人教版数学八年级上册-13.3.2-等边三角形

人教版数学八年级上册13.3.2

等边三角形第1课时

等边三角形的性质与判定

小明想制作一个三角形的相框，他有四根木条长度分别为

10cm，10cm，10cm，6cm，你能帮他设计出几种形状的三角形？问题引入10cm10cm6cm10cm10cm10cm等腰三角形等边三角形一般三角形

在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，即三角形的三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形.名称图形定义性质判定等腰三角形等边对等角三线合一等角对等边两边相等两腰相等轴对称图形ABC有两条边相等的三角形叫做等腰三角形类比探究ABCABC问题1等边三角形的三个内角之间有什么关系？等腰三角形AB=AC∠B=∠C等边三角形AB=AC=BCAB=AC∠B=∠CAC=BC∠A=∠B∠A=∠B=∠C内角和为180°=60°等边三角形的性质结论：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角

都等于60°.已知：△ABC

中，AB=AC=BC.求证：∠A

=∠B=∠C=60°.证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C(等边对等角).同理，∠A=∠C.∴∠A=∠B=∠C.∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=∠B=∠C=60°.ABCABC问题2

等边三角形有“三线合一”的性质吗？等边三角形有几条对称轴？结论：等边三角形每条边上的中线，高和所对角的平分线都“三线合一”.顶角的平分线、底边上的高、底边的中线三线合一一条对称轴三条对称轴图形等腰三角形性质

每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合3条对称轴等边三角形1条对称轴两个底角相等底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合且都是

60°两条边相等三条边都相等知识要点三个角都相等，

例1

如图，△ABC是等边三角形，E是

AC上一点，D是

BC延长线上一点，连接

BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵∠ABE＝40°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.∵BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°.∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.ABCDE典例精析方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这个性质常应用在求三角形角度的问题上，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质等知识求解.

如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长

BC到

E，使得

CE=CD．求证：BD=DE.变式训练：证明：∵△ABC

是等边三角形，BD

平分∠ABC，∴∠ABC

=∠ACB

=

60°，∠DBC

=

30°．又∵

CE

=

CD，∴∠CDE

=∠CED．又∵∠BCD

=∠CDE

+∠CED

=

60°，∴∠CDE

=∠CED

=

30°．∴∠DBC

=∠DEC．∴

BD

=

DE(等角对等边)．ABCED例2△ABC为正三角形，点

M是

BC边上任意一点，点

N是

CA边上任意一点，且

BM＝CN，BN与

AM相交于

Q点，∠BQM等于多少度？解：∵△ABC为正三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.又∵BM＝CN，∴△AMB≌△BNC(SAS).∴∠BAM＝∠CBN.∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM

＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.ACBMNQ方法总结：此题属于等边三角形与全等三角形的综合运用，一般是利用等边三角形的性质判定三角形全等，而后利用全等及等边三角形的性质，求角度或证明边相等.类比探究图形等腰三角形等边三角形判定

三个角都相等的三角形是等边三角形从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形三条边都相等的三角形是等边三角形小明认为还有第三种方法“两条边相等且有一个角是60°的三角形也是等边三角形”，你同意吗？理由是？等边三角形的判定方法：

有一个角是

60°的等腰三角形是等边三角形.等边三角形的判定辩一辩：根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.不是是是是是不一定是（1）554（2）555（3）60°60°（4）60°（5）5560°（6）5560°

例3如图，在等边三角形ABC中，DE∥BC.求证：△ADE是等边三角形.ACBDE证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C.∵

DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等边三角形.想一想：本题还有其他证法吗？典例精析证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°．∵DE∥BC，∴∠ABC=∠ADE，

∠ACB=∠AED.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等边三角形.变式1若点

D、E分别在边

AB、AC的延长线上，且DE∥BC，结论还成立吗？ADEBC变式2

若点

D、E分别在边

AB、AC的反向延长线上，且

DE∥BC，结论依然成立吗？证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠B=∠C=60°．∵DE∥BC，∴∠B=∠D，∠C=∠E．∴∠EAD=∠BAC=∠D=∠E．∴△ADE是等边三角形．ADEBC变式3上题中，若将条件

