强度理论底周疲劳课件

强度理论与方法（3）1——底周疲劳底周疲劳单调应力-应变响应循环应力-应变响应变幅循环应力-应变响应应变疲劳性能缺口应应变分析2低周疲劳或称应变疲劳：载荷水平高

(σ>σys)，寿命短

(N＜104)。应变寿命法假定在应变控制下试验的光滑试件可以模拟工程构件缺口根部的疲劳损伤。如果承受相同的应力应变历程，则缺口根部材料有与光滑件相同的疲劳寿命3载荷水平低，应力和应变是线性相关，应力

控制和应变控制试验的结果等效。高载荷水平，即低周疲劳范围内，循环应力

应变响应和材料的性能在应变控制条件下模拟更好。低载荷水平：应力控制和应变控等效。高载荷水平：应力变化小，难于控制

应变变化大，利于控制。4单调应力-应变关系循环载荷下，应变如何分析？应变-寿命关系如何描述？循环应力-应变行为循环应力作用下的应变响应应变疲劳性能缺口应变分析应变疲劳寿命预测思路：问题：51.单调应力-应变响应A0l0d0originaldlAPPdeformedPS=

A0le=

l=l

−lΔl000工程应力S:Engineeringstress工程应变e:Engineeringstrain材料纵向伸长，横向缩小。真应力、真应变?6P

ll0ld

l真应力true

stress:Aσ

P0应力应变S-eσysσ−ε均匀变形l

0

llε

=∫

dl真应变true

strain:0l

0)

=ln(1+

e)l

+Δl=ln(l

l

)=ln(

0ll

0

lε

=∫

dldlAPPdeformed颈缩前，变形是均匀的。忽略弹性体积变化，可假定均匀变形阶段后体积不变。7工程应力、应变与真应力、真应变间关系：σ=P/A=Pl/A0l0=(P/A0)[(l0+Δl)/l0]=S(1+e)ε=ln(1+e)=ln(l

/l0)=ln(A0/A）8单调加载下的应力—应变关系σ-ε曲线上任一点应变ε可表示为：ε=εe+εpσ-εe关系用Hooke定理表为：σ=Eεeσ-εp关系用Holomon关系表达为：σ=K(εp)nRemberg-Osgood

弹塑性应力-应变关系：σεε

p0εeAK为强度系数，应力量纲(MPa);n为应变硬化指数，无量纲。

n=0，理想塑性材料。92.循环应力-应变响应N↑，σa↑，循环硬化；反之，为循环软化。1.

滞后环

hysteresis

loops在εa=const的对称循环下，应力、应变的连续变化。一般说来，低强度、软材料趋于循环硬化；高强度、硬材料趋于循环软化。可知：1)σ-ε响应随循环次数改变。3)有循环硬化和软化现象。a

a稳态环σ

N=22)一定周次后有稳态滞后环。100低碳钢的循环应力应变响应102.

循环σa-εa曲线弹性应变幅εea、塑性应变幅εpa分别为：循环σa-εa曲线的数学描述：各稳态滞后环顶点连线。

注意：循环σa-εa曲线，不反映加载路径。K为循环强度系数，应力量纲(MPa)；n’为循环应变硬化指数，无量纲。

a

a0循环应力-应变曲线σa−ε

a

11循环应力-应变曲线可用多试样法由试验确定。这种方法是用一系列相同试样在不同的应变水平下试验，直到滞后环稳定，然后将这些稳态环叠在一起，连接其顶点如图。12Δσ0Δε0'eaε

aσa

a

a

εeaεpaεpa

ε

σ

σ1

ε

εe

εp2

2

2

2E

2K

()

n3.滞后环曲线

(Δσ-Δε曲线)反映加载路径。若拉压性能对称，考虑半支即可。以o'为原点，考虑上半支。假设Δσ-Δε曲线与σa-εa曲线几何相似，滞后环曲线为：或者E2

K

′Δε

=

Δσ

+

2(

Δσ

)

1n′同样，若用应变表示应力，则有：Δσ=EΔεe

和

Δσ=2K’(Δεp

/2)n'133.变幅循环应力-应变响应加载ABD, 卸、加载曲线ABCB’D。2) 过封闭环顶点后，σ-ε路径不受封闭环的影响,

记得原来的路径。原路径A-B-D.1.

