全国高考数学 试题分类汇编 几何证明

2010几何证明1．（2010·陕西高考理科·Ｔ１5）如图,已知的两条直角边AC,BC的长分别为3cm,4cm,以AC为直径的圆与AB交于点D,则.【命题立意】本题考查几何证明选做题的解法，属送分题【思路点拨】条件结论【规范解答】因为以AC为直径的圆与AB交于点D,所以，【答案】2．（2010·陕西高考文科·Ｔ１5）如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝cm.【命题立意】本题考查几何证明选做题的解法，属送分题【思路点拨】条件【规范解答】因为以AC为直径的圆与AB交于点D,所以，【答案】3．（2010·北京高考理科·Ｔ１2）如图，的弦ED，CB的延长线交于点A。若BDAE，AB＝4,BC＝2,AD＝3,则DE＝；CE＝。【命题立意】本题考查几何证明的知识。运用割线定理是解决本题的突破口。【思路点拨】本题可由相交弦定理求出DE，再利用三个直角三角形中求CE。【规范解答】由割线定理得，，即，得。。连接BE，因为，所以BE为直径，所以。在中，。在中。在中，。【答案】52EQ\r(,7)4．（2010·天津高考文科·Ｔ１1）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P。若PB=1，PD=3，则的值为。【命题立意】考查三角形的相似性质的应用。【思路点拨】利用相似三角形的性质转化。【规范解答】由题意可知∽相似，所以。【答案】5．（2010·天津高考理科·Ｔ１4）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若,则的值为【命题立意】考查三角形的相似性质的应用。【思路点拨】利用相似三角形的性质进行转化。【规范解答】由题意可知∽相似，所以,由及已知条件可得,又,。【答案】6．（2010·广东高考文科·Ｔ14）如图3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD=，点E，F分别为线段AB，CD的中点，则EF=.【命题立意】本题主要考察平面几何中直角梯形以及三角形中位线的性质.【思路点拨】利用直角梯形的性质，求出，再利用三角形中位线的性质，求出【规范解答】过连接，则四边形为矩形，所以且，所以，,,所以是以为底的等腰三角形，即：=，又点E，F分别为线段AB，CD的中点，所以为的中位线，所以【答案】EQ\f(a,2)7.（2010·广东高考理科·Ｔ14）如图3，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD=，∠OAP=30°，则CP＝______.

【命题立意】本题考察垂径定理及相交弦定理.【思路点拨】由垂径定理得，算出，再由相交弦定理求出【规范解答】因为为的中点，由垂径定理得，在中，，由相交弦定理得：，即，解得【答案】8.（2010·江苏高考·Ｔ2１）AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC。【命题立意】本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力。【思路点拨】利用圆心角和圆周角之间的关系证明OB=BC=OD=O即可.【规范解答】方法一：连结OD，则：OD⊥DC，又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，所以∠DCO=300，∠DOC=600，所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。方法二：连结OD、BD。因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=900，AB=2OB。因为DC是圆O的切线，所以∠CDO=900。又因为DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO。即2OB=OB+BC，得OB=BC。故AB=2BC。9．（2010·辽宁高考理科·Ｔ22）如图，的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E（I）证明：（II）若的面积，求的大小。【命题立意】本题考查了几何证明，相似三角形判定和性质，圆周角定理，考查了三角形的面积公式等。【思路点拨】（I）先相等的两角，再证相似。（II）先由三角形相似，得到AB·AC=AD·AE再比较三角形的面积公式，得到sin∠BAC,进而求出∠BAC。【规范解答】所以△ABE∽△ADC（II）因为△ABE∽△ADC10.（2010海南高考理科T22）如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：（Ⅰ）=.（Ⅱ）=.【命题立意】本题主要考查了圆的切线、等弧所对的圆心角相等等知识.【思路点拨】熟练利用等弧所对的圆心角相等，判断出三角形相似，然后证明问题.【规范解答】（Ⅰ）因为,所以.又因为与圆相切于点，故所以.（Ⅱ）因为,,所以,故.即.11．（2010·湖南高考理科·Ｔ4）如图1所示，过外一点P作一条直线与交于A,B两点。已知PA=2，点P到的切线上PT=4，则弦的长为。【命题立意】以直线和圆立意，考查处理平面问题的一种方法：平面几何法.【思路点拨】割切→切割线定理【规范解答】∵PT=4，PA=2，PT2=PA·PB，∴PB=8，∴AB=PB-PA=6，∴弦长AB=6【答案】6【方法技巧】弦→连接弦中点和圆心，切→连接切点和圆心，联想弦切角等于同弧所对的圆周角，割→切割线定理.

