2022-2023学年湖北省武汉市部分学校联合体高二下学期期末联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省武汉市部分学校联合体2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题试卷满分：150分注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出〖答案〗后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.一、单选题：本大题共8小题.每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.1.设等差数列前n项和为，若，，则等差数列的公差为（）A.1 B.2 C.4 D.8〖答案〗C〖解析〗设公差为，由已知可得，，解得.故选：C.2.的展开式中的系数为15，则（）A.7 B.6 C.5 D.4〖答案〗B〖解析〗根据二项式定理的展开式通项得，，所以当时，因为的展开式中的系数为15，所以，解得.故选：B.3.设，则的导函数（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由已知可得，.故选：A.4.某中学高三（1）班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得：数学成绩，则估计该班数学得分大于120分的学生人数为（）（参考数据：）A.16 B.10 C.8 D.2〖答案〗C〖解析〗因为数学成绩，所以，因此由所以有，估计该班数学得分大于120分的学生人数为，故选：C.5.算盘是我国一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件A=“表示的四位数大于5500”，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，每个珠子有两种情况：1和5，共有种情况，其中大于的有、、、共4种.故选：B.6.有七名同学排成一排,其中甲,乙两人不能在一起,丙,丁两人要排在一起的排法数是（）A.960 B.720 C.480 D.240〖答案〗A〖解析〗第一步，先把丙,丁两人绑定，有种方法；第二步，把绑定的二人与无要求的三人全排列，有种方法，这时形成5个空；第三步，把甲,乙两人，插入5个空中，有种方法，由分步计算原理可知：有七名同学排成一排,其中甲,乙两人不能在一起,丙,丁两人要排在一起的排法数是，故本题选A．7.已知，，，则（）．A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗,即，解得.故选：D.8.2022年7月24日14时22分，搭载我国首个科学实验舱问天实验舱的长征五号B遥三运载火箭成功发射，令世界瞩目．为弘扬航天精神，M大学举办了“逐梦星辰大海——航天杯”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛，初赛通过后进入复赛，复赛通过后颁发相应荣誉证书和奖品．为鼓励学生积极参加，学校后勤部给予一定的奖励：只参加了初赛的学生奖励50元的奖品，参加了复赛的学生再奖励100元的奖品．现有A，B，C三名学生报名参加了这次竞赛，已知A通过初赛、复赛的概率分别为，；B通过初赛、复赛的概率分别为，，C通过初赛和复赛的概率与B完全相同．记这三人获得后勤部的奖品总额为X元，则X的数学期望为（）A.300元 B.元 C.350元 D.元〖答案〗B〖解析〗由题知X的所有可能取值为150，250，350，450，，，，，所以数学期望（元）．故选：B．二、多选题：本大题共4小题.每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有错选的得0分，部分选对得2分.9.研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变化等环境问题.减少硶排放具有深远的意义.我国明确提出节能减排的目标与各项措施、其中新能源汽车逐步取代燃油车就是其中措施之一.在这样的大环境下，我国新能源汽车逐浙火爆起来.下表是2022年我国某市1∼5月份新能源汽车销量（单位：千辆）与月份的统计数据.月份12345销量55m68现已求得与的经验回归方程为，则（）A.B.与正相关C.与的样本相关系数一定小于1D.由已知数据可以确定，7月份该市新能源汽车销量为0.84万辆〖答案〗ABC〖解析〗由，，代入中有：，故A正确；由线性回归系数，所以与正相关，故B正确；由样本点不全在线性回归方程上，则与的样本相关系数一定小于1，故C正确，将代入线性回归方程中得：，故7月份该市新能源汽车销量约为0.84万辆，故D不正确，故选：ABC.10.