《测控仪器设计》(第2章)

第二章仪器精度理论

意义：精度分析和精度设计是仪器设计的重要内涵

精度分析目的：找出产生误差的根源和规律；分析误差对仪器精度的影响，以便合理地选择方案、设计结构、确定参数和设置必要的补偿环节。

精度设计：是仪器设计的成败关键。内容：仪器误差来源与特性误差计算与评定误差传递及相互作用的规律误差合成与分配原则和方法对仪器精度的测试过程第二章仪器精度理论第一节仪器精度理论中的若干基本概念第二节仪器误差的来源与性质第三节仪器误差的分析第四节仪器误差的综合第五节仪器误差的分析合成举例第六节仪器精度设计第一节仪器精度理论中的若干基本概念

一、误差(一）定义误差特性客观存在性不确定性未知性精度表达理论真值约定真值相对真值

国际公认的量值，(长度、温度等)（如零件的名义尺寸）（如标准仪器的测定值）（二）误差的分类

按误差的数学特征

随机误差数值的大小和方向没有一定的规律但服从统计规律。比较容易发现系统误差

大小和方向在测量过程中不变或按照一定规律变化。不易发现粗大误差

疏忽或失误按被测参数的时间特性

静态参数误差动态参数误差按误差间的关系

独立误差：相关系数为“零”非独立误差：相关系数非“零”

（三）误差的表示方法

特点：有量纲、能反映出误差的大小和方向。2.相对误差特点：无量纲，反映测量工作的精细程度1.绝对误差：被测量测得值与其真值(或相对真值)之差

1）正确度

它是系统误差大小的反映，表征测量结果稳定地接近真值的程度。2）精密度

它是随机误差大小的反映，表征测量结果的一致性或误差的分散性。

3）准确度

它是系统误差和随机误差两者的综合的反映。表征测量结果与真值之间的一致程度。二、精度

图2—1仪器精度精度是误差的反义词，具体含义有三、仪器的静态特性与动态特性（一）仪器的静态特性与线性度示值范围Ao线性静态特性：希望仪器的输入与输出为一种规定的线性关系线性度

：最大偏差与标准输出范围A的百分比线性度非线性误差

：仪器实际特性与规定特性不符静态特性

:当输入量不随时间变化或变化十分缓慢时，输出与输入量之间的关系1）示值误差在规定的仪器使用条件下，仪器的显示值与被测量真值之差。表征仪器测量结果的准确性。2）重复性与稳定性

重复性一般是指短时间（较短测量周期）内仪器示值的分散程度，而稳定性是考核仪器在较长时间（几个小时甚至几天时间）内仪器示值的稳定程度，表征仪器的精密度。稳定性好不仅表明仪器的精密度高，而且也在一定程度上表明仪器的可靠性好。3）灵敏度与分辨力

表征仪器对被测量变化的反映能力。高灵敏度高对应高分辨力，但是高灵敏度必须以仪器能有效辨别的最小值为前提，盲目的追求高灵敏度与小分辨力值不仅会加大仪器成本而且会使示值范围减小、示值重复性恶化。

分辨力和精密度、正确度的关系

A、要提高仪器的测量精密度，必须相应地提高分辨力；

B、提高仪器的分辨力能提高测量的正确度，但有时又是完全独立不相关的；

C、仪器的分辨力低，一定达不到高精度，但分辨力高，也不一定达到高精度。

D、仪器的精度应该有相应的分辨力作为保障。（二）仪器的静态精度常用指标在动态仪器中，必须考虑弹性、惯性和阻尼对仪器特性的影响，仪器输出信号不仅与输入信号有关，而且还与输入信号变化的速度、加速度等有关。由于仪器的基本功能在于输出不失真地再现输入，因此用线性定常系数微分方程来描述仪器的动态特性。（二）仪器的动态特性与精度指标1．仪器的动态特性

当输入信号是瞬态值或随时间的变化时，仪器的输出信号(响应)与输入信号(激励)之间的关系称为仪器动态特性。根据分析方法的不同，有不同描述方式：3)频率特性：在频率域中描述动态仪器对变化激励信号的响应能力，在正弦信号的作用下的响应，与系统结构有关，与输入信号随时间变化的规律无关。1)传递函数：是动态仪器的数学模型，在复域中描述，与系统结构有关，与输入信号随时间变化的规律无关2)脉冲响应函数：描述动态仪器的瞬态特性。在单位脉冲信号激励下响应。由于L

，则L2.动态偏移误差和动态重复性误差

如果已知仪器的数学模型，可以由传递函数与输入信号拉氏变换的乘积的拉氏反变换获得对特定激励的响应。也可用实验测试的方法得到输出信号的样本集合，将均值与被测量信号之差作为测量仪器的动态偏移误差，即

图2—3a、b分别表示一阶和二阶动态仪器的单位阶跃响应的动态偏移误差。1)动态偏移误差

输出信号与输入信号之差

反映仪器的瞬态响应品质。

一阶系统二阶系统图2—3仪器动态偏移误差2)动态重复性误差

在规定的使用条件下，用同一动态输入信号进行多次重复激励，所测得的各个输出信号在任意时刻量值的变化范围，通常用三倍或二倍的动态输出标准差来表示：动态偏移误差和动态重复性误差在时域表征动态测量仪器的瞬态和稳态响应精度，分别代表了动态仪器响应的准确程度和精密程度

。是多次重复测量所得各次输出样本的序号；是在一次输出样本上作多次采样的采样点序号。

当输出信号是确定性信号与随机的组合时，动态输出的标准差可用下式估计，即3.理想仪器与频率响应精度理想仪器在稳态条件下，输出信号能够不失真地再现输入信号，即

幅频特性频域特性图2—4理想动态仪器的幅频与频域特性理想仪器频率特性0一阶仪器幅频特性0二阶仪器幅频特性在频率范围之内与理想仪器相比所产生的最大幅值误差与相位误差，就代表了仪器的频率响应精度。

oo实际仪器的频率特性当频率响应范围为时，最大幅值误差为。当输入信号的频率为时，由下图可知仪器对该频率信号的测量结果幅值误差为第二节仪器误差的来源与性质

设计生产使用原理误差制造误差运行误差

仪器设计中采用了近似的理论、近似的数学模型、近似的机构和近似的测量控制电路所引起的误差。它只与仪器的设计有关，而与制造和使用无关。具体情况有：一、原理误差（一）线性化误差：将仪器的实际非线性特性近似地视为线性，采用线性的技术处理措施来处理非线性的仪器特性，由此而引起原理误差。激光扫描测径仪

