空间点线面的位置关系

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系1整理课件观察长方体，你能发现长方体的顶点、棱所在的直线，以及侧面、地面之间的关系吗？长方体由上下、前后、左右六个面围成，有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看作是某个面内的直线等等.空间中的点、直线、平面之间有什么位置关系，是我们接下来要讨论的问题.2整理课件1.平面的根本知识(1)平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最根本的概念，即为不加定义的原始概念.(2)平面的根本特征是无限延展性.平面是理想的，绝对的平〔平面是处处平直的面〕；

平面没有大小、没有厚薄和宽窄，是不可度量的.光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果.思考:能不能说一个平面长4米,宽2米？为什么?不能.3整理课件画法——立体几何中通常用平行四边形来表示平面，

有时也用圆或三角形等图形来表示平面.画平面水平放置时，常把平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于邻边长的2倍.水平放置ß垂直放置为了增强立体感，如果一个平面被另一个平面遮挡住，常把它遮挡的局部用虚线画出来.(3)平面的画法及表示1.平面的根本知识4整理课件画出两个竖直放置的相交平面.练习5整理课件表示方法：ABCD①把希腊字母等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面，平面.②用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示，如平面ABCD.③用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示，如平面AC或者平面BD.(3)平面的画法及表示1.平面的根本知识6整理课件(1)点、线、面的表示点(元素):大写字母A、B、C、D……直线(点的集合):小写英文字母或者两个大写英文字母平面(点的集合):用希腊字母表示；用平行四边形顶点字母或者其相对两字母表示.(2)点、线、面之间的位置关系的表示用集合中的关系符号元素与集合关系：集合与集合关系：2.点、直线、平面的位置关系7整理课件ABa点A在直线a上，记作点B不在直线a上，记作点A在平面α上，记作点B不在平面α上，记作ABα(1)点与直线的位置关系：(2)点与平面的位置关系：2.点、直线、平面的位置关系8整理课件(3)直线与平面的位置关系：按公共点个数分三类②直线a与平面α有且只有一个公共点，称直线a与平面α相交.

记为：③直线a与平面α没有公共点，称直线a与平面α平行.记为：αaαAaαa①直线a与平面α有无数个公共点，称直线a在平面α内，

或称平面α通过直线a.记为：公理1注1：情况②和③统称为直线a在平面α外，记作2.点、直线、平面的位置关系9整理课件(4)平面与平面的位置关系：按有否公共点分两类αβaβα①当两个不同平面α与平面β有公共点时，它们的公共点组成直线a，称平面α与平面β相交.记作：②当平面α与平面β没有公共点时，称平面α与平面β平行.记作：公理3注2：当平面α上的所有点都在平面β上时，称平面α与平面β重合.公理2αβ〔当两个平面有不共线的三个公共点，那么两个平面重合)2.点、直线、平面的位置关系10整理课件小结：用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：BaααaαAbaAAB练习αβaβααβ平面α与平面β重合11整理课件桌面αAB观察以下问题，你能得到什么结论？直尺落在桌面上〔直线AB在平面α内〕3.平面的根本性质12整理课件①图形语言：AB(1)公理1：假设一条直线上的两点在一个平面内，

那么这条直线在此平面内.②符号语言：③该公理反映了直线与平面的位置关系：

可用于判定直线是否在平面内，点是否在平面内，又可用直线检验平面.3.平面的根本性质13整理课件思考：两个平面会不会只有一个公共点呢？不会！因为平面是无限延展的.因此，两个平面有一个公共点，必然有无数个公共点，并且这些公共点在一条直线上.3.平面的根本性质14整理课件P(2)公理3：假设两个不重合的平面有一个公共点，

那么它们有且只有一条过该点的公共直线.①图形语言：②符号语言：③该公理反映了平面与平面的位置关系：i)该公理是用以判定两个平面相交的依据：只要两个平面有一个公共点，就可判定这两个平面必相交于过该点的一条直线.(找两个面的交线只要找出两个面的两个公共点即可)ii)该公理可用以判定点在直线上：点是某两平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，那么该点在交线上.3.平面的根本性质15整理课件CBA观察以下问题，你能得到什么结论？自行车需要一个支脚架就可以保持平衡.3.平面的根本性质16整理课件ABC(3)公理2：