材料的记忆特性材料的记忆规则为：1)

应变第二次到达某处,该处曾发生过应变反向，则形成封闭环。

(封闭环B-C-B’)材料记得曾为反向加载所中断的应力-应变路径。ABDσεD'B'C14已知ε1，用数值方法可解出σ1。2.

变幅循环下的σ-ε响应计算已知变应变循环历程，取从最大峰或谷起止的典型谱段，分析其稳态应力响应。0-1

第一次加载，稳态响应由σa-εa曲线描述。12

2’345

5'76

81'0εt7'1-2

卸载。已知载荷反向的变程Δε1-2

,求Δσ1-2。15反映加载路径的是Δσ−Δε曲线，：即：Δε1−

2=

Δσ1−

2E

2

K

′+

2(

Δσ1−

2

)1

n′12

2’345

5'76

81'0εt7'已知Δε1-2=

ε1-ε2

。可求Δσ1-2；从

1到

2是卸载，则2处有：ε2=ε1-Δε1-2

σ2=σ2−Δσ1-22-3

加载。已知Δε2-3,

由滞后环曲线可求

Δσ2-3。对于加载，有：ε3=ε2+Δε2-3；

σ3=σ2+Δσ2−3。3-4

卸载。经过2’处时，应变曾在该处

(2处)发生过反向，由记忆特性知2-3-2’形成封闭环，且不影响其后的σ-ε响应。164−5

加载。已知Δε4−5

,

求Δσ4−5，得到：ε5=ε4+Δε4−5

;

σ5=σ4+Δσ4−5。5−6

卸载。已知Δε5−6

,

求Δσ5−6。进而求得

ε6、

σ6。6−7

加载。已知Δε6−7

,

求Δσ6−7。进而求得

ε7、

σ7。7-8 卸载。已知Δε7-8

,求Δσ7-8。可得：ε8、σ8。按路径

1−2−4计算σ−ε响应，有：得到：

ε4=ε1-Δε1-4；

σ4=σ1-Δσ1-4。Δε1−

4=

Δσ1−

4E

2

K

′+

2(

Δσ1−

4

)1

n′12

2’345

5'76

81'0εt7'1712

2’3465

5'781'0εt7'8-1’加载。注意有封闭环7-8-7’，5-6-5‘,1-4-1’；故有：

ε1'=ε1；

σ1'=σ1。依据计算数据(εi

,σi

), 在σ−ε坐标中描点，顺序连接，即可得到

σ−ε响应曲线。εσ0467

7'832

2'5

5'1

1'184) 依据计算数据(εI

,σi

), 画出σ−ε响应曲线。变幅循环下的应力-应变计算方法：1) 第一次加载，由σa-εa曲线描述，已知εa算σa。2)

后续反向，由Δε−Δσ曲线描述；由谱中已知的Δε算相应的Δσ，且有：εi+1

=εi±

Δεi-i+1

；

σi+1=σi±

Δσi-i+1加载变程用“+”,卸载用“-”。3)

注意材料记忆特性,

封闭环不影响其后的响应，去掉封闭环按原路径计算。19例1：

变幅应变谱如图。已知E=2.1×105MPa,K'=1220MPa, n'=0.2,

试计算其循环响应。解：0-1

ε1=σ1/E+(σ1/K')1/n'ε1=0.01

∴σ1=462MPa1-2

卸载。Δε1-2=Δσ1-2/E+2(Δσ1-2/2K')1/n'Δε1-2=0.012

Δσ1-2=812MPa故：ε2=ε1−Δε1-2=-0.02；σ2=σ1-Δσ1-2=-350MPa2-3

加载。已知

Δε2-3=0.008,

得Δσ2-3=722MPa故有：

ε3=0.006,

σ3=372MPa。1234561't.01ε.006.0020-.004-.00820可先用雨流法找出封闭环1-4-1',2-3-2',5-6-5'，

封闭环不影响其后的σ-ε响应。3-4卸载。形成封闭环2-3-2’。按1-4的路径计算。1-4卸载。Δε1-4=0.018

Δσ1-4=900MPa，ε4=-0.008,

σ4=-438MPa。4-5

加载，Δε4-5=0.01ε5=0.002,

σ5=334MPa5-6卸载。Δε5-6=0.006ε6=-0.004,

σ6=-324MPa6-1’ 形成封闭环5-6-5’、1-4-1’σ1'=σ1。绘σ−ε响应曲线。00.01

ε-0.01-500126σ

MPa500

543214.应变疲劳性能1.

