（5年高考真题备考题库）高考数学一轮复习 第6章 第1节 不等关系与不等式 文 湘教版

2009~2013年高考真题备选题库第六章不等式、推理与证明第一节不等关系与不等式考点不等关系与不等式1．（2013浙江，5分）若α∈R，则“α＝0”是“sinα<cosα”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：本题主要考查充要条件的判断、三角函数值等基础知识，意在考查考生的推理论证能力．当α＝0时，sinα＝0，cosα＝1，∴sinα<cosα；而当sinα<cosα时，α＝0或α＝eq\f(π,6)，….答案：A2．（2013天津，5分）设a，b∈R则“(a－b)·a2<0”是“a<b”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：本题主要考查充分条件、必要条件的判断，意在考查考生的逻辑推理能力．若(a－b)·a2<0，则a≠0，且a<b，所以充分性成立；若a<b，则a－b<0，当a＝0时，(a－b)·a2＝0，所以必要性不成立．故“(a－b)·a2<0”是“a<b”的充分而不必要条件．答案：A3．（2012陕西，5分）小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则()A．a<v<eq\r(ab) B．v＝eq\r(ab)C.eq\r(ab)<v<eq\f(a＋b,2) D．v＝eq\f(a＋b,2)解析：设甲、乙两地的距离为S，则从甲地到乙地所需时间为eq\f(S,a)，从乙地到甲地所需时间为eq\f(S,b)，又因为a<b，所以全程的平均速度为v＝eq\f(2S,\f(S,a)＋\f(S,b))＝eq\f(2ab,a＋b)<eq\f(2ab,2\r(ab))＝eq\r(ab)，eq\f(2ab,a＋b)>eq\f(2ab,2b)＝a，即a<v<eq\r(ab).答案：A4．（2011浙江，5分）若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜eq\f(1,b)或b＞eq\f(1,a)”的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：对于0＜ab＜1，如果a＞0，则b＞0，a＜eq\f(1,b)成立，如果a＜0，则b＜0，b＞eq\f(1,a)成立，因此“0＜ab＜1”是“a＜eq\f(1,b)或b＞eq\f(1,a)”的充分条件；反之，若a＝－1，b＝2，结论“a＜eq\f(1,b)或b＞eq\f(1,a)”成立，但条件0＜ab＜1不成立，因此“0＜ab＜1”不是“a＜eq\f(1,b)或b＞eq\f(1,a)”的必要条件；即“0＜ab＜1”是“a＜eq\f(1,b)或b＞eq\f(1,a)”的充分而不必要条件．答案：A5．（2010广东，5分）“x＞0”是“eq\r(3,x2)＞0”成立的()A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．非充分非必要条件 D．充要条件解析：当x＞0时，eq\r(3,x2)＞0成立；但当eq\r(3,x2)＞0时，得x2＞0，则x＞0或x＜0，此时不能得到x＞0.答案：A6．（2010浙江，5分）设0<x<eq\f(π,2)，则“xsin2x<1”是“xsinx<1”的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：当0<x<eq\f(π,2)时，0<sinx<1，故xsinx<1⇒xsinxsinx<sinx<1⇒xsin2x<1，但xsin2x<1⇒xsinx<eq\f(1,sinx)，而eq\f(1,sinx)>1，故不能保证xsinx<1.答案：B7．（2010陕西，5分）“a＞0”是“|a|＞0”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：因为|a|＞0⇔a＞0或a＜0，所以a＞0⇒|a|＞0，但|a|＞0⇒/a＞0，所以a＞0是|a|＞0的充分不必要条件．答案：A8．（2010山东，5分）已知x，y∈R＋，且满足eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)＝1，则xy的最大值为________．解析：因为1＝eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)≥2eq\r(\f(x,3)·\f(y,4))＝2eq\r(\f(xy,12))＝eq\r(\f(xy,3))，所以xy≤3，当且仅当eq\f(x,3)＝eq\f(y,4)，即x＝eq\f(3,2)，y＝2时取等号，故xy的最大值为3.答案：39．（2010江苏，5分）设x，y为实数，满足3≤xy2≤8,4≤eq\f(x2,y)≤9，则eq\f(x3,y4)的最大值是________．解析：由题设知，实数x，y均为正实数，则条件可化为lg3≤lgx＋2lgy≤lg8，lg4≤2lgx－lgy≤lg9，令lgx＝a，lgy＝b，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lg3≤a＋2b≤3lg2,2lg2≤2a－b≤2lg3))，又设t＝eq\f(x3,y4)，则lgt＝3lgx－4lgy＝3a－4b，令3a－4b＝m(a＋2b)＋n(2a－b)，解得m＝－1，n＝2，即lgt＝－(a＋2b)＋2(2a－b)≤－lg3＋4lg3＝lg27，∴eq\f(x3,y4)的最大值是27.另解：将4≤eq\f(x2,y)≤9两边分别平方得，16≤eq\f(x4,y2)≤81，①又由3≤xy2≤8可得，eq\f(1,8)≤eq\f(1,xy2)≤eq\f(1,3)，②由①×②得，2≤eq\f(x3,y4)≤27，即eq\f(x3,y4)的最大值是27.答案：2710．（2010安徽，12分）若a＞0，b＞0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)．①ab≤1；②eq\r(a)＋eq\r(b)≤eq\r(2)；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥2.解析：两个正数，和为定值，积有最大值，即ab≤eq\f(a＋b2,4)＝1，当且仅当a＝b时取等号，故①正确；(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝a＋b＋2eq\r(ab)＝2＋2eq\r(ab)≤4，当且仅当a＝b时取等号，得eq\r(a)＋eq\r(b)≤2，故②错误；由于eq\f(a2＋b2,2)≥eq\f(a＋b2,4)＝1，故a2＋b2≥2成立，故③正确；a3＋b3＝(a＋b)(a2＋b2－ab)＝2(a2＋b2－ab)，∵ab≤1，∴－ab≥－1，又a2＋b2≥2，∴a2＋b2－ab≥1，∴a3＋b3≥2，故④错误；eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))eq\f(a＋b,2)＝1＋eq\f(a,2b)＋eq\f(b,2a)≥1＋1＝2，当且仅当a＝b时取等号，故⑤正确．答案：①③⑤11．(2011安徽，12分)(1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋eq\f(1,xy)≤eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋xy；(2)设1<a≤b≤c，证明logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.解：(1)由于x≥1，y≥1，所以x＋y＋eq\f(1,xy)≤eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋xy⇒⇐xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.将上式中的右式减左式，得[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．既然x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．(2)设logab