经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.①图形语言：②符号语言：③定义的说明：过不在一条直线上的四点，不一定有平面.故要充分重视“不在一条直线上的三点〞这一条件；“有且只有一个〞强调的是存在性和唯一性两方面，不能用“只有一个〞替代；确定一个平面的“确定〞是“有且只有〞的同义词.3.平面的根本性质17整理课件推论1经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.证明：存在性.因为A

a，在a上任取两点B，C.所以过不共线的三点A，B，C有一个平面.〔公理2〕因为B∈，C∈，故经过点A和直线a有一个平面.ABCa因为B，C在a上，所以过直线a和点A的平面一定经过点A，B，C.由公理2，经过不共线三点A，B，C的平面只有一个，所以过直线a和点A的平面只有一个.唯一性.所以a

.（公理1）点Aa，求证过点A和直线a可以确定一个平面.3.平面的根本性质18整理课件推论2

经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3

经过两条平行直线，有且只有一个平面.baαabα推论1经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.ABCa注3：公理2及其三个推论是确定平面以及判断两个平面重合的依据，是证明点、线共面的依据，也是作截面、辅助平面的依据.ABC公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.练习3.平面的根本性质19整理课件abced我们知道,在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?观察:将一张纸如图进行折叠,那么各折痕及边a,b,c,d,e,…之间有何关系？a∥b∥c∥d∥e∥…3.平面的根本性质20整理课件符号表示:caabcc(4)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.aα①平行具有传递性；注4：②该公理是判断空间两条直线平行的方法之一.即要证明两条直线平行，一般利用第三条直线作为联系两直线的中间环节.3.平面的根本性质21整理课件例1在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线AB与C1D1，AD1与BC1是什么位置关系？为什么？解：C1ABCDA1B1D11〕∵AB∥A1B1，C1D1∥A1B1，∴AB∥C1D1

2〕∵AB∥C1D1，且AB=C1D1∴ABC1D1为平行四边形故AD1∥BC1

练习：上例中，AA1与CC1，AC与A1C1的位置是什么关系？22整理课件例2ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，连结EF，FG，GH，HE，求证：EFGH是一个平行四边形.问1:假设上例加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是一个什么图形？“见中点找中点〞构造三角形的中位线是证明平行的常用方法．∵EH是△ABD的中位线，∴EH∥FG且EH=FG．∴EFGH是一个平行四边形．证明：连结BD，同理，FG∥BD且FG=BD．

∴EH∥BD且EH=BD．ABDEFGHC菱形问2:假设上例中四边形EFGH为矩形，AC与BD垂直吗？另注：平行线段成比例练习23整理课件√√√24整理课件ABCDA1B1C1D1OABCDA1B1C1D1EF找两平面的两个公共点例几何体中的截面问题〔两平面的交线问题〕25整理课件Q即交线为QN例几何体中的截面问题〔两平面的交线问题〕拓展26整理课件4.点线共面问题(1)证明的主要依据：公理1；公理2及其三个推论.(2)证明的常用方法：①纳入平面法：先由局部元素确定一个平面，再证明其余有关的点、线在此平面内；②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面、重合.27整理课件例1证明两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内.ABC：AB∩AC=A，AB∩BC=B，AC∩BC=C求证：直线AB，BC，AC共面.证明：因为AB∩AC=A，所以直线AB，AC确定一个平面.〔推论2〕因为B∈AB，C∈AC，所以B∈

，C∈

，故BC.〔公理1〕因此直线AB，BC，CA共面.确定一个面，再证明其余线在该面内.4.点线共面问题28整理课件证法二：因为A

直线BC上，所以过点A和直线BC确定平面.〔推论1〕因为B∈BC，所以B∈

.又A∈

，

故AB

，同理AC

，所以AB，AC，BC共面.ABC例1证明两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内.证法三：因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过A，B，C三点可以确定平面.〔公理2〕因为A∈，B∈，所以AB.〔公理1〕同理BC

