2022-2023学年湖南省涟源二中等名校高一下学期期末联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省涟源二中等名校2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟，2．考生作答时，请将〖答案〗答在答题卡上。选择题每小题选出〖答案〗后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的〖答案〗无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。3．本卷命题范围：必修第二册。一、选择题：本大题共8小题：每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若，则复数的共轭复数是（）A． B． C． D．2．在中，角所对的边分别是，则（）A． B． C． D．3．甲、乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，飞行目标落雷达发现的澵率为（）A．0.72 B．0.26 C．0.7 D．0.984．已知向量，则向量的夹角为（）A． B． C． D．5．已知某圆锥的侧面积为，该圆锥侧面的展开图是弧长为的扇形，则该圆锥的体积为（）A． B． C． D．6．在中，点是线段上任意一点，点满足，若存在实数和，使得，则（）A． B． C． D．7．在矩形中，，沿对角线将矩形折成一个直二面角，则点与点之间的距离为（）A． B． C． D．8．某校高二年级学生举行中国象棋比赛，经过初赛，最后确定甲、乙、丙三位同学进入决赛．决赛规则如下，累计负两场者被淘汰，比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，最后的胜者获得冠军，比赛结束．若经抽签，已知第一场甲，乙首先比赛，丙轮空，设每场比赛双方获胜的概率都为，则（）A．甲获得冠军的概率最大 B．甲与乙获得冠军的概率都比丙大C．丙获得冠军的概率最大 D．甲、乙、丙每人获得冠军的概率都一样大二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知复数，则（）A．是纯虚数 B．C． D．在复平面内，复数对应的点位于第三象限10．关于斜二测画法，下列说法正确的是（）A．在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行B．若一个多边形的面积为，则在对应直观图中的面积为C．一个梯形的直观图仍然是梯形D．在原图中互相垂直的两条直线在对应的直观图中不再垂直11．沙糖桔网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，则（）A．月收入的最大值为90万元，最小值为30万元B．这一年的总利润超过400万元C．这12个月利润的中位数与众数均为30D．7月份的利润最大12．在锐角三角形中，角所对的边分别为，若，则（）A． B． C． D．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量满足，则向量在上的投影向量为________．14．某同学5次上学逽中所花的时间（单位：分钟）分别为．已知这组数据的平均数为10，标准差为，则的值为________．15．在中，，其面积为，则________．16．如图，正四面体的体积为分别是棱、的中点，则________，多面体的外接球的体积为________．（第一空2分，第二空3分）四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．（10分）平面内给定三个向量．（1）求满足的实数m，n；（2）若．求实数k的值．18．（12分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到如下频率分布直方图．（1）已知样本中分数在的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数；（2）试估计测评成绩的75%分位数；（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．19．（12分）如图，直三棱柱中，．（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离．20．（12分）记的内角A，B，C的对边分别为，且．（1）求A的大小；（2）若的面积为，求的周长．21．（12分）甲、乙两位射手对同一目标各射击两次，且每人每次击中目标与否均互不影响．已知甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为．（1）求甲两次都没有击中目标的概率；（2）在四次射击中，求甲、乙恰好各击中一次目标的概率．22．（12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，且是的中点．（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的正切值；（3）求直线与平面所成角的正弦值．

