基于异源验前信息的捷联惯组测试数据验前分布

基于异源验前信息的捷联惯组测试数据验前分布

常规联合行动组在航空航天和航空航天领域得到了广泛应用。由于捷联惯组使用寿命有限,其测试程序复杂,测试、标定一次需要较长时间,所以测试次数较少,所得到的历次测试数据样本均为小样本,经典的统计分析方法无法满足统计分析的要求。文献探讨了在有同源验前信息可用的情况下,捷联惯组历次测试数据验前分布的确定方法。但是研究发现,对于部分捷联惯组的误差系数,可以获得异源的验前信息,而这些信息对于研究其验前分布有着很大的帮助。因此,本文主要探讨了异源验前信息情况下捷联惯组历次测试数据验前分布的确定方法。并将最大熵法引入捷联惯组历次测试数据验前分布研究中。最大熵法的特点在于有一部分验前信息可以利用,但是对于验前分布的形式是无知的,在此基础上通过最大熵寻求含最少信息的分布,解决异源验前信息条件下验前分布的确定问题。1验前信息使用捷联惯组测试数据主要包括3部分:1)出厂前稳定性试验数据;2)交接转运过程的测试数据;3)使用单位的正常测试数据,也就是本文的研究对象,即历次测试数据(或者称为当前测试信息)。验前信息的获取主要依靠前两部分测试数据,通称为验前测试数据(或验前信息)。捷联惯组测试次数较少,因此验前信息的使用非常重要。由于捷联惯组已经得到了广泛的使用,积累了大量的验前测试数据和历次测试数据,这都为捷联惯组历次测试数据验前分布的研究和确定提供了科学依据。对于验前信息与当前测试信息同源相容的误差系数,文献提出了通过Bootstrap方法(在样本比较小时,用随机加权法)获得其验前分布;对于验前信息与当前测试信息不相容的误差系数,文献提出通过基于随机加权的融合估计法获得其验前分布。但是,当单套惯组的验前信息过少或者没有同源验前信息可用时,采用以上方法,有时效果就不是很理想。研究发现,同一生产厂家、同年、同批次生产的惯组,由于其生产原料、生产工艺、生产程序、生产环境相同,因而它们的性能也比较接近,其部分误差系数具有共性的特点,这些测试信息就是主要验前信息来源,针对这种情况,本文提出通过最大熵法获得其验前分布。2回归分析的显著性检验选择同一批多套惯组的同一误差系数的历次测试数据,组成一大样本,研究它们的统计特性是获取异源验前信息的基础。为此引入D-检验。D-检验要求样本容量n在50～1000之间。D-检验的原理是:假设H0:总体服从正态分布,则假设检验的步骤如下:1)把n个样本观测值按由小到大的顺序排列:X1≤X2≤⋯≤Xn2)D-检验的统计量为:D=n∑k=1(k-n+12)Xk(√n)3√n∑k=1(Xk-ˉX)2(1)在H0之下,有ED=(n-1)Γ(n-12)2(2nπ)12Γ(n2)≈12√π=0.28209479√Var(D)≈Δ=(12√3-27+2π24πn)12=0.02998598√nVar(D)表示D的方差。因此,D的近似标准化变量为Y=D-(2√π)-1Δ(2)在H0之下,Y近似于正态分布N(0,1)。于是,对给定的显著性水平α,从统计量Y的α分位数表中查得Zα/2,Z1-α/2,当Zα/2≤Y≤Z1-α/2时接受H0。研究结果表明同一生产厂家、同年、同批次生产惯组的部分误差系数有着较好正态性,这一分析结果告诉我们,对于部分误差系数,在缺乏验前信息的情况下,可以将该系数同一生产厂家、同年生产惯组的相应测试信息作为验前信息使用。3x的边缘密度如果关于捷联惯组历次测试数据总体分布未知参数θ可以提供出它的历史数据,那么θ的分布可以用通常熟知的方法确定出来。但不幸的是知道θ的过去数据这种情况是少有的,更多的情况是只知道捷联惯组误差系数X的历次测试数据Xi,当然Xi出现伴随着θi的信息,但直接获得θi却是困难的。因为一般地说,它们之间并没有明显的对应关系。事实上,X是按下列边缘分布密度分布的。m(X)=∫Θf(X|θ)dFπ(θ)(3)而X和θ的联合密度为h(X,θ)=f(X|θ)⋅π(θ)(4)可以看出,虽然X的边缘密度容易从X1,…,Xn确定(估计)出来,但估计π(θ)却是很困难的。最大熵法的特点在于有一部分验前信息可以利用,但是对于验前分布的形式是无知的。3.1随机试验时的不确定性熵是衡量一个随机变量取值的不确定性程度。熵可以作为数据集合的不纯度或者不规则程度的度量。所谓不规则程度指的是集合中前后数据元素之间时序依赖关系的强弱。设有1个离散随机变量X,它可能取值X的概率为p(x),那么定义:Η(X)=-∑x∈Xp(x)log2p(x)(5)这里H(X)就是随机变量X的熵,它是衡量随机变量取值的不确定性的量度。在随机试验之前,我们只了解各取值的概率分布,而做完随机试验后,我们就确切的知道了取值,不确定性完全消失。这样,通过随机试验我们获得了信息,且该信息的数量恰好等于随机变量的熵,在这个意义上,熵又作为信息的度量。