1—激光器2、3—反射镜4—透镜5—多面棱镜6—透镜7—被测工件8—透镜9—光电二极管激光扫描光束在距透镜光轴为±y

的位置与多面棱体旋转角度之间的关系：在与光轴垂直方向上的扫描线速度为设计中近似地认为在与光轴垂直方向上激光光束的扫描线速度是均匀的，即用均匀的脉冲计数实现测量仪器的测量原理是根据光线被被测直径遮挡的时间段内均匀填充脉冲的计数来表征被测直径，由于，这就使得该仪器的测得值总是小于被测直径的真值，从而引起原理误差。a)d)b)e)f)c)g)i)h)将测量机构中非线性的工作特性视为线性，采用均匀的（线性的、固定的）后续处理方法，造成线性信号处理方式与非线工作特性之间矛盾，其是产生原理误差的根本原因。一旦设计完成，此误差也就确定。sΦa摆杆测杆测杆位移与摆杆转角的关系是非线性的，但将其视为线性关系时就引起了原理误差：正弦机构（二）简化误差将实际机构的作用方程进行简化进而产生原理误差。如函数的机构中，变量u起主要作用，而v的变化对函数影响不大，为简化设计，取u=a，即用代替由此引起原理误差：（三）量化误差近似数据处理方法而引起的原理误差。激光干涉测量位移时，位移量L为脉冲当量q与脉冲个数n的乘积L

=nq

激光波长λ＝0.63281984um，经光学和电学的64倍细分之后，则一个脉冲当量q=0.00988781,用该数乘以脉冲个数进行读数不方便，通常以分辨率为0.1um，0.01um计比较方便，由此产生原理误差。模/数转换过程中的量化误差输出4Q2Q6Q2Q4Q6Q输入o输入误差Qo

图2—7量化误差

a)量化过程b)量化误差若模/数转换有效位为n，输入模拟量的变化范围为V0

，通常用二进制最小单位（量子）去度量一个实际的模拟量，当前输入量在时，模/数转换结果为，由此产生量化误差，不会超过一个。（四）机械结构的误差凸轮

为了减小磨损，常需将动杆的端头设计成半径为r的圆球头，将引起原理误差：（五）测量与控制电路的误差

采样

用一系列时间离散序列来描述连续的模拟信号。a)d)b)e)f)c)g)i)h)当脉冲采样频率并且采样脉冲为理想脉冲时，采样信号能够正确反映连续信号，因为采样信号频谱的主瓣与连续信号频谱一致。采样脉冲有一定宽度时，采样信号不能够正确反映连续信号，因为采样信号频谱的主瓣与连续信号频谱不一致，有失真，进而引起误差。理想采样脉冲下采样过程的频域分析实际采样脉冲下采样过程的频域分析（六）总结（1）采用近似的理论和原理进行设计是为了简化设计、简化制造工艺、简化算法和降低成本。（2）原理误差属于系统误差，使仪器的准确度下降，应该设法减小或消除。（3）方法：采用更为精确的、符合实际的理论和公式进行设计和参数计算。研究原理误差的规律，采取技术措施避免原理误差。采用零位比较和差动比较测量原理

利用“零位”的唯一性减小仪器的系统性干扰；差动信号具有共模抑制能力，利用其提高仪器的灵敏度。

采用误差补偿措施A误差修正方法例如激光扫描测径仪

B综合调整方法例如

机械式测微仪设计中近似地认为在与光轴垂直方向上激光光束的扫描线速度是均匀的，采用均匀的填充脉冲。

填充脉冲频率为M＝2.5MHz，则脉冲当量：若设测量钢丝直经为d0，实际所用时间在t时间内填充的脉冲数为激光扫描测径仪仪器指示的被测直经引起的原理误差可见：该原理误差与被测直径有明确的函数关系，在实际测量中，用仪器指示的直径算出原理误差，通过误差修正来补偿原理误差。机械式测微仪测杆位移与杠杆摆角之间的传动特性表盘均匀刻度，即仪器的刻度特性是在量程处产生原理误差最大值s综合调整通过调整

的大小来改变仪器的特性，进而减小原理误差。当

由

时，仪器的传动特性如2，在处原理误差为“零”最大原理误差发生在处。当

由

，仪器的传动特性如3,在处原理误差为“零”最大原理误差发生在和处。当由时，仪器的传动特性如1，最大原理误差发生在处。端点调整最优调整二、制造误差

产生于制造、装配以及调整中的不完善所引起的误差。主要由仪器的零件、元件、部件和其它各个环节在尺寸、形状、相互位置以及参量等方面的制造及装调的不完善所引起的误差。差动电感测微仪中差动线圈绕制松紧程度不同，引起零位漂移和正、反向特性不一致。测杆铁芯线圈衔铁工件由于滚动体的形状误差使滚动轴系在回转过程中产生径向和轴向的回转运动误差。测杆导套测杆与导套的配合间隙使测杆倾斜，引起测杆顶部的位置误差。∆FhL减小仪器制造误差的途径和方法从工艺方法上1.保证必要的加工和装配精度；2.修研选配；（轴承的选配，轴和轴套的选配）3.装配补偿；例如：在有些偏心引起的误差中，适当选择工作转角区段。调整各次谐波误差的相对位置（有些仪器的误差曲线具有周期函数的性质，可将该误差曲线分解成各次谐波的合成，如一定阶次的谐波误差是由仪器中某一定误差源所引起，可通过改变相位角,使误差曲线发生变化。）从结构设计方法上1.合理分配误差和公差；2.正确应用仪器设计原理和设计原则；3.选择结构参数，减小原始误差的传递函数；4.多考察各类仪器的结构形式；5.结构工艺性；eoo/三、运行误差