——★参考答案★——一、选择题1．C〖解析〗，所以复数的共轭复数是．2．A〖解析〗由正弦定理得，．3．D〖解析〗由题设，飞行目标不被甲、乙发现的概率分别为0.1，0.2，所以飞行目标被雷达发现的概率为．4．A〖解析〗∵向量，∴，∵，又∵，∴．∴，∴．5．B〖解析〗设该圆锥的母线长为，底面圆的半径为，由已知条件可得：，解得故圆锥的高，所以该圆锥的体积为．6．D〖解析〗由题意，，且，而，所以，即，由已知，则．8．D〖解析〗过点在平面内作，垂足为点O，∵二面角的平面角为，∴平面平面，∴．在中，，则，∴，，，．8．C〖解析〗根据决赛规则，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，（1）甲获得冠军有两种情况：①共比赛四场结束，甲四连胜夺冠，概率为．②共比赛五场结束，并且甲获得冠军．则甲的胜、负、轮空结果共有四种情况：胜胜胜负胜，胜胜负空胜，胜负空胜胜，负空胜胜胜，概率分别为．因此，甲最终获得冠军的概率为．（2）乙获得冠军，与（1）同理，概率也为．（3）丙获得冠军，概率为，∴丙获得冠军的概率最大．二、选择题9．ABD〖解析〗．对于A，∵，∴为纯虚数，A正确；对于B，，B正确；对于C，，C错误；对于D，∵，∴对应的点为，位于第三象限，D正确．10．ABC〖解析〗根据题意，依次分析选项：对于A，根据斜二测画法知，直观图中平行性不会改变，A正确；对于B，由原图与直观图的关系，若一个多边形的面积为，则在对应直观图中的面积为，B正确；对于C，一个梯形的直观图仍然是梯形，C正确；对于D，空间几何体的直观图中，在原图中互相垂直的两条直线在对应的直观图中可以垂直，如长方体的长和高，D错误．11．ACD〖解析〗A：由图可知，月收人的最大值为90，最小值为30，故A正确；B：各个月的利润分别为20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，所以总利润为（万元），故B错误；C：这12个月利润的中位数与众数均为30，故C正确；D：7月份的利润最大，为60万元，故D正确．12．ABD〖解析〗因为，由正弦定理可得，所以，又为锐角三角形，所以，所以，正弦函数在上单调递增，所以，所以，A正确；因为为锐角三角形，所以，所以，所以，B正确；因为，所以，所以，所以，因为，所以，C错误；因为，由余弦定理可得，所以，所以，D正确．三、填空题13．〖解析〗由题知，在上的投影为，又，所以；所以，即在上的投影为；又，所以在上的投影向量为．14．〖解析〗平均数为，即①，方差为，即，由①②解得或，所以当时，；当．15．依题意，由余弦定理得，由正弦定理得．16．1〖解析〗如图，将正四面体嵌入到正方体中，则正四面体的体积为正方体体积的，设正方体的棱长为，则，所以是的中位线，所以．设的中点为，连接，因为，所以多面体的外接球的球心为，半径为1，外接球的体积为．四、解答题17．解：（1）因为，且，∴，∴解得．（2），．因为，∴，解得．18．解：（1）由频率分布直方图知，分数在的频率为，在样本中分数在的人数为（人），在样本中分数在的人数为95人，所以分数在的人数为（人），总体中分数小于40的人数为20人．（2）测试成绩从低到高排序，占人数的人分数在之间，所以估计测评成绩的分位数为．（3）由频率分布直方图知，分数不小于70分的人数共有60人，由已知男女各占30人，从而样本中男生有60人，女生有40人，故总体中男生与女生的比例为．19．（1）证明：∵为直三棱柱，∴．又平面平面，∴平面．（2）解：在中，，则的面积为．∵为直三棱柱，∴平面，∴，从而．取的中点，连接，则，∴的面积为．设点到平面的距离为，由于，∴，解得．故点到平面的距离为．20．解：（1）因为，由正弦定理得，所以．可得，因为，所以，所以，又因为，所以．（2）由，则，解得，又由余弦定理，可得，所以，可得，又因为，所以的周长为．21．解：（1）设甲第一次击中目标为事件，甲第二次击中目标为事件，则．因为事件“甲两次都没有击中目标”即为事件，所求的概率为．（2）设乙第一次击中目标为事件，乙第二次击中目标为事件，则．所以事件“四次射击中，甲、乙恰好各击中一次目标”表示为，所以所求的概率为．22．（1）证明：∵平面平面，．又四边形是矩形，∴，∵，∴平面．∵平面，∴．又是的中点，，∴，∵，所以平面．（2）解：∵底面是矩形，∴，∴异面直线与所成角即为直线与直线所成的角，由（1）得平面，∴平面．∵平面，∴，∴为直角三角形．又是的中点，，∴．∴在中，即为异面直线与所成角，故，∴异面直线与所成角的正切值为．（3）解：取中点为，连接，在中，分别为线段的中点，故，∵平面，∴平面，∴．由（1）得平面，∵平面，∴．∵，∴，又，∴．∴．设点到平面的距离为，直线与平面所成角为，则，解得：，故，所以直线与平面所成角的正弦值为．湖南省涟源二中等名校2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟，2．考生作答时，请将〖答案〗答在答题卡上。选择题每小题选出〖答案〗后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的〖答案〗无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。3．本卷命题范围：必修第二册。一、选择题：本大题共8小题：每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若，则复数的共轭复数是（）A． B． C． D．2．在中，角所对的边分别是，则（）A． B． C． D．3．甲、乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，飞行目标落雷达发现的澵率为（）A．0.72 B．0.26 C．0.7 D．0.984．已知向量，则向量的夹角为（）A． B． C． D．5．已知某圆锥的侧面积为，该圆锥侧面的展开图是弧长为的扇形，则该圆锥的体积为（）A． B． C． D．6．在中，点是线段上任意一点，点满足，若存在实数和，使得，则（）A． B． C． D．7．在矩形中，，沿对角线将矩形折成一个直二面角，则点与点之间的距离为（）A． B． C． D．8．某校高二年级学生举行中国象棋比赛，经过初赛，最后确定甲、乙、丙三位同学进入决赛．决赛规则如下，累计负两场者被淘汰，比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，最后的胜者获得冠军，比赛结束．若经抽签，已知第一场甲，乙首先比赛，丙轮空，设每场比赛双方获胜的概率都为，则（）A．甲获得冠军的概率最大 B．甲与乙获得冠军的概率都比丙大C．丙获得冠军的概率最大 D．