已知，则（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗对于A项，令，可得，故A项正确；对于B项，展开式的通项为，.由可得，所以展开式含的项为.由可得，所以展开式含的项为.所以，展开式中含的项为，所以，，故B项错误；对于C项，令，可得.又，两式相加可得，，所以，故C项错误；对于D项，由C可知，又，所以，故D项正确.故选：AD.11.在公比为q的正项等比数列中，，前n项和为，前n项积为，则下列结论正确的是（）A.数列为递减数列 B.数列为递增数列C.当或5时，最大 D.〖答案〗ACD〖解析〗对于A项，由已知可得，，，所以，所以数列为递减数列，故A项正确；对于B项，由已知可得，，所以，故B项错误；对于C项，由已知可得，，有；时，；时，有.所以，当或5时，最大，故C项正确；对于D项，由已知可得，，所以，所以，，故D项正确.故选：ACD.12.若关于x的方程有3个不等的实根，则实数a的取值可以是（）A. B. C.1 D.3〖答案〗ABD〖解析〗由已知可得，，解得，或.要使方程有3个不等的实根，则只需以及这两个方程共有3个不等的实数解.构造函数，因为方程有3个不等的实根，所以有3个解.当时，有，解可得，.由可得，，所以在上单调递增；由可得，，所以在上单调递减，且在上恒成立.所以，在处有极大值；当时，有上恒成立，所以在上单调递减.作出函数的图象：由图象可知，当时，有3个解，即有3个不等的实数解；当时，有2个解，即有2个不等的实数解；当或时，有1个解，即有1个实数解；当时，无解，即没有实数解.且由图象可得出，当时，不同值的方程的解均不相同.所以，有3个不等的实数解.要使以及这两个方程总共有3个不等的实数解，则应有或，即或.故选：ABD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.从个男生个女生中挑选人参加智力竞赛，要求既有男生又有女生的选法共有__________种．（用数字作答）〖答案〗〖解析〗这人中既有男生又有女生，包括男女和男女两种情况，若人中有男女，则不同的选法共有种；若人中男女，则不同的选法共有种，根据分类加法计数原理，既有男生又有女生的选法共有种，故〖答案〗为：．14.过点作曲线的切线，则该切线的斜率为__________.〖答案〗e〖解析〗由已知可得，，点不在曲线上.设切点为，根据导数的几何意义可知，曲线在点处切线的斜率.所以有，解得.故〖答案〗为：.15.将个数排成n行n列的数阵，如图所示，其中表示第i行第j列上的数，该数阵第一列的n个数从上到下构成以2为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以2为公比的等比数列，若，，则__________.〖答案〗〖解析〗因为该数阵第一列的n个数从上到下构成以2为公差的等差数列，，所以，因为该数阵每一行的n个数从左到右构成以2为公比的等比数列，所以，故〖答案〗为：.16.已知三棱锥的顶点处有一质点M，点M每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每一个顶点移动的概率都相同，从一个顶点沿一条棱移动到另一个顶点称为移动一次.若质点M的初始位置在点A处，则点M移动2次后仍然在底面ABC上的概率为__________，点M移动n次后仍然在底面ABC上的概率为__________.〖答案〗〖解析〗（1）由已知可得，质点M移动1次后，在底面ABC上的概率为；（2）①若质点移动1次后，在点或点，则第2次移动后仍然在底面ABC上的概率为；②若质点移动1次后，在点，则第2次移动后仍然在底面ABC上的概率为.所以，点M移动2次后仍然在底面ABC上的概率为.（3）设点M移动n次后仍然在底面ABC上的概率为，.①若质点移动次后仍然在底面ABC上，则第n次移动后仍然在底面ABC上的概率为；②若质点移动次后在点，则第n次移动后仍然在底面ABC上的概率为.所以，，所以有.又，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以有，，所以，.故〖答案〗为：；.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.数字人民币是由中国人民银行发行的数字形式的法定货币，由指定运营机构参与运营并向公众兑换，与纸钞和硬币等价．为了进一步了解普通大众对数字人民币的认知情况，某机构进行了一次问卷调查，统计结果如下：小学及以下初中高中大学专科大学本科硕士研究生及以上不了解数字人民币35358055646了解数字人民币406015011014025（1）如果将高中及以下学历称为“低学历”，大学专科及以上学历称为“高学历”，根据所给数据，完成下面的列联表；低学历高学历合计不了解数字人民币了解数字人民币合计800（2）根据（1）中所得列联表，判断是否有的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关？