仪器在使用过程中所产生的误差。如力变形误差、磨损和间隙造成的误差，温度变形引起的误差，材料的内摩擦所引起的弹性滞后和弹性后效，以及振动和干扰等。（一）力变形误差

由于仪器的测量装置(测量头架等)在测量过程中的移动，使仪器结构件(基座和支架等)的受力大小和受力点的位置发生变化，从而引起仪器结构件的变形。摇臂式坐标测量

设横臂a×b＝50×200mm为的等截面梁，选用铝合金材料，长度l＝3000mm，l1＝400mm，测头部件的自重W＝200N。

图2—10悬臂式坐标测量机原理图1—立柱2—平衡块3—读数基尺4—横臂5—测头部件6—z向测量轴产生误差的原因当测头部件位于横臂最外端A处和最里端B处时，由于测头部件的集中负荷在横臂上的作用点发生变化引起立柱和横臂的受力状态发生变化，引起横臂上A、B两点处的挠曲变形和截面转角变化，从而引起测量误差。当测头部件在最外端A处时

当测头部件在最内端B处时

测头部件集中负荷横臂自重均匀负荷立柱所受转矩lWqMA图2—11悬臂式坐标测量机受力变形测头部件从B点移到A点时，在测量方向Z向上引起的测量误差为若测头至横臂上基准尺的距离为1000mm，则在极径方向的阿贝误差自重变形引起的误差自重变形与零件的支点位置有关。乔治.艾里和贝塞尔计算出不同位置误差最小时。选用的最优支承点lABLDCYX当希望中点绕度为零时，当希望中点与C、D端点等高时，（二）测量力

测量力作用下的接触变形和测杆变形也会对测量精度产生影响，引起运行误差。灵敏杠杆

如图2-12设灵敏杠杆长为70mm，直径为约8mm，测球直径为4mm，测杆和被测零件材料同为钢，在测量力F=0.2N的作用下，将引起测球与被测平面之间的接触变形约为0.1

m。同时在此测量力的作用下，测杆的弯曲变形为约为0.54

m，这两项误差对万工显瞄准精度产生直接的影响。

F

图2—12测量力引起的测杆变形（三）应力变形

结构件在加工和装配过程中形成的内应力释放所引发的变形同样影响仪器精度。零件虽然经过时效处理，内应力仍可能不平衡，金属的晶格处于不稳定状态。例如未充分消除应力的铸件毛坯，经切削加工后，由于除去了不同应力的表层，破坏了材料内部的应力平衡，经过一段时间会使零件产生变形，在运行时产生误差。（四）磨损

磨损使零件产生尺寸、形状、位置误差，配合间隙增加，降低仪器的工作精度的稳定性。磨损与摩擦密切相关。由于零件加工表面存在着微观不平度，在运行开始时，配合面仅有少数顶峰接触，因而使局部单位面积的比压增大，顶峰很快被磨平，从而迅速扩大了接触面积，磨损的速度随之减慢。0tt1t2

f

fh

图2—13实际的磨损过程（五）间隙与空程

配合零件之间存在间隙，造成空程，影响精度。在滑动轴系中，轴与套之间的间隙制约着轴系的回转精度的提高；在开环伺服定位系统中，通常以蜗轮蜗杆或精密丝杠驱动工作台作直线位移或回转运动，蜗轮与蜗杆之间的齿侧间隙或丝杠与螺母之间的配合间隙直接引起工作台的定位误差。弹性变形在许多情况下，会引起弹性空程，同样会影响精度。（六）温度1m长的传动丝杠均匀温升，轴向伸长，引起传动误差。水准仪的轴系在的-40~+400C的工作环境下，轴系为间隙配合从间隙为4.8um～过盈2.4um；轴系间隙的变化量达7um。温度的变化可能引起电器参数的改变及仪器特性的改变，引起温度灵敏度漂移和温度零点漂移。温度的变化使润滑油的粘度下降，使系统刚度和运动精度下降、磨损加快。结构件产生弯曲变形，改变了仪器各组成部件之间的位置关系。（七）振动与干扰

当仪器受振时，仪器除了随着振源作整机振动外，各主要部件及其相互间还会产生弯曲和扭转振动，从而破坏了仪器的正常工作状态，影响仪器精度。如在瞄准读数中，振动可能使被瞄准件和刻尺的像抖动而变模糊；振动频率高时，还会使紧固件松动。若外界振动频率与仪器的自振频率相近，则会发生共振，损坏仪器。（八）干扰与环境波动引起的误差

所谓干扰，一方面是外部设备电磁场、电火花等的干扰，另一方面是由于内部各级电路之间电磁场干扰以及通过地线、电源等相互耦合造成的干扰。偶然的电磁干扰可能使仪器电路产生错误的触发翻转；环境的波动使激光波长发生变化；气源压力的波动可使气动测量仪器的示值发生改变。减小运行误差的方法一、自重变形引起的误差

1.选择正确的支点位置

1）两支点2）选择多点支承结构贝塞尔点，杆长变化量最小艾里点，杆两端面平行度变化最小

2.提高支承件和承载件的刚度

1)合理选择支承件和承载件的截面形状

2）选择材料采用高弹性模量的轻金属是减小自重变形的有效手段之一3）设置不同形式的肋板和加强肋

3.改善受力状况在截面面积相同的条件下，空心截面比实心截面的惯性矩大；加大外形尺寸，减小壁厚，惯性矩更大，可提高刚度。方形截面抗弯刚度比圆形截面更大；而抗扭比圆形截面小，矩形截面长边方向比短边方向抗弯刚度大，不封闭的截面惯性矩小。二、应力变形引起的误差

