人教版九年级数学下册02 教学设计-锐角三角函数

《锐角三角函数》教学设计1．经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义．2．能够运用sinA、cosA表示直角三角形两边的比．3．能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算．4．理解锐角三角函数的意义．1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明．能用sinA、cosA表示直角三角形两边的比．2.用函数的观点理解正弦、余弦和正切．多媒体课件一、情景导入（导入语）师：上一节课，我们讨论了用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度，并且得出了当倾斜角确定时，其对边与斜边之比随之确定．也就是说这一比值只与倾斜角有关，与直角三角形的大小无关．并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义了正切．现在我们提出两个问题：问题1：当直角三角形中的锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗？问题2：梯子的倾斜程度与这些比有关吗？如果有，是怎样的关系？设计意图：通过复习回顾上节课学习的要点和梯子的倾斜问题入手，起到了温故知新的作用，也激起了学生探究活动的兴趣．二、探究新知活动内容1：正弦、余弦及三角函数的定义问题1：当直角三角形中的锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗？处理方式：引导学生小组内充分讨论和说理，合作探究，尝试解决这个问题．问题可细化处理如下：(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系？(2)和有什么关系？和呢？(3)如果改变B2在梯子AB1上的位置呢？你由此可得出什么结论？(4)如果改变梯子AB1的倾斜角的大小呢？你由此又可得出什么结论？请同学们讨论后回答．学生得出结论:只要梯子的倾斜角确定，倾斜角的对边与斜边的比值，倾斜角的邻边与斜边的比值随之确定．也就是说，这一比值只与倾斜角有关，而与直角三角形大小无关．（过渡语）师：我们会发现这是一个变化的过程．对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值都随着倾斜角的改变而改变，同时，如果给定一个倾斜角的值，它的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值是唯一确定的．这是一种什么关系呢？生可能回答：函数关系．定义：在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定．如图，∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正弦(sine)，记作sinA，即sinA＝．∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦(cosine)，记作cosA，即cosA＝锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数(trigonometricfunction)．处理方式：引导学生讨论，使学生理解，当直角三角形中的锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比值，∠A的邻边与斜边的比值，∠A的对边与邻边的比值也都唯一确定．在“∠A的三角函数”概念中，∠A是自变量，其取值范围是0°＜A＜90°；三个比值是因变量．当∠A变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应．问题2：梯子的倾斜程度与这些比有关吗？如果有，是怎样的关系？处理方式：小组讨论，然后学生踊跃发言，各抒己见．结论：梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关:sinA越大,梯子越陡;cosA越小,梯子越陡.设计意图：通过对活动内容的探究，使学生掌握如何通过观察、猜想、操作等试验手段探究数学知识。同时，学生在相互合作交流的过程中发现知识，掌握知识．活动内容2：三角函数的应用应用一：例题讲解例1：如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝200，sinA＝0.6，求BC的长．处理方式：此例题可以完全放手给学生，让其尝试利用所学新知解决简单的问题．在此问题的解决过程中，可以采取小组内交流展示，班级展示等多种形式，对于条理不清楚以及书写不规范等问题，教师及时予以指出．可一名学生板书：解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝200．sinA＝0.6，即＝0.6，BC＝AC×0.6＝200×0.6＝120．题后拓展：思考：(1)cosA＝？(2)sinC＝？cosC＝？(3)由上面计算，你能猜想出什么结论？解：根据勾股定理，得AB＝＝160．在Rt△ABC中，CB＝90°．cosA＝＝0.8，sinC＝＝0.8，cosC＝＝0.6．由上面的计算可知sinA＝cosC＝0.6，cosA＝sinC＝0.8．因为∠A＋∠C＝90°，所以，结论为“一个锐角的正弦等于它余角的余弦”“一个锐角的余弦等于它余角的正弦”．设计意图：本例主要考查利用正弦的定义求对边的长，及在初步总结“一个锐角的正弦等于它余角的余弦”“一个锐角的余弦等于它余角的正弦”这一结论．应用二：做一做如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AC＝10，AB等于多少？sinB呢？cosB、sinA呢？你还能得出类似例1的结论吗？请用一般式表达．处理方式：学生尝试独立完成，教师巡视及时发现问题，并对有困难的学生给予帮助．可展示学生的解题过程：解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，cosA＝，cosA＝，∴AB＝＝10×，sinB＝＝cosA＝．根据勾股定理，得BC2＝AB2－AC2＝()2－102＝∴BC＝．∴cosB＝，sinA＝．可以得出同例1一样的结论．∵∠A＋∠B＝90°，∴sinA＝cosB＝cos(90°－A)，即sinA＝cos(90°－A)；cosA＝sinB＝sin(90°－A)，即cosA＝sin(90°－A)．设计意图：主要使学生进一步体会余弦、正弦定义的进一步的应用，同时渗透了sin(90°－A)＝cosA，cos(90°－A)＝sinA．巩固练习1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则sinA=______,tanA=_______,cosA=_______.2.在Rt△ABC中,∠C=90°,tanA=,则sinB=_______,tanB=______.3.在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,则tanA=_______,sinB=_______.4.在△ABC中,AB=AC=3,BC=4,则tanC=______,cosB=________.5.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=41,sinA=,则AC=______,BC=_______.6.在△ABC中,AB=AC=10,sinC=,则BC=_____.7.在△ABC中,已知AC=3,BC=4,AB=5,那么下列结论正确的是()A.sinA=B.cosA=C.tanA=D.cosB=8.如图,在△ABC中,∠C=90°,sinA=,则等于()A.B.C.D.答案：1.2.3.4.5.40,96.127.B8.A拓展提高1.如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于E,EC=1,sinB=,求菱形的边长和四边形AECD的周长.2.已知:如图,斜坡AB的倾斜角a,且tanα=,现有一小球从坡底A处以20cm/s的速度向坡顶B处移动,则小球以多大的速度向上升高?答案1.在菱形ABCD中,AB=BC=CD=DA.∵AE⊥BC,∴∠AEB=90°.在Rt△ABE中,∵sinB=,∴设AE=5x,AB=13x,则BE=,∴BC=12x+1=AB=13x,x=1.∴AB=13,即菱形ABCD的边长为13.又AE+EC+CD+AD=5x+1+13x+13x=1+31x=1+31=32,即四边形AECD的周长为32.2.设BC=3x,则由tanα=,故AC=4x,从而AB=5x,由于小球从AB上升了3xcm,且用时为,故小球上升的速度为=12(cm/s).五、课堂小结在