附：，其中．0.0500.0100.001K3.8416.63510.828解：（1）完成的列联表如下：低学历高学历合计不了解数字人民币150125275了解数字人民币250275525合计400400800（2）根据列联表得：，故没有的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关．18.在①，②，且.这两个条件中任选一个补充在下面问题的横线上，并解答.已知数列的前项和为，且满足__________.（1）求数列的通项；（2）求数列前n项和.解：（1）若选①：当时，；当时，，，上式相减得，所以.显然满足，所以，.若选②：当时，，又，所以.当时，，，两式相减得，即，整理可得.又满足该式，所以，，所以数列成等比数列，所以，.（2）令，，两式相减得，所以，.19.已知函数，.（1）当时，求的极值；（2）当时，讨论的单调性.解：（1）当，，定义域，则.由可得，.当时，有，所以在上单调递减；当时，有，所以在上单调递增.所以，的极小值为，无极大值.（2）由已知可得定义域为，且.由可得，或.=1\*GB3①当，即时，由可得，或，所以在上单调递增，在上单调递增；由可得，，所以在上单调递减；②当，即时，，所以在上单调递增；③当，即时，由可得，或，所以在上单调递增，在上单调递增；由可得，，所以在上单调递减.综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.20.某中学篮球队根据以往比赛统计：甲球员能够胜任前锋，中锋，后卫三个位置，且出场概率分别为0.1，0.5，0.4.在甲球员出任前锋，中锋，后卫的条件下，篮球队输球的概率依次为0.2，0.2，0.7.（1）当甲球员参加比赛时，求该篮球队某场比赛输球的概率；（2）当甲球员参加比赛时，在该篮球队输了某场比赛的条件下，求甲球员在这一场出任中锋的概率；（3）如果你是教练员，应用概率统计的有关知识该如何使用甲球员？解：（1）设表示“甲球员出任前锋”，表示“甲球员出任中锋”，表示“甲球员出任后卫”，则，设B表示“球队输掉某场比赛”，则，，，，，所以.所以当甲球员参加比赛时，该球队某场比赛输球的概率是0.4.（2）由（1）知，球队输了某场比赛的条件下，甲球员在这一场出任中锋的概率.（3）由（1）知，已知球队输了某场比赛的条件下，甲球员在这场出任前锋的概率；甲球员在这场出任后卫的概率；由（2）知，甲球员在这一场出任中锋的概率.所以有，，所以应该多让甲球员出任前锋来增加赢球场次.21.设数列前n项和为，，，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列前n项和为，问是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由.解：（1）由已知可得，①，当时，②，①-②得，.因为，所以.又，所以，，，…，，…是以为首项，4为公差的等差数列，所以；当时，有，，所以，所以，，，…，，…是以为首项，4为公差的等差数列，所以.所以，.（2）由（1）可得，.则当n为偶数时，，显然单调递减，所以有；当n为奇数时，.又，所以存在最大值，且最大值为.22.已知函数，.（1）当，时，证明：；（2）若，求a的取值范围.（1）证明：当时，，，且.令，则，所以，在上为增函数，所以，即在上恒成立，所以，在上为增函数.又，，所以，即.（2）解：由已知可得，，所以，为偶函数.所以，要使恒成立，只需满足时，即可.，，令，，则.①当时，，所以在为增函数，，所以有，即在上为增函数，满足条件；②当时，显然不满足条件；③当时，由，可得，显然存使，当时，，所以在上为减函数，所以，即，所以，在上单调递减，所以，不满足条件.综上所述，a的取值范围是.湖北省武汉市部分学校联合体2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题试卷满分：150分注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出〖答案〗后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.一、单选题：本大题共8小题.每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.1.设等差数列前n项和为，若，，则等差数列的公差为（）A.1 B.2 C.4 D.8〖答案〗C〖解析〗设公差为，由已知可得，，解得.故选：C.2.的展开式中的系数为15，则（）A.7 B.6 C.5 D.4〖答案〗B〖解析〗根据二项式定理的展开式通项得，，所以当时，因为的展开式中的系数为15，所以，解得.