1）充分地时效处理2）合理选择工艺方法

3）夹紧应避免产生内应力和变形三、接触变形引起的误差

1）减小测量力

2）在比较测量中，使用标准件和被测件在材料和形状上保持一致，同时在测量过程中尽量使测量力保持恒定

3）通过实验标定或计算，得到局部变形量的大小，然后在测量结果中加以修正

4）考虑非接触测量四、磨损

1）合理选择表面粗糙度2）改善表面润滑条件3）尽量采用“跑合”阶段五、间隙与空程引起的误差1）仪器运转时，采用单向运转，把间隙和弹性变形预先消除，然后再进行使用2）采用间隙调整机构，把间隙调整到最小3）提高构件刚度，以减小弹性空程4）改善摩擦条件，降低摩擦力，以减小摩擦力造成的空程六、温度引起的误差

1）温度控制①控制室温②被测件、量具及标准件等温

2）线膨胀系数的控制3）温度补偿七、振动引起的误差

1）尽量避免采用间歇运动机构，而用连续运动或匀速运动机构

2）零部件自振频率要避开外界振动频率

3）采取各种防振措施，防振墙、防振垫、防振地基等

4）通过柔性环节使振动传不到仪器主体上。第三节仪器误差分析

任务：寻找影响仪器精度的误差根源及其规律；计算误差及其对仪器总精度的影响程度；目的：正确地选择仪器设计方案；合理地确定结构和技术参数；为设置误差补偿环节提供依据。过程：

寻找仪器源误差；分析计算局部误差局部误差是各个源误差对仪器精度的影响，这种影响可以用误差影响系数与该源误差的乘积来表示；精度综合根据各个源误差对仪器精度影响估计仪器的总误差，并判断仪器总误差是否满足精度设计所要求的数值。如果满足，则表明精度设计成功；否则，对精度分配方案进行适当调整或改变设计方案或结构后，重新进行精度综合。

误差独立作用原理：除仪器输入以外，另有影响仪器输出的因素，假设某一因素的变动（源误差）使仪器产生一个附加输出，称为局部误差。局部误差影响系数源误差

影响系数是仪器结构和特征参数的函数；一个源误差只产生一个局部误差，而与其它源误差无关；仪器总误差是局部误差的综合。一、微分法图2—14激光干涉光路图当干涉仪处于起始位置，其初始光程差为，对应的干涉条纹数为当反射镜M2移动到M2

位置时，设被测长度为L，那么，此时的干涉条纹数为即测量方程：设仪器的作用方程为，其中为仪器各特性参数，为仪器输入。对作用方程求全微分来求各源误差对仪器精度的影响即局部误差误差影响系数例激光干涉测长仪对测量方程进行微分源误差：测量环境的变化如温度、湿度、气压等，使空气折射率n发生变化、激光波长λ发生变化；测量过程中由于测量镜的移动使仪器基座受力状态发生变化，使测量光路与参考光路长度差发生改变；计数器的计数误差。若测量开始时计数器“置零”，在理想情况下，有激光测长仪仪器误差例：正弦规（角度测量装置）的误差分析与计算根据微分法，源误差引起的仪器误差若测量开始时计数器“置零”，在理想情况下，有设：正弦规滚珠中心距L有原始误差△L

量块组尺寸H和h的原始误差各为△H,△h全微分△H△h△L的误差传递系数同时，随着的增大，传递系数也增大，该机构不应在大转角的条件下工作。总结：微分法的优点是具有简单、快速，但其局限性在于对于那些不能列入仪器作用方程的源误差，不能用微分法求其对仪器精度产生的影响。例如仪器中经常遇到的测杆间隙、度盘的安装偏心等，因为此类源误差通常产生于装配调整环节，与仪器作用方程无关。测量方程二、几何法

利用源误差与其局部误差之间的几何关系，分析计算局部误差。具体步骤是：画出机构某一瞬时作用原理图，按比例放大地画出源误差与局部误差之间的关系，依据其中的几何关系写出局部误差表达式。O

是度盘的几何中心，O是主轴的回转中心，度盘的安装偏心量为e，当主轴的回转角度为时，度盘刻划中心从O

移至O

处，读数头实际读数为从A点到B点弧上刻度所对应的角度，则读数误差为

则由度盘的安装偏心引起的最大读数误差为

图2—15偏心误差所引起的读数误差

1—度盘2—读数头例度盘安装偏心所引起的读数误差例

螺旋测微机构误差分析几何法的优点是简单、直观，适合于求解机构中未能列入作用方程的源误差所引起的局部误差，但在应用于分析复杂机构运行误差时较为困难。总结：L

L导轨弹簧滑块滚珠螺旋副手轮图2—16螺旋测微机构示意图由于制造或装配的不完善，使得螺旋测微机构的轴线与滑块运动方向成一夹角，当螺杆移动距离为滑块的移动距离为由此引起的滑块位置误差

三、作用线与瞬时臂法

基于机构传递位移的机理来研究源误差在机构传递位移的过程中如何传递到输出。因此，作用线与瞬时臂法首先要研究的是机构传递位移的规律。（一）机构传递位移的基本公式推力传动传递位移时一对运动副之间的相互作用力为推力摩擦力传动传递位移时一对运动副之间的相互作用力为摩擦力作用线

为一对运动副之间瞬时作用力的方向线推力传动，其作用线是两构件接触区的公法线摩擦力传动，其作用线是两构件接触区的公切线

为转动件的瞬时微小角位移；为瞬时臂,定义为转动件的回转中心至作用线的垂直距离；为平动件沿作用线上的瞬时微小直线位移。

瞬时臂作用线r0瞬时臂作用线位移沿作用线传递的基本公式为沿作用线位移瞬时臂回转角当齿轮向齿条传递位移时，属推力传动，作用线通过接触区与齿面垂直，位移沿作用线传递的基本公式为但是，齿条的实际位移并不是沿作用线方向，而是沿位移线方向，作用线与位移线之间夹角为齿形压力角。根据位移线与作用线之间的几何关系，可以导出位移沿位移线方向传递的公式为则位移沿位移线传递的方程为

