湖北省高考数学压轴题精编精解四 新人教版

31．设函数，其图象在点处的切线的斜率分别为．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若函数的递增区间为，求的取值范围；（Ⅲ）若当时（k是与无关的常数），恒有，试求k的最小值．32．如图，转盘游戏．转盘被分成8个均匀的扇形区域．游戏规则：用力旋转转盘，转盘停止时箭头A所指区域的数字就是游戏所得的点数（转盘停留的位置是随机的）．假设箭头指到区域分界线的概率为，同时规定所得点数为0．某同学进行了一次游戏，记所得点数为．求的分布列及数学期望．（数学期望结果保留两位有效数字）33．设，分别是椭圆：的左，右焦点．（1）当，且，时，求椭圆C的左，右焦点、．（2）、是（1）中的椭圆的左，右焦点，已知的半径是1，过动点的作切线，使得（是切点），如下图．求动点的轨迹方程．34．已知数列满足,，．（1）求证：是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）设，且对于恒成立，求的取值范35．已知集合（其中为正常数）．（1）设，求的取值范围；（2）求证：当时不等式对任意恒成立；（3）求使不等式对任意恒成立的的范围．36、已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点。（1）求直线ON（O为坐标原点）的斜率KON；（2）对于椭圆C上任意一点M，试证：总存在角（∈R）使等式：＝cos＋sin成立。37、已知曲线C上任意一点M到点F（0，1）的距离比它到直线的距离小1。

（1）求曲线C的方程；

（2）过点

①当的方程；②当△AOB的面积为时（O为坐标原点），求的值。38、已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图像上，且过点的切线的斜率为．

（1）求数列的通项公式．

（2）若，求数列的前项和．

（3）设，等差数列的任一项，其中是中的最小数，，求的通项公式.39、已知是数列的前项和，，且，其中.(1)求数列的通项公式；(2)(理科)计算的值.(文科)求.40、函数对任意x∈R都有f(x)＋f(1－x)＝.（1）求的值；

（2）数列的通项公式。（3）令试比较Tn与Sn的大小。黄冈中学2011年高考数学压轴题汇总详细解答31．解：（Ⅰ），由题意及导数的几何意义得，

（1），

（2）

………………2分又，可得，即，故

………3分由（1）得，代入，再由，得，

（3）

……4分将代入（2）得，即方程有实根．故其判别式得，或，

（4）

……5分由（3），（4）得；

……6分（Ⅱ）由的判别式，知方程有两个不等实根，设为，又由知，为方程（）的一个实根，则有根与系数的关系得，

……9分当或时，，当时，，故函数的递增区间为，由题设知，因此，由（Ⅰ）知得的取值范围为；…12分（Ⅲ）由，即，即，因为，则，整理得，设，可以看作是关于的一次函数，由题意对于恒成立，故

即得或，由题意，，故，因此的最小值为．

……16分32．（本小题满分12分）解：（1）依题意，随机变量ξ的取值是0，1，6，8．P(ξ=0)=，P(ξ=1)=，P(ξ=6)=，P(ξ=8)=．得分布列：

……6分（2）=．……12分33．（本小题满分14分）解：（1）∵，∴．……2分

又∵∴，…………3分

∴．……5分由椭圆定义可知，，…6分从而得，，．∴、．

…………7分（2）∵F1（-2，0），F2（2，0），由已知：，即，所以有：，设P（x，y），

…9分

则，…12分即（或）综上所述，所求轨迹方程为：．…14分34．（本小题满分14分）解：（1）由an＋1＝an＋6an－1，an＋1＋2an＝3(an＋2an－1)(n≥2)∵a1＝5，a2＝5∴a2＋2a1＝15

故数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列

…………5分（2）由（1）得an＋1＋2an＝5·3n

由待定系数法可得(an＋1－3n＋1)＝－2(an－3n)

即an－3n＝2(－2)n－1

故an＝3n＋2(－2)n－1＝3n－(－2)n

………9分（3）由3nbn＝n(3n－an)＝n[3n－3n＋(－2)n]＝n(－2)n，∴bn＝n(－)n

令Sn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝＋2()2＋3()3＋…＋n()nSn＝()2＋2()3＋…＋(n－1)()n＋n()n＋1

…………11分得Sn＝＋()2＋()3＋…＋()n－n()n+1＝－n()n+1＝2[1－()n]－n()n+1∴Sn＝6[1－()n]－3n()n+1＜6要使得|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＜m对于n∈N＊恒成立，只须m≥6

…14分35．（本小题满分14分）解：（1），当且仅当时等号成立，故的取值范围为．……5分（2）解法一（函数法）……6分由，又，，∴在上是增函数，

……7分所以即当时不等式成立．………9分解法二（不等式证明的作差比较法），将代入得，

……6分∵，时，∴，即当时不等式成立．……………9分（3）解法一（函数法）记，则，即求使对恒成立的的范围．

…………10分由（2）知，要使对任意恒成立，必有，因此，∴函数在上递减，在上递增，………12分要使函数在上恒有，必有，即，解得．

……………14分解法二（不等式证明的作差比较法）由(2)可知，要不等式恒成立，必须恒成立，

…………10分即恒成立，

…………11分由得，即，

…………13分解得．

因此不等式恒成立的的范围是．……14分36、解：(1）设椭圆的焦距为2c,因为，所以有，故有。从而椭圆C的方程可化为：

①

………2分易知右焦点F的坐标为（），据题意有AB所在的直线方程为：

②

………3分由①，②有：

③设，弦AB的中点，由③及韦达定理有：

所以，即为所求。

………5分(2）显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，使得等式成立。设，由1）中各点的坐标有：，所以。

………7分又点在椭圆C上，所以有整理为。

④由③有：。所以

⑤又A﹑B在椭圆上，故有

⑥将⑤，⑥代入④可得：。

………11分对于椭圆上的每一个点，总存在一对实数，使等式成立，而在直角坐标系中，取点P（），设以x轴正半轴为始边，以射线OP为终边的角为，显然。也就是：对于椭圆C上任意一点M，总存在角（∈R）使等式：＝cos＋sin成立。37、（1）解法一：设，

…………1分即当；

…………3分当

…………4分化简得不合故点M的轨迹C的方程是

…………5分（1）解法二：的距离小于1，∴点M在直线l的上方，点M到F（1，0）的距离与它到直线的距离相等

…………3分所以曲线C的方程为

…………5分（2）当直线m的斜率不存在时，它与曲线C只有一个交点，不合题意，设直线m的方程为，代入

（☆）

…………6分与曲线C恒有两个不同的交点设交点A，B的坐标分别为，则

…………7分①由，

…………9分②点O到直线m的距离，…………10分，（舍去）

…………12分当方程（☆）的解为若若

…………13分当方程（☆）的解为若若

…………14分

所以，38、解：（1）点都在函数的图像上，,当时，当ｎ＝1时，满足上式，所以数列的通项公式为…….3分

（2）由求导可得过点的切线的斜率为，..①由①×4，得②①-②得：

………………..7分

（3）,.又，其中是中的最小数，.是公差是4的倍数，.又，,解得ｍ＝27.所以，设等差数列的公差为，则，所以的通项公式为…………12分39、解：①