释并非是本质的，这一命题本质是高等几何中，斯坦纳定理的对偶命题的一个推论.其本质是：抛物线与无穷远直线相切.囿于中等数学知识所限，无法展开解释说明.有兴趣提高对圆锥曲线认识水平的读者，可以以此为契机，深入学习.[1]邵明志，陈克勤.高考试题中的阿基米德三角形，[J].数学通报，2008，47(9)：39-42，46.[2]卢伟峰.抛物线外切三角形与内接三角形的一个性质[J].中学数学月刊，2007(6)：42.[3]龚新平.抛物线外切三角形与内接三角形的又一性质[J].中学数学教学，2008(1)：17.[4]林广军.抛物线的外切三角形和内接三角形的另外两个性质[J].数学通讯(下半月)，2015(12)：41.[5]张俊.抛物线的外切三角形和内接三角形的两个性质[J].数学通讯(下半月)，2014(4)