则齿轮齿条传动方程为例齿轮齿条传动机构（二）运动副的作用误差

作用误差一对运动副上的一个源误差所引起的作用线上的附加位移；把一对运动副上所有源误差引起的作用线上的附加位移的总和称为该运动副的作用误差。运动副的作用误差是在运动副的作用线方向上度量的，表征源误差对该运动副位移准确性的影响。1．源误差可以转换成瞬时臂误差时的作用误差计算一对运动副的理论瞬时臂是，若运动副中存在一源误差直接表现为瞬时臂误差，那么位移沿作用线传递的基本公式为由瞬时臂误差而引起的作用线上的附加位移(作用误差)为2．源误差的方向与作用线一致时的作用误差计算若源误差的方向与作用线方向一致，则不必再经过折算，源误差就是作用误差。当超过一个齿时，作用误差为

为渐开线齿形压力角，为齿距累积偏差，为齿距累积偏差在齿轮啮合线上投影。3．源误差既不能折算成瞬时臂误差，其方向又不与作用线一致时

在这种情况下，很难用一个通式来计算作用误差，只能根据源误差与作用误差之间的几何关系，运用几何法，将源误差折算到作用线上。分度圆

基圆图2—19齿轮传动例渐开线齿轮传动作用误差齿轮运动副的作用线就是齿轮的啮合线，若存在齿廓总偏差，由于其方向与齿轮啮合线方向一致，当齿轮转过一个齿时，作用误差为测杆与导套为摩擦传动作用副，中心线为导套中心时，由于两着之间存在间隙

使测杆倾斜，引起的作用误差可按几何关系折算为图2—20测杆倾斜总结

大体上可以按照上面所述三种情况来计算一对运动副作用误差。通常，能转换成瞬时臂误差的源误差多发生在转动件上；而既不能换成瞬时臂误差，其方向又不与作用线方向一致的源误差多发生在平动件上。

若一对运动副上有m

个源误差，每个源误差均使其作用线上产生一个作用误差那么该运动副的总作用误差为例测杆与导套之间的配合间隙所引起的作用误差（三）作用误差从一条作用线向另一条作用线的传递

在机构传递位移的同时，各对运动副上的作用误差也随之一同传递，最终成为影响机构位移精度的总误差。首先必须研究一对运动副作用线上的位移是如何传递到另一条作用线上去的机制。作用线之间传动比作用线之间瞬时直线位移之比。设仪器中任意两对运动副作用线上的瞬时直线位移分别为与，作用线之间传动比可写为

若第a条作用线有作用误差为，它是该运动副上所有源误差所引起的作用线上的位移增量的总和。当将第a条作用线上作用误差转换到第n条作用线上时，使第n条作用线上产生附加的位移增量，成为第n条作用线上的作用误差，有如下关系若仪器有K对运动副组成，每对运动副作用线上的作用误差，若仪器测量端运动副的作用线为第K

条作用线。全部的K

对运动副的作用误差转换到第K条作用线上，引起第K条作用线的附加位移的总和即为仪器测量端位移总误差，即

当主拖板在丝杠的带动下向上移动的距离为L时，由于斜尺安装在主拖板上，也向上移动了同样的距离，在钢带的带动下基圆盘逆时针旋转φ角。此时，在弹簧的作用下，测量拖板向右移动的距离为s，其中θ为斜尺的倾斜角度。测量之前将斜尺倾斜角度调整为测量拖板的位移距离为

上式表明：测量拖板水平位移与基圆盘的转角位移之间的位移关系形成的是一种以r0为基圆半径的标准渐开线。当被测齿形的展开长度有误差时，测微仪输出被测齿形的误差例小模数渐开线齿形检查仪误差分析图2—21小模数渐开线齿形检查仪1—被测齿轮2—基圆盘3—主拖板4—传动丝杠5—斜尺6—主导轨

7—手柄8—测量拖板9—测杆10—测微仪11—测量导轨12—推力弹簧

仪器的精度取决于标准渐开线运动的准确性。标准渐开线运动的测量链：主拖板，斜尺基圆盘、测量拖板，测微仪，斜尺。测量链中的源误差直接影响测量精度仪器中若存在基圆盘安装偏心误差基圆盘半径误差斜尺表面直线度误差斜尺倾斜角度的调整误差源误差分析测量拖板的位移误差

视基圆盘2为主动件、主拖板3为从动件，并且把基圆盘与主拖板运动副看成是直尺与圆盘运动副，为摩擦力传动，作用线为l1－l1；视斜尺5与测量拖板8运动副为推力传动，作用线为l2－l2

，斜尺为主动件，测量拖板为从动件。

引起的作用误差基圆盘半径误差可以转换成瞬时臂误差，则引起作用误差为

作用线l1－l1上的作用误差1.基圆盘与主拖板运动副的作用误差e引起的作用误差基圆盘安装偏心可以转换成瞬时臂误差，则引起的作用误差为最大值为2.斜尺与测量拖板运动副的作用误差引起的作用误差斜尺直线度误差与作用线方向l2－l2相同，则其所引起的作用误差为作用线l2－l2的作用误差为

所引起的作用误差斜尺倾斜角调整误差既不能转换成瞬时臂误差，也不与作用线方向相同，只能用几何法将其折成作用误差。作用误差为3.求作用线l2－l2上的总作用误差作用线l2－l2与l1－l1之间直线传动比作用线l2－l2上的总作用误差依据作用误差沿作用线之间传递的，有作用误差转换为测量拖板的位移误差测量拖板的位移方向s与作用线l2－l2的方向不一致，夹角为，根据作用线与位移线之间的关系，测量拖板的位移误差为上例在求解各个源误差引起的测量拖板位移误差时采用的是代数和法，若采用统计和法会更加符合实际情况。四、数学逼近法方法通常用拉格朗日多项式，结合最小二乘原理来逼近仪器的实际特性。目的基于测量（标定或校准）所获得的在一些离散点上的仪器输出与输入关系的对应数据，以特定的函数（曲线或公式）去逼近仪器特性。拉格朗日多项式拟合模型可以表示为其中为待定拟合系数；为输入量；为多项式阶次。以残差的平方和最小为原则去逼近仪器输出与输入特性的测得值式中，为待定系数的估计值一旦计算出最小二乘估计值,则可用表征仪器的输出与输入特性公式（或曲线）。数学上已经证明在主矩阵的秩为