故选：B.3.设，则的导函数（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由已知可得，.故选：A.4.某中学高三（1）班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得：数学成绩，则估计该班数学得分大于120分的学生人数为（）（参考数据：）A.16 B.10 C.8 D.2〖答案〗C〖解析〗因为数学成绩，所以，因此由所以有，估计该班数学得分大于120分的学生人数为，故选：C.5.算盘是我国一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件A=“表示的四位数大于5500”，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，每个珠子有两种情况：1和5，共有种情况，其中大于的有、、、共4种.故选：B.6.有七名同学排成一排,其中甲,乙两人不能在一起,丙,丁两人要排在一起的排法数是（）A.960 B.720 C.480 D.240〖答案〗A〖解析〗第一步，先把丙,丁两人绑定，有种方法；第二步，把绑定的二人与无要求的三人全排列，有种方法，这时形成5个空；第三步，把甲,乙两人，插入5个空中，有种方法，由分步计算原理可知：有七名同学排成一排,其中甲,乙两人不能在一起,丙,丁两人要排在一起的排法数是，故本题选A．7.已知，，，则（）．A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗,即，解得.故选：D.8.2022年7月24日14时22分，搭载我国首个科学实验舱问天实验舱的长征五号B遥三运载火箭成功发射，令世界瞩目．为弘扬航天精神，M大学举办了“逐梦星辰大海——航天杯”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛，初赛通过后进入复赛，复赛通过后颁发相应荣誉证书和奖品．为鼓励学生积极参加，学校后勤部给予一定的奖励：只参加了初赛的学生奖励50元的奖品，参加了复赛的学生再奖励100元的奖品．现有A，B，C三名学生报名参加了这次竞赛，已知A通过初赛、复赛的概率分别为，；B通过初赛、复赛的概率分别为，，C通过初赛和复赛的概率与B完全相同．记这三人获得后勤部的奖品总额为X元，则X的数学期望为（）A.300元 B.元 C.350元 D.元〖答案〗B〖解析〗由题知X的所有可能取值为150，250，350，450，，，，，所以数学期望（元）．故选：B．二、多选题：本大题共4小题.每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有错选的得0分，部分选对得2分.9.研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变化等环境问题.减少硶排放具有深远的意义.我国明确提出节能减排的目标与各项措施、其中新能源汽车逐步取代燃油车就是其中措施之一.在这样的大环境下，我国新能源汽车逐浙火爆起来.下表是2022年我国某市1∼5月份新能源汽车销量（单位：千辆）与月份的统计数据.月份12345销量55m68现已求得与的经验回归方程为，则（）A.B.与正相关C.与的样本相关系数一定小于1D.由已知数据可以确定，7月份该市新能源汽车销量为0.84万辆〖答案〗ABC〖解析〗由，，代入中有：，故A正确；由线性回归系数，所以与正相关，故B正确；由样本点不全在线性回归方程上，则与的样本相关系数一定小于1，故C正确，将代入线性回归方程中得：，故7月份该市新能源汽车销量约为0.84万辆，故D不正确，故选：ABC.10.已知，则（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗对于A项，令，可得，故A项正确；对于B项，展开式的通项为，.由可得，所以展开式含的项为.由可得，所以展开式含的项为.所以，展开式中含的项为，所以，，故B项错误；对于C项，令，可得.又，两式相加可得，，所以，故C项错误；对于D项，由C可知，又，所以，故D项正确.故选：AD.11.在公比为q的正项等比数列中，，前n项和为，前n项积为，则下列结论正确的是（）A.数列为递减数列 B.数列为递增数列C.当或5时，最大 D.〖答案〗ACD〖解析〗对于A项，由已知可得，，，所以，所以数列为递减数列，故A项正确；对于B项，由已知可得，，所以，故B项错误；对于C项，由已知可得，，有；时，；时，有.所以，当或5时，最大，故C项正确；对于D项，由已知可得，，所以，所以，，故D项正确.故选：ACD.12.若关于x的方程有3个不等的实根，则实数a的取值可以是（）A. B. C.1 D.3〖答案〗ABD〖解析〗由已知可得，，解得，或.要使方程有3个不等的实根，则只需以及这两个方程共有3个不等的实数解.