DE∥BC改为

BD=CE，△ADE还是等边三角形吗?试说明理由.ACBDE证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°，AB=AC.∵

BD=CE，∴

AB－BD=

AC－CE，即

AD=

AE.又∵∠A=60°，∴△ADE是等边三角形.例4

等边△ABC中，点

P在△ABC内，点

Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．解：△APQ为等边三角形．证明如下：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°.∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，∴△ABP≌△ACQ(SAS).∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°.∴△APQ是等边三角形.BCQAP方法总结：判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是证明三角形三个内角相等(或两个内角等于60°)；三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°.证明：∵

△ABC

为等边三角形，且

AD

=

BE

=

CF，∴

AF

=

BD

=

CE，∠A

=∠B

=∠C

=

60°.∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS）.∴

DF

=

ED

=

FE.∴△DEF

是等边三角形.针对训练：如图，等边△ABC

中，D、E、F

分别是各边上的点，且

AD

=

BE

=

CF．求证：△DEF

是等边三角形．ACBDEF

2.如图，等边三角形

ABC的三条角平分线交于点

O，过点

O作

DE∥BC，则这个图形中的等腰三角形共有(

)A.4个

B.5个C.6个

D.7个DACBDEO1.等边三角形的两条高线相交所成钝角的度数是()

A．105°B．120°C．135°D．150°

B3.如图，在等边△ABC

中，BD

平分∠ABC，BD

=

BF，则∠CDF

的度数是（）A．10°B．15°

C．20°D．25°

4.如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，已知△ABC的周长为

18cm，EC=2cm，则△ADE的周长是

cm.ACBDE12BBCDAF证明：∵△ABD

是等边三角形，∴∠DAB＝60°.∵∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，∴∠EBC＝180°－90°－30°＝60°．∴∠FAE＝∠EBC．∵

E

为

AB

的中点，∴

AE＝BE．又∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF≌△BEC(ASA)．5.如图，在△ABC

中，∠ACB

=

90°，∠CAB

=

30°，以

AB

为边在△ABC

外作等边△ABD，E

是

AB

的中点，连接

CE

并延长交

AD

于

F．求证：△AEF≌△BEC．BCDAFE6.如图，A、O、D三点共线，△OAB和△OCD是两

个全等的等边三角形，求∠AEB的大小.CBODAE解：∵△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形.∴

AO=BO，CO=DO，∠AOB=∠COD=60°.∵A、O、D三点共线，∴∠DOB=∠COA=120°.∴△COA≌△DOB(SAS).∴∠DBO=∠CAO.设

OB与

EA相交于点

F.∵∠EFB=∠AFO，∴∠AEB=∠AOB=60°.F7.图①、图②中，点

C为线段

AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．(1)如图①，线段

AN与线段

BM是否相等？请说明理由；(2)如图②，AN与

MC交于点

E，BM与

CN交于点

F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．拓展提升：图②CBMANEF图①CBMAN解：(1)AN＝BM.理由如下：∵△ACM与△CBN都是等边三角形，∴AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°.∴∠ACN＝∠MCB.∴△ACN≌△MCB(SAS).∴AN＝BM.图①CBMAN(2)△CEF是等边三角形．证明如下：∵∠ACE＝∠FCB＝60°，∴∠ECF＝60°.∵△ACN≌△MCB，∴∠CAE＝∠CMB.∵AC＝MC，∴△ACE≌△MCF(ASA).∴CE＝CF.∴△CEF是等边三角形.图②CBMANEF等边三角形定义底