时，该线性方程组有唯一解注意：m不应太大。因为m较大时，将使拟合曲线在非测量点上有较大误差，使拟合精度下降。再者，当m>6时，主矩阵一些元素有较强的相关性，引起计算不稳定。上述优化问题可以归结为求解线性方程组主矩阵例电阻温度传感器特性标定

表2-1测温传感器静态标定实验数据i0123456温度17.0318.0119.0220.0021.0022.0023.00电压-0.170540.125560.415920.696790.973241.242121.50351将电压作为输入，温度作为输出，取m=3，由标定数据用计算工具matlab求解，得特性方程系数此时温度传感器静特性方程为oC五、控制系统误差分析Δy1x1y1k1k2x2Δy2y2Δy1xyk1k2-xocΔy2外部扰动和内部参数误差是影响控制系统或器件输出的两个主因。它们对器件特性的影响可以看做在器件输出中引入了扰动(源误差)。仪器控制系统通常是按被测量偏差闭环负反馈控制系统，根据叠加原理，仪器总的静态误差可以看作是两环节所带来的误差之和，即。其中是由前向通道引入误差引起；是由反馈通道引入误差引起根据梅逊公式：有些仪器控制系统采用带扰动补偿的按被测量偏差闭环负反馈控制系统，目的是克服某扰动对输出的影响，此时增加了干扰补偿通道。在干扰补偿通道上同样可能引入源误差。根据梅逊公式，由干扰补偿通道上源误差引起系统输出误差为Δy1xykobk2-xocΔy2k1k3带扰动补偿控制系统全部源误差引起输出总误差为六、蒙特卡洛方法问题的提出微分法通过对仪器的作用原理方程求全微分的方法来求得某些源误差所产生的局部误差，其前提是仪器作用原理方程是可微的，而且求局部误差时忽略了高阶微分项，若作用原理方程不可微或作用原理有复杂非线性，则微分法的分析精度及其可靠性难以评估，此时可以采用蒙特卡洛方法。蒙特卡洛方法又称为随机事件模拟，通过对不同分布的抽样来模拟仪器参数的随机源误差。设仪器的作用原理方程为，当仪器的特性或结构参数为理论值时，仪器应该具有的指示值为若结构参数有误差，是彼此相互独立且服从特定分布的随机误差，即结构参数，以对该概率分布的随机抽样作为误差的估计值，带入仪器的作用原理方程，获得一个仪器示值的估计值，即经过M次的反复计算，即可获得M个仪器示值的估计值，再对进行统计，即可获得仪器示值的分布、示值平均值和标准差，进而获得示值误差极限，t为置信系数。如磨削加工过程中砂轮随时间均匀磨损，工件尺寸趋于均匀分布；两个均匀分布的和的分布是三角分布；偏心量和径向跳动误差服从瑞利分布；若偏心方向服从[0~2π]内的均匀分布，那么偏心引起的读数误差服从反正弦分布；一些用两个量之差的绝对值表示的误差，如螺距累积误差、牙形半角误差；零件形状误差如直线度、圆度；位置误差中的平行度、垂直度等误差属于绝对正态分布。蒙特卡洛就是实现对各种误差分布的抽样。误差来源和产生机理的不同，仪器结构中随机源误差将服从不同的分布

某一因素起主要作用偏离正态分布大批量、生产条件稳定正态分布抽样：由特定分布的总体中产生容量为M的简单子样，它们是相互独立的、服从相同的分布。例曲柄滑块机构运动精度分析

ＸＹOABrlb）铰链Ac）铰链BxBy连杆EAxy曲柄Ea）原理滑块运动方程

尺寸误差和铰链A和B配合间隙源误差

曲柄和连杆有效长度

铰链配合间隙

曲柄的有效长度增加：AE连杆的有效长度增加：BE偏心

由计算软件产生服从[0,1]之间均匀分布的随机数数学变换直接抽样法舍选抽样法变换抽样法

流程（表2-2）服从任意分布的随机数

抽样过程源误差曲柄，在公差带之内服从正态分布连杆，在公差带之内服从正态分布铰链偏心量和服从铰链间隙0.1mm范围内的瑞利分布铰链偏心方向和服从范围内的均匀分布

抽样分布

在标准差为正态分布中抽样在标准差为正态分布中抽样和在标准差为

瑞利分布中抽样和在标准差[0~1]范围均匀分布中抽样后乘表2-2滑块运动误差曲柄转角deg位置xmm标准差mm极限误差mm0600.0000.302±0.90630560.5030.288±0.86560460.5550.279±0.83690346.4100.303±0.908120260.5550.317±0.952150214.0930.306±0.918180200.0000.298±0.895蒙特卡罗方法将误差分析和误差综合合而为一，适用于随机源误差多、且这些随机源误差通过复杂的数据处理过程进行传播、难以用传统的随机误差合成方法进行分析综合的场合，它的优点是分析精度高，缺点是计算量巨大。算法流程赋值：开始计算：计算各分布的标准差：计算杆件有效长度：抽样：正态分布；瑞利分布；均匀分布计算滑块位置：计算位置误差：i<=M统计滑块位置误差的均值和标准差输出统计结果i=i+1YN第四节仪器误差的综合

在仪器设计、制造、测试验收的各个环节都需要进行精度评估，这就离不开仪器误差的综合。由于仪器源误差很多、性质又各不相同，因此仪器误差综合方法也各不相同。根据仪器误差性质的不同，仪器误差可按下述方法综合。一、随机误差的综合