应变-寿命曲线022σf’

- 疲劳强度系数，应力量纲；b

- 疲劳强度指数，无量纲；εf’

-

疲劳延性系数，无量纲；c

-

疲劳延性指数，无量纲。大多数金属材料，b=-0.06~-0.14,c=-0.5~-0.7。近似估计时取：

b

≈-0.1, c

≈-0.6

。应变-寿命曲线：在以εpa为主的低周应变疲劳阶段，有

εpa=εf’

(2N)c这就是著名的Manson-Coffin公式(1963年)。23注意

b、c＜0；同样可知，拉伸平均应力有害，压缩平均应力有利。2.

ε-N曲线的近似估计及平均应力的影响高应变范围，材料延性 ；寿命；低应变长寿命阶段，强度 ，寿命

。一般金属材料，εa=0.01，N≈1000。εa高强度材料高延性材料2N0.012000由拉伸性能估计材料的ε-N曲线：式中，Su为极限强度；εf是断裂真应变。考虑平均应力的影响有：(SAE疲劳手册1968)24特例：恒幅对称应变循环(σm=0)，可直接由已知的应变幅εa估算寿命。3.应变疲劳寿命估算考虑平均应力：abfc

f

mEε

σ

σ

ε

(2

N

)(2

N

)循环响应计算εa和σm稳态环估算寿命

2N应变-寿命曲线：（R=-1，σm=0

）基本方程：已知ε

、σ历程计算方法25例2：

已知某材料

E=210×103

MPa, K'=1220

MPa,'n'=0.2,

σf

=930

MPa,

b=-0.095,

c=-0.47,'εf

=0.26,

估计图示三种应变历程下的寿命。-0.005-0.02(A)(B)(C)tε0.020.005

102

42

433320101解：A)

εa=0.005；σm=0。直接由估算寿命，得：2N=11716,

N=5858次262-3

Δε2-3=0.01,

由滞后环曲线得

Δσ2-3=772MPa∴

ε3=0.005,

σ3=342MPa。3-4

注意2-3-4形成封闭环。故

ε4=ε2,

σ4=σ2。B）1.

计算σ-ε响应：0-1

ε1=0.02=σ1/E+(σ1/K')1/n'∴

σ1=542

MPa0-0.005-0.02(B)tε0.020.0052

4311-2

Δε1-2=Δσ1-2/E+2(Δσ1-2/2K')1/n'Δε1-2=0.025

Δσ1-2=972MPa有：ε2=ε1-Δε1-2=-0.005；σ2=σ1-Δσ1-2=-430MPa。27拉伸高载后引入了残余压应力(σm＜0),疲劳寿命延长，是有利的。(情况A：N=5858次)2.

画σ-ε响应曲线。012,43σε(B)由稳态环求得：εa

=(ε3-ε4)/2=0.005；σm=(σ3+σ4)/2=-44MPa。3.估算寿命，有：εεambfcE=σ

′f

−

σ+

′(2

N)(2

N)代入数值后解得：

2N=12340所以，

N=6170

次循环。28。C）1.

循环响应计算：0-1：

ε1=0.02，∴σ1=542MPa注意到拉压对称性且此处是压缩，故：ε1=-0.02时，σ1=-542MPa。0.020.0050-0.005-0.02(c)tε2

431012,43σε(C)2.