3.2d设Θ={θ1,…,θn}是连续参数集,π为Θ上的概率密度,以εN(π)表示π的熵,它定义为εΝ(π)=-Eπ[log(π(θ)/π0(θ)]=-∫Θπ(θ)log(π(θ)/π0(θ))dθ(6)如果已知关于θ的一部分先验信息,那么方便的方法是把这部分信息用对π(θi)的一些约束方式表达,即假设Eπ[gk(θ)]=∫Θπ(θ)gk(θ)dθ=μk(k=1,⋯,m)(7)其中,gk(θ)为已知函数。在此约束下,令熵取最大值,此时的π(θi)作为θi的验前密度。这就是所谓最大熵验前密度的确定方法。θi的验前密度(最大熵验前分布)可表示为:π(θ)=π0(θ)exp[m∑k=1λkgk(θ)]/∫Θπ0(θ)exp[m∑k=1λkgk(θ)]dθ(8)其中λk是由约束条件(7)所确定的常数。3.322222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222设Θ=R1,θ为未知参数,自然无信息先验π0(θ),假设先验均值之真值为μ,先验方差之真值为τ2,则构成约束条件(7)的g1(θ)=θ,μ1=μ,g2(θ)=(θ-μ)2,μ2=τ2。满足这些约束的最大熵先验为π(θ)=exp[λ1θ+λ2(θ-μ)2]/∫Θexp[λ1θ+λ2(θ-μ)2]dθ(9)其中,λ1,λ2为使(6)式满足的常数,由于λ1θ+λ2(θ-μ)2=λ2θ2+(λ1-2μλ2)θ+λ2μ2=λ2[θ-(μ-λ1/2λ2)]2+[λ1μ-λ21/4λ2]因此π(θ)=exp{λ2[θ-(μ-λ1/2λ2)]2}/∫+∞-∞exp{λ2[θ-(μ-λ1/2λ2)]2}dθ(10)分母是一个常数,可以认出π(θ)是均值为μ-λ1/2λ2,方差为-1/2λ2的正态密度函数,选λ1=0,λ2=-1/2τ2可满足(7)式,故有π(θ)~Ν(μ,τ2)(11)4样本x与参数的联合密度函数设x1,…,xn是来自正态分布N(θ,σ2)的一个样本观察值。其中σ2已知。此样本的似然函数为:p(x|θ)=(1/√2πσ)nexp{-1/2σ2∑ni=1(xi-θ)2},(-∞＜x1,⋯,xn<+∞)(12)由于已知θ的先验分布为正态分布N(μ,τ2):π(θ)=(1/√2πτ)exp{-(θ-u)2/2τ2},(-∞<θ<+∞)(13)其中μ与τ2为已知,由此可以写出样本x与参数θ的联合密度函数:h(x,θ)=k1exp{(-1/2)[(nθ2-2nθˉx+∑ni=1x2i)/σ2+(θ2-2μθ+μ2)/τ2]}(14)其中k1=(2π)-(n+1)/2τ-1σ-n‚ˉx=∑ni=1xi/n。若再记σ02=σ2/n‚A=1/σ02+1/τ2‚B=x¯/σ02+μ/τ2‚C=(1/σ02)∑i=1nxi2+μ2/τ2则有h(x|θ)=k1exp{(-1/2)[Aθ2-2θB+C]}=k2exp{-(θ-B/A)2/(2/A)}(15)其中k2=k1exp{(-1/2)(C-B2/A)}。由此容易计算出样本x的边缘分布:m(x)=∫-∞+∞h(x,θ)dθ=k2(2π/A)1/2(16)则θ的后验分布为:π(θ|x)=(2π/A)1/2exp{-(θ-B/A)2/(2/A)}(17)这也是一正态分布,其均值和方差分别为:μ1=B/A=(x¯σ0-2+μτ-2)/(σ0-2+τ-2)(18)1/τ12=1/σ02+1/τ2(19)这就说明了正态均值(方差已知)的共轭先验分布是正态分布。5的估计和贝叶斯估计未知参数θ的后验分布π(θ|x)是集3种信息(总体,样本和先验)于一身,它包含了θ的所有可供利用的信息,所以有关θ的估计,和假设检验等统计推断都按一定方式从后验分布中提取信息。θ的贝叶斯估计为:θ^=μσ2+nx¯τ2σ2+nτ2(20)其中x¯=∑i=1nxin,σ2为样本总体方差,μ为先验均值,τ2为先验方差。θ^是先验均值与样本均值的加权平均。6d-检验法的检验结果对于通过D-检验的误差系数,可以选择同一批多套惯组的同一误差系数的历次测试数据,组成一大样本,以此作为验前信息来确定其总体参数的验前分布。某型捷联惯组同一批十套惯组的某一误差系数的历次测试数据所得到的验前信息样本合集如表1所示。取检验水平α=0.05,D-检验法验证了它们服从正态分布。X¯是μ的充分统计量,S2是τ2的充分统计量,故总体均值θ的验前分布的参数为μ=-1.9186‚τ2=0.0441即有θ的验前分布为N(-1.9186,0.0441)。已知捷联惯组该误差系数的一组当前测试样本如表2所示。根据文献,该系数的准确性分析标准为:2.7σ≤0.7。因此可取σ2=0.0672。则由(18)式、(19)式可求得θ的验后分布参数为:μ1=-1.8963‚τ12=0.0089故θ的验后分布为:N(-1.8963,0.0089)。由同一套惯组得到一组用于假设检验的样本如表3所示。则样本均值为:-1.9178。取θ0=θ^=-1.8963‚σ2=0.0672。在贝叶斯检验中一般采用贝叶斯因子比较方便,则由参考文献可得贝