甲、乙、丙每人获得冠军的概率都一样大二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知复数，则（）A．是纯虚数 B．C． D．在复平面内，复数对应的点位于第三象限10．关于斜二测画法，下列说法正确的是（）A．在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行B．若一个多边形的面积为，则在对应直观图中的面积为C．一个梯形的直观图仍然是梯形D．在原图中互相垂直的两条直线在对应的直观图中不再垂直11．沙糖桔网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，则（）A．月收入的最大值为90万元，最小值为30万元B．这一年的总利润超过400万元C．这12个月利润的中位数与众数均为30D．7月份的利润最大12．在锐角三角形中，角所对的边分别为，若，则（）A． B． C． D．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量满足，则向量在上的投影向量为________．14．某同学5次上学逽中所花的时间（单位：分钟）分别为．已知这组数据的平均数为10，标准差为，则的值为________．15．在中，，其面积为，则________．16．如图，正四面体的体积为分别是棱、的中点，则________，多面体的外接球的体积为________．（第一空2分，第二空3分）四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．（10分）平面内给定三个向量．（1）求满足的实数m，n；（2）若．求实数k的值．18．（12分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到如下频率分布直方图．（1）已知样本中分数在的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数；（2）试估计测评成绩的75%分位数；（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．19．（12分）如图，直三棱柱中，．（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离．20．（12分）记的内角A，B，C的对边分别为，且．（1）求A的大小；（2）若的面积为，求的周长．21．（12分）甲、乙两位射手对同一目标各射击两次，且每人每次击中目标与否均互不影响．已知甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为．（1）求甲两次都没有击中目标的概率；（2）在四次射击中，求甲、乙恰好各击中一次目标的概率．22．（12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，且是的中点．（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的正切值；（3）求直线与平面所成角的正弦值．

——★参考答案★——一、选择题1．C〖解析〗，所以复数的共轭复数是．2．A〖解析〗由正弦定理得，．3．D〖解析〗由题设，飞行目标不被甲、乙发现的概率分别为0.1，0.2，所以飞行目标被雷达发现的概率为．4．A〖解析〗∵向量，∴，∵，又∵，∴．∴，∴．5．B〖解析〗设该圆锥的母线长为，底面圆的半径为，由已知条件可得：，解得故圆锥的高，所以该圆锥的体积为．6．D〖解析〗由题意，，且，而，所以，即，由已知，则．8．D〖解析〗过点在平面内作，垂足为点O，∵二面角的平面角为，∴平面平面，∴．在中，，则，∴，，，．8．C〖解析〗根据决赛规则，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，（1）甲获得冠军有两种情况：①共比赛四场结束，甲四连胜夺冠，概率为．②共比赛五场结束，并且甲获得冠军．则甲的胜、负、轮空结果共有四种情况：胜胜胜负胜，胜胜负空胜，胜负空胜胜，负空胜胜胜，概率分别为．因此，甲最终获得冠军的概率为．（2）乙获得冠军，与（1）同理，概率也为．（3）丙获得冠军，概率为，∴丙获得冠军的概率最大．二、选择题9．ABD〖解析〗．对于A，∵，∴为纯虚数，A正确；对于B，，B正确；对于C，，C错误；对于D，∵，∴对应的点为，位于第三象限，D正确．10．ABC〖解析〗根据题意，依次分析选项：对于A，根据斜二测画法知，直观图中平行性不会改变，A正确；对于B，由原图与直观图的关系，若一个多边形的面积为，则在对应直观图中的面积为，B正确；对于C，一个梯形的直观图仍然是梯形，C正确；对于D，空间几何体的直观图中，在原图中互相垂直的两条直线在对应的直观图中可以垂直，如长方体的长和高，D错误．11．ACD〖解析〗A：由图可知，月收人的最大值为90，最小值为30，故A正确；B：各个月的利润分别为20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，所以总利润为（万元），故B错误；C：这12个月利润的中位数与众数均为30，故C正确；D：7月份的利润最大，为60万元，故D正确．12．ABD〖解析〗因为，由正弦定理可得，所以，又为锐角三角形，所以，所以，正弦函数在上单调递增，所以，所以，A正确；因为为锐角三角形，所以，所以，所以，B正确；因为，所以，所以，所以，因为，所以，C错误；因为，由余弦定理可得，所以，所以，D正确．三、填空题13．〖解析〗由题知，在上的投影为，又，所以；所以，即在上的投影为；又，所以在上的投影向量为．14．〖解析〗平均数为，即①，方差为，即，由①②解得或，所以当时，；当．15．依题意，由余弦定理得，由正弦定理得．16．1〖解析〗如图，将正四面体嵌入到正方体中，则正四面体的体积为正方体体积的，设正方体的棱长为，则，所以是的中位线，所以．设的中点为，连接，因为，所以多面体的外接球的球心为，半径