画σ-ε响应曲线得：εa

=0.005；σm=(σ3+σ4)/2=44

Mpa3.求寿命：

N=5565

次循环。压缩高载引入残余拉应力,N

，是有害的。由滞后环曲线计算后续响应得：ε2=0.005，

σ2=430MPaε3=-0.005，

σ3=-342MPa29问题成为：已知缺口名义应力S,e和弹性应力集

中系数Kt； 缺口局部应力σ，ε

?5

缺口应变分析“若缺口根部承受与光滑件相同的应力应变历程，则将发生与光滑件相同的疲劳损伤”。基本假设：缺口根部材料元在局部应力σ或应变ε循环下的寿命，可由承受同样载荷历程的光滑件预测。PσS=P/(W-d)tp301)

缺口应力集中系数和应变集中系数已知缺口名义应力S；名义应变e则由应力-应变方程给出。设缺口局部应力为σ，局部应变为ε；

若

σ＜σys, 属弹性阶段，则有：σ=KtS

ε=Kte若

σ＞σys, 不可用Kt描述。 重新定义应力集中系数：Kσ=σ/S；应变集中系数：Kε=ε/e

则有：

σ=KσS；

ε=Kεe。若能再补充Kσ，Kε和Kt间一个关系，即求解σ、ε。31再由应力-应变关系ε=σ/E+(σ/K)1/n计算局部应力σ。

图中C点即线性理论给出的解。已知S或e应力应变关系求S或eε=Kte2)线性理论（平面应变）应变集中的不变性假设：Kε=ε/e=Ktσ0σ−ε

曲线CA缺口局部应力-应变S-eKte

εσsB应变集中的不变性32图中，Neuber双曲线与材料σ-ε曲线的交点D，就是Neuber理论的解答，比线性解答保守。3）Neuber理论

(平面应力)如带缺口薄板拉伸。假定：

KεKσ=Kt2二端同乘eS，有：(Kεe)(KσS)=(KtS)(Kte),t得到双曲线：σε=K2eSNeuber双曲线应力-应变关系已知S或e应力-应变关系求S或e联立求解σ和εσε0曲线CA缺口局部应力-应变S-eBNeuber双曲线σ−εDKte

σσs331) 线性理论：有:

ε=Kte=3×0.01=0.03由应力-应变曲线：ε=0.03=σ/60000+(σ/2000)8可解出:

σ=1138

MPa例3：已知E=60GPa,

K=2000MPa, n=0.125;

若缺口名义应力S=600MPa,

Kt=3，求缺口局

部应力σ

、应变ε

。解：已知S=600MPa,

由应力-应变曲线：e=S/60000+(S/2000)1/0.125求得名义应变为：

e=0.01+0.38≈0.0134可见，Neuber理论估计的σ,ε大于线性理论，是偏于保守的，工程中常用。2)

Neuber理论:有Neuber双曲线:

σε=Kt2eS

=9×0.01×600=54和应力-应变曲线：

ε=σ/60000+(σ/2000)8联立得到：

σ/60000+(σ/2000)8=54/σ可解出：

σ=1245

Mpa；且有：

ε=54/σ=0.043线性理论结果：ε=0.03，σ=1138

MPa35对于循环载荷作用的情况，第一次加载用循环应力-应变曲线；其后各次载荷反向，应力-应变响应由滞后环描述。循环载荷下的缺口应变分析和寿命估算问题：已知应力S或应变e的历程, 已知Kt；计算缺口局部应力σ、ε。找出稳态环及εa和σm，进而利用ε-N曲线估算寿命。无论名义应力S、应变e或缺口应力σ、应变ε，都应在材料的应力-应变曲线上。思路361)第一次加载，已知S1或e1，求e1或S1

；由循环应力-应变曲线和Neuber双曲线:ε1=(σ1/E)+(σ1/K')1/n'2σ

ε

=K S

e1

1

tt

1

1分析计算步骤为：联立求解σ1和ε1。2)

其后反向，已知ΔS或Δe，由滞后环曲线Δe=(ΔS/E)+2(ΔS/K')1/n'

求Δe或ΔS；再由滞后环曲线和Neuber双曲线:tt2ΔσΔε=K

ΔSΔeΔε=(Δσ/E)+2(Δσ/K')1/n'联立求解Δσ、Δε。373)

第i点对应的缺口局部σi、εi为：σi+1=σi±Δσi-i+1；εi+1=εi±Δεi-i+1式中，加载时用“+”，卸载时用“-”。4)

确定稳态环的应变幅εa和平均应力σm。εa=(εmax-εmin)/2；

σm=(σmax+σmin)/25)