考虑到随机误差的随机性极其分布规律的多样性（如正态分布、均匀分布、三角分布），在对随机误差进行综合时，可采用均方法和极限误差法。1.均方法

设仪器中随机性源误差的标准差分别为；由一个随机性源误差所引起的随机局部误差的标准差为，其中为误差影响系数。由误差理论可知，全部随机误差所引起的仪器合成标准差为式中，为第i、j两个相关随机误差的相关系数(i≠j)，其取值范围为-1~1之间。若时，表示两随机误差不相关，相互独立。当仪器各个随机源误差相互独立时,仪器合成标准差为合成后的仪器合成极限误差可写成

t为置信系数，一般认为合成总随机误差服从正态分布，即当置信概率为99.7%时，t=3；置信概率为95%时，

t=2。2.极限误差法

若已知各单项误差源的极限误差（如公差范围），根据各随机误差源的概率分布即，其中为对应随机误差的置信系数，那么可以用各单项误差的极限误差来合成总极限误差：若各单项随机误差相互独立，合成总极限误差二、系统误差的综合2.未定系统误差的合成

未定系统误差是其大小和方向或变化规律未被确切掌握，而只能估计出不致超出某一极限范围的系统误差。由于未定系统误差的取值在极限范围内具有随机性，并且服从认定的概率分布，而从其对仪器精度影响上看又具有系统误差的特性，故常用两种方法合成。绝对和法

考虑到未定系统误差的系统性。若仪器有m个未定系统性源误差，其各单项未定系统误差出现的范围为，合成未定系统误差为1.已定系统误差的合成

设仪器中有r个已定系统性源误差，已定系统误差其数值大小和方向已知，采用代数和法合成，则仪器总已定系统误差为：，是误差影响系数。如果是原理误差，则。方和根法

考虑到未定系统误差的随机性。若有m个未定系统源误差，各项未定系统误差出现的范围；为各项未定系统误差的置信系数。当各项未定系统误差相互独立时，合成未定系统误差为三、仪器总体误差的合成1.一台仪器误差的综合

若一台仪器中各源误差相互独立，而未定系统误差数又很少，因而未定系统误差的随机性大为减小，可按系统误差来处理它，则一台仪器合成总误差为

若一台仪器中未定系统误差数较多，在仪器误差合成时，既考虑未定系统误差的系统性，又强调其随机性，可按下式合成2.一批同类仪器误差综合

当计算一批同类仪器的精度时，由于未定系统误差的随机性大大增加，因此为强调其随机性，误差合成时将未定系统误差按随机误差来处理。各单项源误差相互独立，则总合成误差为第五节仪器误差分析合成举例

JDG-S1型数字显示式立式光学计是一种精密测微仪。它的结构特点是用数字显示取代传统立式光学计的目镜读数系统。运用标准器（如量块）以比较法实现测量，适用于对五等量块、量棒、钢球、线形及平行平面状精密量具和零件的外型尺寸作精密测量。其技术参数为：被测件最大长度（测量范围）：180mm示值范围：显示分辨率：测量力：示值变动性为：图2—26数字显示式立式光学计一、数字立式光学计原理与结构a123465789s数字式立式光学计原理图1—光源2—聚光镜3—标尺光栅4—光电元件5－指示光栅6－立方棱镜7－准直物镜8－平面反射镜9—测杆1.光学杠杆原理将量杆9的微小位移s放大转换成标尺光栅3的刻线像在物镜焦平面5上的位移；仪器物镜焦距，反射镜摆动臂长，根据光学杠杆原理，光学放大比，即标尺光栅刻线像的位移量是测杆位移量的31.25倍。2.光栅传感器当标尺光栅刻线像移动一个栅距时，光电信号变换一个周期，此时对应量杆位移，电路上实现8倍细分，那么，仪器分辨率达到。二、数字显示式立式光学计精度分析(一)仪器中的主要未定系统误差1.光栅刻划累积误差所引起的局部误差一般光栅刻划累积误差范围为，折算到测量端上的误差应再除以放大倍数（k=31.25），即o测杆a平面反射镜标尺光栅f准直物镜y将代入上式，得解该方程，得近似取，有可见，标尺光栅刻线像的位移

y与测杆位移s之间的关系是非线性的。2.原理误差

由仪器原理可知，平面反射镜偏转角与标尺光栅刻线像的位移的关系为仪器示值范围为；则最大显示时，当；，最大原理误差为而测量过程是依据标尺光栅刻线像的位移量y

以线性的光学放大比k来估计测量结果

s0

由光学杠杆特性的非线性与理论上的线性特性(标尺光栅的均匀刻度)之间的矛盾将引起原理误差为端点综合调整：调整反射镜摆动臂长使原理误差在及最大显示处都为“零”；最大原理误差发生在。即在仪器结构中已经设计了综合调整环节以补偿仪器总误差，其补偿原理是通过调整反射镜摆动臂长a来实的。设将杠杆短臂长调整为a1，则原理误差解之，有；；代入上式有将最大指示，，代入上式，得光学计最大原理误差为理论上，综合调整可以消除原理（系统）误差中的累积部分.原理误差作为综合调整后的残余系统误差，以未定系统误差来处理。

3.物镜畸变所引起的局部误差物镜的畸变是指物镜在其近轴区与远轴区的横向放大率不一致，由此造成的象差即称为物镜的畸变，一般光学计物镜的相对畸变约为，即，换算到测量端，得

由于此项误差是与被测量s

成正比，属于累积误差，在综合调整的过程中已经将其消除，即。4.反射镜摆动臂长调整不准所引起的局部误差综合调整的过程就是用两块量块，通过调整反射镜摆动臂长a反复校验仪器或两点示值来实现。两块量块尺寸小于、相差。量块的检定误差对仪器精度的影响考虑为两次，即首先用（或）的量块调零，然后再用（或）的量块校验仪器的位置的示值误差，再考虑由于显示系统示值变动性对读数精度的影响为两次。故局部误差为量块检定误差与读数误差合成，即

测杆的倾侧一方面会使测杆的垂直长度变化，但因其为二阶微量可忽略不计。另一方面测杆倾侧角后会使反射镜摆动臂长度a发生变化，见图。由仪器原理当发生误差，由其所引起的局部误差为(二)组成仪器误差主要的随机误差