=腰特殊性性质特殊性边三边相等角三个角都等于

60°轴对称性

轴对称图形，每条边上都具有“三线合一”性质判定特殊性三边法三角法等腰三角形+60°角人教版数学八年级上册13.3.2

等边三角形第

2课时含30°角的直角三角形的性质问题引入问题1

如图，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到

Rt△ABC的直角边

BC与斜边

AB之间的数量关系吗？(提示：请点击拼接和分离)分离拼接ABCDA'C'问题2

剪一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？含

30°角的直角三角形的性质ABCD如图，△ADC是

△ABC的轴对称图形，因此

AB=AD，∠BAD=2×30°=60°，从而△ABD是一个等边三角形.再由

AC⊥BD，可得

BC=CD=BD=AB.性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于

30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.你还能用其他方法证明吗？证明：取线段

AB

的中点

D，连接

CD.∵CD为Rt△ABC

斜边

AB

上的中线，A30°BCD∵∠BCA=90°，且∠A

=30°，∴∠B=60°.∴△CBD为等边三角形.证法1证明方法：中线法证法2证明：在△ABC

中，∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，

∴∠B=60°．延长

BC到

D，使

BD=AB，连接

AD，则△ABD

是等边三角形．ABCD∴BC=BD=AB.30°)证明方法：倍长法)证明：在

BA

上截取

BE

=

BC，连接

EC.

∵∠B

=60°，BE

=

BC，∴△BCE

是等边三角形.∴∠BEC

=60°，BE

=

EC.∵∠A

=30°，∴∠ECA

=∠BEC

-∠A

=

60°

-

30°=

30°.∴AE

=

EC.∴AE

=

BE

=

BC.

∴AB

=

AE

+

BE

=

2BC.EABC∴BC=AB.证法330°证明方法：截取法知识要点含30°角的直角三角形的性质在直角三角形中，如果一锐角等于

30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.应用格式：在

Rt△ABC中，∵∠C=90°，∠A=30°，ABC∴BC=AB.)30°(1)直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边

的一半.

(2)三角形中30°角所对的边等于最长边的一半.

(3)直角三角形中最小的直角边是斜边的一半.

(4)含30°锐角的直角三角形的斜边是最短边的2倍.√判一判解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边

AB上的高，∴∠ADC＝90°.∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm.在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.

例1

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边

AB上的高，AD＝3cm，则

AB的长度是(

)A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm典例精析注意：运用含30°

角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．D例2

如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交

OB于

C，PD⊥OA于

D，若

PC＝3，则

PD等于(

)A．3B．2C．1.5D．1解析：如图，过点

P作

PE⊥OB于

E.∵PC∥OA，∴∠PCE＝∠AOB＝∠AOP＋∠BOP＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.EC方法总结：当题图中含30°角，与角平分线、垂直平分线的性质综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造出含30°角的直角三角形．例3

如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点

D作

DE⊥AB，DE恰好是∠ADB的平分线．CD与

DB有怎样的数量关系？请说明理由．解：理由如下：∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°.∵DE是∠ADB的平分线，∴∠ADE＝∠BDE.在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.∴CD＝AD＝BD，即

CD＝DB.∵AD是∠BAC的平分线，又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA).方法总结：含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，可联想到此性质．例4

如图是屋架设计图的一部分，点

D

是斜梁

AB的中点，立柱

BC，DE

垂直于横梁

AC，AB=7.4cm，∠A=30°，立柱

BC、DE

有多长？ABCDE想一想：图中

BC、DE分别是哪个直角三角形的直角边？它们所对的锐角分别是多少度？ABCDE解：∵

DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°，∴

BC=AB，DE=AD.∴

BC=AB=×7.4=3.7.又

AD=AB=3.7，∴

DE=AD=×3.7=1.85.答：立柱

BC的长是

3.7m，DE的长是

1.85m.∴CD=AC=×20=10.例5

如图，等腰三角形的底角为

15°，腰长为

20，求

腰上的高.ACBD15°15°20解：过

C作

CD⊥BA，交

BA的延长线于点

D.∵∠B=∠ACB=15°

(已知)，∴∠DAC=∠B+∠ACB

=15°

+15°

=30°.))方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含

30°

角的直角三角形来解决．本题的关键是作高，而后利用等腰三角形及外角的性质，得出30°

角，利用含30°

角的直角三角形的性质解决问题.1.如图，一棵树在一次强台风中，于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为()A．6米B．9米C．12米D．15米B2.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价

a元，则购买这种草皮需要()A．300a元B．150a元C．450a元D．225a元B3.如图，在

△ABC

中，∠ACB=90°，CD

是高，

∠A=30°，AB=4．则

BD的长为

.A

B

C

D

14.

在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C

=

1∶2∶3，若

AB

=

10，

则

BC

的长为

.55.如图，Rt△ABC中，∠A=30°，AB+BC=12cm，则

AB=______