2011几何证明一、选择题ABDGOFCE1.（2011·北京高考理科·T5）如图，AD,AE,BC分别与圆O切于点D,E,F，延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三个结论：①AD+AE=AB+BC+CA;ABDGOFCE是（）A.①②B.②③C.①③D.①②③【思路点拨】利用切割线定理、割线定理、弦切角定理.【精讲精析】选A.AB+BC+CA=AB+(BF+CF)+CA=AB+(BD+CE)+CA=AD+AE，故①正确；因为，，，故②正确；，，不相似，故③不正确.二、填空题2．（2011·陕西高考理科·T15B）（几何证明选做题）如图，∠B=∠D，，，且AB=6，AC=4，AD=12，则BE=．【思路点拨】寻找两个三角形相似的条件，再根据相似三角形的对应边成比例求解．【精讲精析】答案：因为，所以∠AEB=，又因为∠B=∠D，所以△AEB∽△ACD，所以,所以，在Rt△AEB中，．3．（2011·陕西高考文科·T15B）（几何证明选做题）如图，∠B=∠D，，，且AB=6，AC=4，AD=12，则AE=．【思路点拨】寻找两个三角形相似的条件，再根据相似三角形的对应边成比例求解．【精讲精析】答案：2因为，所以∠AEB=，又因为∠B=∠D，所以△AEB∽△ACD，所以，所以．4.（2011·广东高考理科·Ｔ15）（几何证明选讲选做题）如图4，过圆外一点分别作圆的切线和割线交圆于,且，是圆上一点使得，，则.【思路点拨】利用相似三角形对应边成比例，求得的值.【精讲精析】答案：,～,,从而..5.（2011·广东高考文科·Ｔ15）（几何证明选讲选做题）如图4，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=2.E,F分别为AD，BC上的点，且EF=3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为.【思路点拨】利用相似三角形面积比等于相似比的平方求解.【精讲精析】答案：延长AD、BC相交于点G..由已知GAB∽GDC，GEF∽GDC,所以，，从而,,所以梯形ABCD与梯形EFCD的面积比为3：=,从而得梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为6．（2011·湖南高考理科·T11）如图2，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，AD，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为______【思路点拨】本题主要考查平面几何的推理和证明.考查圆的切割弦以及三角形的相似和直角三角形的射影定理.【精讲精析】答案：.连结AB、AO、CE、OE，则是边长为2的等边三角形，，AD=，所以得到AF=.7.（2011.天津高考理科.T12）如图，已知圆中两条弦与相交于点，是延长线上一点，且若与圆相切，则线段的长为_________【思路点拨】利用相交线及切线的比例关系求解。【精讲精析】答案：设BE=x,则AF=4x,FB=2x,因为,所以,又三、解答题8.（2011·江苏高考·Ｔ21A）（选修4-1：几何证明选讲）如图，圆与圆内切于点，其半径分别为与，圆的弦交圆于点（不在上），求证：为定值。【思路点拨】本题考察的是圆的切线的性质、三角形相似的判定及其性质，容易题。解决本题的关键是弦切角定理的应用【精讲精析】由弦切角定理可得9.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ22）如图，，分别为的边，上的点，且不与的顶点重合.已知的长为，AC的长为n,，的长是关于的方程的两个根.（Ⅰ）证明：，，，四点共圆；（Ⅱ）若，且，求，，，所在圆的半径.【思路点拨】第（Ⅰ）问的证明流程为连接∽四点共圆；第（Ⅱ）问，利用平面几何的性质，设法寻求圆心位置，然后求得半径.【精讲精析】（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，即.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB因此∠ADE=∠ACB所以C,B,D,E四点共圆.（Ⅱ）m=4,n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12.故AD=2，AB=12.取CE的中点G,DB的中点F，分别过G,F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.由于∠A=900，故GH∥AB,HF∥AC.HF=AG=5，DF=(12-2)=5.故C,B,D,E四点所在圆的半径为510.（2011·辽宁高考理科·Ｔ22）（选修4-1：几何证明选讲）如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED．（I）证明：CD//AB；（II）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A，B，G，F四点共圆．【思路点拨】（I）可证，即得CD//AB；（II）利用三角形全等及平行线的知识可证得，得结论．【精讲精析】（I）因为，所以.因为四点在同一圆上，所以，故，所以∥.（II）由（I）知，，因为，故，从而.连接，则，故.又∥，，所以.所以.故四点共圆.

