1.4有阻尼的受迫振动振动力学课件

第四节

有阻尼的受迫振动定义：受迫振动：有阻尼的系统在外界控制的持续激励作用下所产生的振动。激励——外界力、基座运动所产生的惯性力。响应——激励所引起的系统的振动状态。非自治系统：显含时间变量的系统。弹簧－质量系统设外力幅值.外力的激励频率.振动微分方程：实部和虚部分别与和相对应。m

为复数变量，分别与和相对应。

二、有阻尼受迫振动显含t，非齐次微分方程非齐次微分方程通解齐次微分方程通解非齐次微分方程特解＝＋阻尼自由振动逐渐衰减暂态响应持续等幅振动稳态响应设非齐次方程的特解，即稳态响应：

即

（系统的阻尼比）静变形欧拉公式：（实部和虚部分别相等）振幅放大因子相位差振动微分方程：设：复频响应函数

：稳态响应的复振幅振动微分方程：振幅放大因子相位差

系统与幅值相等的常值力施加于物体上所引起的弹簧静变形（系统在静力F0作用下的静偏位）；

系统的振幅放大因子，它是关于频率比的函数（系统的幅频特性）；

系统的频率比；

系统的稳态响应的实振幅；系统的响应与激励的相位角，它是关于频率比的函数（系统的相频特性）。特解全解（1）线性系统对简谐激励的稳态响应是频率等同于激振频率、而相位滞后激振力的简谐振动；（2）稳态响应的振幅及相位差只取决于系统本身的物理性质（m,k,c）和激振力的频率及力幅，而与系统进入运动的方式（即初始条件）无关。无阻尼受迫振动特解：有阻尼受迫振动结论例题1：建立如图所示系统的运动微分方程并求稳态响应。kmkmm解：运动微分方程：其稳态响应为：k2mk1x1x2例题2在图所示系统中，已知初始时物块静止且两弹簧均为原长。求物块运动规律。解：取坐标轴对连接点A列平衡方程：对m列运动微分方程：消去（3）由（3）得：（2）（1）0123012345三、稳态响应的特性（1）当s<<1（）简谐激励作用下稳态响应特性：结论：响应的振幅A与静位移B相当激振频率相对于系统固有频率很低（2）当s>>1（）激振频率相对于系统固有频率很高结论：响应的振幅很小0123012345（3）在s>>1，s<<1领域对应于不同值对应于不同值,曲线较为密集，说明阻尼的影响不显著结论：系统可以按无阻尼情况考虑（4）当对应于较小值，迅速增大,当结论：共振振幅无穷大但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在s=1附近的区域内，增加阻尼使振幅明显下降0123012345（5）对于有阻尼系统，并不出现在s=1处，而且稍偏左。（6）当结论：振幅无极值Q为系统的品质因数

阻尼越弱，Q越大，带宽越窄，共振峰越陡峭相频特性曲线（1）当s<<1（）以s为横坐标曲线相位差位移与激振力在相位上几乎相同;（2）当s>>1（）位移与激振力反相;（3）当共振时的相位差为，与阻尼无关.三、稳态响应的特性

ω/ω0＜1时响应同相，

ω/ω0＞1时响应反相。

例题3：已知等效质量m且可简化于杆长处，阻尼为c，弹簧刚度为k，，水平位置平衡，动力学微分方程；

s＝1（接近共振），且很小时系统的振幅和相位角试求：解:(1)动力学微分方程：

动力学微分方程(2)振幅（最大摆角)质点的振幅四、受迫振动的过渡阶段在系统受到激励开始振动的初始阶段，其自由振动伴随受迫振动同时发生,系统的响应是暂态响应与稳态响应的叠加。非齐次微分方程通解齐次微分方程通解非齐次微分方程特解＝＋阻尼自由振动逐渐衰减暂态响应持续等幅振动稳态响应初始条件响应自由伴随振动强迫响应忽略阻尼，动力学方程及初始条件例：计算初始条件，以使的响应只以频率振动。解：全解：由求一阶导数：由的全解：因此：的全解：相同不同若激励频率与固有频率十分接近令：ε

小量考虑零初始条件，有：的全解：代入：可看作频率为但振幅按规律缓慢变化的振动。

这种在接近共振时发生的特殊振动现象称为”拍”。0拍的周期：图形包络线：

阻尼自由振动当随t增大，振幅无限增大，无阻尼系统共振的情形。

0响应曲线零初始条件(2)s>1(1)s<1稳态受迫振动进行一个循环时间内，自由伴随振动完成多个循环。自由伴随振动进行一个循环时间内，稳态受迫振动完成多个循环。受迫振动响应成为自由振动响应曲线上迭加的一个振荡运动。受迫振动响应成为稳态响应曲线上迭加的一个振荡运动。00稳态响应全响应讨论有阻尼系统在过渡阶段对简谐激励的响应初始条件响应自由伴随振动受迫响应利用前述相同的方法，有：初始条件响应经过充分长时间后，作为瞬态响应的前两种振动都将消失，只剩稳态受迫振动。自由伴随振动受迫响应0强迫响应全响应初始条件响应自由伴随振动受迫响应对于零初始条件：小结：受迫振动的过渡阶段初始条件响应自由伴随振动受迫响应初始条件响应自由伴随振动受迫响应初始条件响应受迫响应初始条件响应受迫响应作业：2.5机械阻抗与导纳工程中常用机械阻抗来分析结构的动力特性.机械阻抗定义为简谐激振时复数形式的输入与输出之比.动力学方程：：输入：输出代入，得：复频响应函数.位移阻抗：补充位移阻抗与复频响应函数互为倒数，也称为导纳。

输出也可以定义为速度或加速度，相应的机械阻抗称为速度阻抗和加速度阻抗。速度阻抗加速度阻抗机械阻抗的倒数称为机械导纳，相应、、分别有位移导纳、速度导纳和加速度导纳.位移阻抗速度阻抗加速度阻抗机械阻抗和机械导纳都仅仅取决于系统本身的动力特性（m，k，