，AC

，所以AB，BC，CA三直线共面.4.点线共面问题29整理课件4.点线共面问题30整理课件P515证明：一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共面.：a//b，a∩c=A，b∩c=B.求证：直线a，b，c共面.证明：因为a//b，所以直线a，b确定一个平面.〔推论3〕因为A∈a，B∈b，所以A∈，B∈.又因为A∈c，B∈c.故AB.〔公理1〕因此直线a，b，c共面.4.点线共面问题31整理课件例2一条直线与三条平行直线都相交，证明这四条直线共面.：a//b//c，a∩l=A，b∩l=B,c∩l=C.求证：直线l与a，b，c共面.证明：∵a//b，∴直线a，b确定一个平面.〔推论3〕∵l∩a=A，

l

∩b=B，∴A∈

，B∈

.又A∈l，B∈l，故l

.同理，直线b，c确定一个平面

，且l

.∴平面

与

都过两相交直线b，l.又∵两相交直线确定一个唯一的平面.∴

与

重合.故l与a，b，c共面.证明两个平面重合是证明直线在平面内问题的重要方法.4.点线共面问题32整理课件练a，b，a∩b=A，P∈b，PQ//a.求证：PQ.4.点线共面问题33整理课件(1)证明的主要依据是公理3：如果两个平面相交，那么这两个平面的公共点共线；如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一平面的交点必在这两个平面的交线上.(2)证明的常用方法：①首先找出两个平面，再证这三个点都是这两个平面的公共点；②选择其中两点确定一条直线，然后证明另一个点也在其上〔一般地，这条直线看作某两个平面的交线，往证第三个点也是两个面的公共点〕；③证明三线共点问题：先证明两条直线交于一个点，再证明第三条直线经过这个点〔转化为证明点在线上的问题〕5.证明三点共线、三线共点的问题34整理课件例1三角形ABC的三条边AB、BC、AC与平面α分别交于P、Q、R.求证：P、Q、R共线.BAQRCP证明：同理Q、R也为公共点，所以P、Q、R共线.要证明各点共线，只要证明他们是两个相交平面的公共点.5.证明三点共线、三线共点的问题35整理课件P533空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和CB上的点，G，H分别是CD和AD上的点，且EH与FG相交于K.求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点.分析：EH∩FG=K，要证EH，BD，FG共点.即要证明B，D，K三点共线.而BD是面ABD和面CBD的交线.所以往证K∈面ABD∩面CBD.而显然，由EH∈面ABD，K∈EH，可得K∈面ABD.同理，由FG∈面CBD，K∈FG，可得K∈面CBD.5.证明三点共线、三线共点的问题36整理课件37整理课件小结：空间点、线、面的位置关系平面的根本性质〔四个公理〕证明直线平行的常用方法点线共面，三线共点，三点共线问题的证明作业：P515、6P53B组2、3P783、4、8精讲精练：P189、838整理课件“见中点找中点〞构造三角形的中位线是证明平行的常用方法．P784,5EFG(2)立体几何中求解平面的角度边长面积等问题时，注意重新画出图形，结合几何体找出边角关系并利用平面图形性质求解问题.back39整理课件例几何体中的截面问题〔两平面的交线问题〕精讲精练P24〔正方体的截面形状的研究〕back40整理课件正方体截面形状小结形状特殊情形三角形锐角三角形等腰三角形等边三角形四边形平行四边形长方形正方形梯形不可能是直角梯形五边形注意：该五边形必有两组分别平行的边，且不可能是正五边形六边形注意：该六边形必有分别平行的边，且可以是正六边形41整理课件例几何体中的截面问题〔两平面的交线问题〕正方体中，试画出过其中三条棱的中点P，Q，R的平面截得正方体的截面形状．back42整理课件正方体中，试画出过其中三条棱的中点P，Q，R的平面截得正方体的截面形状．S即交线为RS交AA1于中点GKGHST即交线为QT交CC1于中点HT例几何体中的截面问题〔两平面的交线问题〕back43整理课件KGHJ例几何体中的截面问题〔两平面的交线问题〕正方体中，试画出过其中三条棱的中点P，Q，R的平面截得正方体的截面形状．back44整理课件*画出四面体ABCD中过E,F,G三点的截面与四面体各面的交线.P即交线为GPDH