利用ε-N曲线估算寿命。afmbfcEε

=

σ

′

−σ+ε

′(2N)(2N)38解：1)缺口应力-应变响应计算0-1 S1=400MPa,

计算e1,

有:e1=S1/E+(S1/K')1/n'=0.00202.联立得到：

(σ1/E)+(σ1/K')1/n'=7.272/σ1

解得：

σ1=820MPa；

ε1=0.0089。例4：

某容器受图示名义应力谱作用。焊缝Kt=3,fE=2×105MPa,

n'=1/8,b=-0.1,

c=-0.7,

εf'=0.6,fσ

'=1700MPa,

K'=1600MPa,试估算其寿命。Neuber曲线：

σ1ε1=Kt2S1e1=7.272循环应力-应变曲线：

ε

1=(σ1/E)+(σ1/K')1/n'S

(MPa)02400

1

3

t391-2

卸载，已知

ΔS1-2=400,

由滞后环曲线有：Δe1-2=ΔS/E+2(ΔS/2K')1/n'=0.002Neuber双曲线：

ΔσΔε=Kt2ΔSΔe=7.2滞后环曲线：Δε=(Δσ/E)+2(Δσ/K')1/n'=7.2/Δσ解得：Δσ1-2=1146；Δε1-2=0.006283。故有：σ2=820-1146=-326

MPa,ε2=0.0089-0.006283=0.0026172-3

加载，已知ΔS2-3=400,

Δe2-3=0.002由Neuber双曲线和滞后环曲线求得：Δσ2-3=1146；

Δε2-3=0.006283故有：

σ3=820

MPa；

ε3=0.0089402)

缺口局部应力-应变响应：作图，由稳态环知：εa=(ε1-ε2)/2=0.003141,σm=(σ1+σ2)/2=247

MPaεbfcE3)估算寿命，有：ε

a

=σ

′f

−

σm+

′(2

N)(2

N)将εa=0.003141,

σm=247MPa

代入方程，解得：N=12470

次循环。0326εσ

(MPa)8201,32若为变幅载荷作用，仍可用Miner理论进行损伤累积和寿命估算。再看一例。41解：由Miner理论有:Σni/Ni=n1/N1+n2/N2=1已知

n1=5000。且由上例知在R=0,

Smax

=400MPa下1寿命为：

N1=12470,例5：若上例中构件在Smax1=400MPa，R=0下循环n1=5000次，再继续在Smax2=500MPa，R=0.2下工作，求构件还能工作的次数n2。只须求出

R=0.2, Smax2=500

MPa的寿命N2，S(MPa)5004000Smax1S

min20’2Smax2

1

3tn1n2100即可估算构件的剩余寿命n2。421)

R=0.2,

Smax2=500MPa时的缺口响应计算。1-2

已知ΔS1-2=400,

有Δe1-2=0.002。由Neuber曲线和Δσ-Δε曲线联立求得：Δσ1-2=1146,

Δε1-2=0.006283有：

σ2=-261MPa,

ε2=0.0068870-1

已知S1=500

e1=0.00259由Neuber曲线和σa-εa曲线联立求得：σ1=885MPa,

ε1=0.013172S(MPa)500

1

3t1000’2-3 1-2-3形成封闭环，故σ3=σ1,ε3=ε1。432)

画应力应变响应曲线。由稳态环求出：εa=0.003141,σm=312

MPa。2εσ

1,3885-261

03.估算寿命，有：εafmbfcE=σ

′

−

σ+ε′(2

N)(2

N)将εa=0.003141,

σm=312

MPa

代入方程，解得：N2=10341

次循环。4)

由Miner理论有：

n1/N1+n2/N2=1解得：n2=6195

次循环。441)

材料的循环性能：循环应力应变曲线滞后环曲线εε

εσaea

pa=+=E

K′a

+

(

σa

)1

n′Δε

=

Δε

+

Δεep=

Δσ

+

2(

Δσ

1

n′E 2

K′

)2)

材料的疲劳性能：ε-N曲线考虑平均应力影响aeapafEε

=

ε

+ε=

σ

f(2Ν

)b

+ε

(2

Ν

)

cεσσεafm