构造函数，因为方程有3个不等的实根，所以有3个解.当时，有，解可得，.由可得，，所以在上单调递增；由可得，，所以在上单调递减，且在上恒成立.所以，在处有极大值；当时，有上恒成立，所以在上单调递减.作出函数的图象：由图象可知，当时，有3个解，即有3个不等的实数解；当时，有2个解，即有2个不等的实数解；当或时，有1个解，即有1个实数解；当时，无解，即没有实数解.且由图象可得出，当时，不同值的方程的解均不相同.所以，有3个不等的实数解.要使以及这两个方程总共有3个不等的实数解，则应有或，即或.故选：ABD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.从个男生个女生中挑选人参加智力竞赛，要求既有男生又有女生的选法共有__________种．（用数字作答）〖答案〗〖解析〗这人中既有男生又有女生，包括男女和男女两种情况，若人中有男女，则不同的选法共有种；若人中男女，则不同的选法共有种，根据分类加法计数原理，既有男生又有女生的选法共有种，故〖答案〗为：．14.过点作曲线的切线，则该切线的斜率为__________.〖答案〗e〖解析〗由已知可得，，点不在曲线上.设切点为，根据导数的几何意义可知，曲线在点处切线的斜率.所以有，解得.故〖答案〗为：.15.将个数排成n行n列的数阵，如图所示，其中表示第i行第j列上的数，该数阵第一列的n个数从上到下构成以2为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以2为公比的等比数列，若，，则__________.〖答案〗〖解析〗因为该数阵第一列的n个数从上到下构成以2为公差的等差数列，，所以，因为该数阵每一行的n个数从左到右构成以2为公比的等比数列，所以，故〖答案〗为：.16.已知三棱锥的顶点处有一质点M，点M每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每一个顶点移动的概率都相同，从一个顶点沿一条棱移动到另一个顶点称为移动一次.若质点M的初始位置在点A处，则点M移动2次后仍然在底面ABC上的概率为__________，点M移动n次后仍然在底面ABC上的概率为__________.〖答案〗〖解析〗（1）由已知可得，质点M移动1次后，在底面ABC上的概率为；（2）①若质点移动1次后，在点或点，则第2次移动后仍然在底面ABC上的概率为；②若质点移动1次后，在点，则第2次移动后仍然在底面ABC上的概率为.所以，点M移动2次后仍然在底面ABC上的概率为.（3）设点M移动n次后仍然在底面ABC上的概率为，.①若质点移动次后仍然在底面ABC上，则第n次移动后仍然在底面ABC上的概率为；②若质点移动次后在点，则第n次移动后仍然在底面ABC上的概率为.所以，，所以有.又，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以有，，所以，.故〖答案〗为：；.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.数字人民币是由中国人民银行发行的数字形式的法定货币，由指定运营机构参与运营并向公众兑换，与纸钞和硬币等价．为了进一步了解普通大众对数字人民币的认知情况，某机构进行了一次问卷调查，统计结果如下：小学及以下初中高中大学专科大学本科硕士研究生及以上不了解数字人民币35358055646了解数字人民币406015011014025（1）如果将高中及以下学历称为“低学历”，大学专科及以上学历称为“高学历”，根据所给数据，完成下面的列联表；低学历高学历合计不了解数字人民币了解数字人民币合计800（2）根据（1）中所得列联表，判断是否有的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关？附：，其中．0.0500.0100.001K3.8416.63510.828解：（1）完成的列联表如下：低学历高学历合计不了解数字人民币150125275了解数字人民币250275525合计400400800（2）根据列联表得：，故没有的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关．18.在①，②，且.这两个条件中任选一个补充在下面问题的横线上，并解答.已知数列的前项和为，且满足__________.（1）求数列的通项；（2）求数列前n项和.解：（1）若选①：当时，；当时，，，上式相减得，所以.显然满足，所以，.若选②：当时，，又，所以.当时，，，两式相减得，即，整理可得.又满足该式，所以，，所以数列成等比数列，所以，.（2）令，，两式相减得，所以，.19.已知函数，.（1）当时，求的极值；（2）当时，讨论的单调性.解：（1）当，，定义域，则.由可得，.当时，有，所以在上单调递减；当时，