2012几何证明一、选择题1.（2012·北京高考理科·Ｔ5）如图.∠ACB=90º，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E.则()A.CE·CB=AD·DB B.CE·CB=AD·ABC.AD·AB=CD² D.CE·EB=CD²ADADBEC【解题指南】利用切割线定理及直角三角形中的射影定理.【解析】选A.CD，以BD为直径的圆与CD相切，。在中，CD为斜边AB上的高，有，因此，CE·CB=AD·DB.二、填空题2.（2012·湖北高考理科·Ｔ15）如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB=4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为_____________.【解题指南】本题考查直线与圆的位置关系，解答本题的关键是利用直线与圆的位置关系，取AB的中点，连OC，把CD表示出来.【解析】取AB的中点为E，连接CD，OE，则，要求CD的最大值，则点D与E重合.可知结果为：2.【答案】2.3.（2012·陕西高考理科·Ｔ15）如图，在圆中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，，垂足为F，若，，则.【解题指南】围绕Rt△BDE和圆的有关性质列出成比例线段.【解析】连接AD,因为，,所以BE=5,在Rt△ABD中，,,在Rt△BDE中,由射影定理得.【答案】5.4.（2012·广东高考文科·Ｔ15）如图所示，直线PB与圆O相切于点B,D是弦AC上的点，.若AD=m,AC=n,则AB=.【解题指南】本小题要注意利用圆的几何性质。判断出,从而证出是解决此问题的关键.【解析】由题意知，所以,所以所以.【答案】.5.（2012·广东高考理科·Ｔ15）如图，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA=_____________.【解题指南】本小题要注意利用圆的几何性质。连接OA，AC从而可得,为等边三角形，,为等腰三角形，并且AC=CP=1,到此问题基本得以解决.【解析】连接AO、AC，因为,所以,为等边三角形，则为等腰三角形，且.【答案】.6.（2012·天津高考文科·Ｔ13）与（2012·天津高考理科·Ｔ13）相同如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，，则线段CD的长为_________.【解题指南】利用相交线及切线的比例关系求解。【解析】设CD=x,则AD=4x,因为AF·FB=CF·FE,所以CF=2,又,又.【答案】.三、解答题7.（2012·辽宁高考文科·T22）与（2012·辽宁高考理科·T22）相同如图，⊙O和⊙相交于两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E.证明(Ⅰ)；(Ⅱ).【解题指南】据弦切角等于圆周角，证明三角形相似，对应边成比例，证明等式.【解析】(1)由AC与圆相切于点A，得;同理，从而∽，所以

（2）由AD与圆相切于点A，得;又,从而∽，所以

又由（1）知，所以.8.（2012·新课标全国高考文科·Ｔ22）与（2012·新课标全国高考理科·Ｔ22）相同如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF//AB，证明：(Ⅰ)CD=BC；(Ⅱ)△BCD∽△GBD【解题指南】（1）连接AF，作为中间量过渡，证，证明时充分利用图形中出现的平行四边形；（2）利用图形中的平行四边形及等腰三角形关系，设法寻找△BCD与△GBD中的两组对应角相等，从而可得△BCD∽△GBD.【解析】（1）因为D，E分别为AB，AC的中点，所以，又已知，故四边形是平行四边形，所以.而，连结，所以ADCF是平行四边形，故CD＝AF.因为，所以，故.（2）因为故.由（1）可知，所以.而，故∽.AAEBDCO9.（2012·江苏高考·Ｔ21）如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BD=DC，连接AC，AE，DE．求证：．【解题指南】要证，就得找一个中间量代换，一方面考虑到是同弧所对圆周角，相等；另一方面由是圆的直径和可知是线段的中垂线，从而根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到，从而得证.【解析】证明：连接.∵是圆的直径，∴（直径所对的圆周角是直角）。∴（垂直的定义）。又∵，∴是线段的中垂线（线段的中垂线定义）。∴（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）。∴（等腰三角形等边对等角的性质）。又∵为圆上位于异侧的两点，∴（同弧所对圆周角相等）。∴（等量代换）.【一题多解】可连接，利用三角形中位线来求证。证明：连接OD，因为BD＝DC，O为AB的中点，所以OD//AC,于是因为OB＝OD，所以于是因为点A，E，B，D，都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB异侧的两点，所以和为同弧所对的圆周角，故，所以.2013几何证明一、填空题AUTONUM\*Arabic错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如图,在中,,,过作的外接圆的切线,,与外接圆交于点,则的长为__________【答案】AUTONUM\*Arabic错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））如图,△ABC为圆的内接三角形,BD为圆的弦,且BD//AC.过点A做圆的切线与DB的延长线交于点E,AD与BC交于点F.若AB=AC,AE=6,BD=5,则线段CF的长为______.【答案】AUTONUM\*Arabic错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））(几何证明选讲选做题)如图,是圆的直径,点在圆上,延长到使,过作圆的切线交于.若,,则_________...AEDCBO第15题图【答案】AUTONUM\*Arabic错误！未指定书签。．（2013年高考四川卷（理））设为平面内的个点,在平面内的所有点中,若点到点的距离之和最小,则称点为点的一个“中位点”.例如,线段上的任意点都是端点的中位点.则有下列命题:①若三个点共线,在线AB上,则是的中位点;②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点;③若四个点共线,则它们的中位点存在且唯一;④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.其中的真命题是____________.(写出所有真命题的序号数学社区)【答案】①④AUTONUM\*Arabic错误！未指定书签。．（2013年高考陕西卷（理））B.(几何证明选做题)如图,弦AB与CD相交于内一点E,过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P.已知PD=2DA=2,则PE=_____.【答案】AUTONUM\*Arabic错误！未指定书签。．（2013年高考湖南卷（理））如图2,在半径为的中,弦相交于点,,则圆心到弦的距离为____________.【答案】AUTONUM\*Arabic错误！未指定书签。．（2013年高考湖北卷（理））如图,圆上一点在直线上的射影为,点在半径上的射影为.若,则的值为___________.第15题图第15题图【答案】8AUTONUM\*Arabic错误！未指定书签。．（2013年高考北京卷（理））如图,AB为圆O的直径,PA为圆O的切线,PB与圆O相交于D.若PA=3,,则PD=_________;AB=___________.【答案】;4二、解答题AUTONUM\*Arabic错误！未指定书