1.由于测杆配合间隙引起的局部误差若测杆的配合间隙的最大值为，故测杆的倾侧角的变动范围为sΔsaΔal1l，将最大示值，代入，得局部误差为

2.示值变动引起的局部误差数字式仪器示值变动通常为个显示分辨率，来源于电子细分和各类干扰的影响，考虑到显示分辨率为，确定一个量值需要两次读数，故示值变动引起的局部误差3.测量力变动引起的局部误差光学计的测量力为，由于是比较测量，只需计算测量力变动对测量结果的影响。若测量是属于球形测头测量平面被测件，且材料都是钢，则压陷量可按以下公式计算。即以，及代入，得测量力变动引起的局部误差为将上述各项未定系统误差与随机误差综合，得光学计示值误差为(三)仪器测量不确定度量块尺寸mm块数14检定误差分布均匀均匀不确定度相对误差25%25%自由度标准件误差引起的不确定度分量其中，为量块中心长度。对应的自由度光学计测量范围0~180mm。1.标准件误差引起的测量不确定度分量

光学计为的比较测量仪，故标准件量块的误差将影响测量结果。若选用的量块为四等，检定误差为其中

为量块中心长度。标准件误差引起的测量不确定度分量温度误差引起的测量不确定度分量仪器示值误差引起的不确定度分量测量不确定度分量2.温度误差引起的测量不确定度分量温度误差计算式：量块的线膨胀系数；被测件对量块的线膨胀系数差；室温对标准温度的允许偏差为；均匀分布，不确定分量被测件对量块的温度差为；均匀分布，不确定分量它们的相对标准差均为25%，对应的自由度为。则温度误差引起的测量不确定度分量为（L单位为mm）对应的自由度3.仪器示值误差引起的不确定度分量仪器示值误差为极限误差，服从正态分布，其引起的测量不确定度分量为，取其相对标准差为20%，对应的自由度立式光学计总不确定度在测量范围内，对应的自由度取置信概率P=0.95，考虑最极端情况，自由度取，查t分布表得，即包含因子；于是，立式光学计测量的展伸不确定度在的测量范围内，可以证明上式小于并接近于因此，立式光学计在置信概率P=0.95的条件下，测量不确定度为第六节仪器精度设计

仪器精度设计是仪器精度综合的反问题，其根本任务是将给定的仪器总误差合理地分配到仪器的各个组成部件上，为正确设计仪器的各个组成部件结构以及制定零部件的公差和技术要求提供依据。对于一些对仪器精度影响较大的环节给予较严的精度指标；对于那些对仪器精度影响较小的环节给予较宽松的精度指标，在满足仪器总精度要求的前提下使制造成本降致最小。一、仪器精度指标的确定1.微小误差原理

若略去某项误差对总误差的影响小于不略去结果的1/10，则该项误差可视为微小误差。微小误差是可以忽略不计的。在一定的环境条件下，利用一定的测量原理和方法，将被测量同标准量相比较的过程称为测量。因此，测量人员、测量仪器、环境条件、原理方法、测量对象和标准都将导致测量误差，那么，测量结果的合成不确定度为测量仪器和测量标准的误差只需为测量总误差的1/3，其对测量精度的影响是微不足道的，可略去不计。在机械行业的参数检测中，确定测量仪器或设备精度的通行的原则就是：仪器或设备总误差与被测参数的公差值之比保持在1/3

1/10的范围内，该原则同样来自于微小误差原理。2.检测能力指数法

测量的性质的不同，可分为三类：参数检验通过测量判断被测参数的量值是否处在事先规定的范围内。为了保证判断的可靠性，测量结果的总不确定度应该尽量小，即在测量中，若测量仪器（包括测量标准）的不确定度为，其余误差的合成不确定度为，考虑到一般两者不相关，故上式可改写成略去后合成不确定度即为，它与不略去的合成不确定度之差为，由微小误差定义，则应满足，解之参数监控利用测出的信息去控制生产过程，以实现将被检参数的量值控制在规定的范围内。因此,就其本质而言，都与检验是类似的，是通过测量将被测参数控制在某个事先规定的范围内，所不同的是监控是在生产过程中进行，检测结果要干预生产过程，以排除不正常的生产状态，属于主动测量。相比之下，对监控过程的测量精度要求应该比参数检验更高。参数测量测定被测参数的具体量值，要求测量结果的总不确定度小于等于所允许的测量误差

检测能力指数用以衡量检测能力的状况，定义为:测量结果的标准不确定度测量结果的展伸不确定度(置信概率p=99.7%，包含因子)针对参数检验，是被测参数公差；针对参数监控，是被控参数的制造误差；针对参数测量，为两倍允许的测量误差。

越大，检测能力越高显然，检测能力指数建立了测量总不确定度与测量性质之间的关系，并未明确测量仪器精度指标与之间的关系。已知，测量的总不确定度为其中，为测量仪器（包括标准）的不确定度；为除测量仪器以外的所有因素造成测量的合成不确定度。从经济性方面看应尽量增大的值，这样有利于降低测量仪器的造价；而从测量精度方面看应尽量使成为微小误差，使其对测量总精度所产生的影响微不足道。根据微小误差原理应小于1/3，但据调查，在实际的检测实践中，从0.1

0.9的情况均存在。但在宏观上，考虑普遍、适中的情况，取。据此，用测量仪器的不确定度去估计检测能力指数的定义式为或依据检测能力指数数值的不同以及不同的检测性质，将现行的计量检测精度状况分为A、B、C、D、E五个精度等级，检测能力指数依次由高到低，级档ABCDEMcp3

52

31.5

21

1.5

1

允/UI6

104

63

42

3

2T/UI9

156

94.5

63

4.5

3Mcp1.7

21.3

1.71

1.30.7

1

0.7

允/UI2.6

32

2.61.5

21

1.5

1T/UI5

64

53

42

3

2检测能力评价足够一般不足低检测与监控测量在仪器的精度设计中，通常根据设计任务所提出的检测能力指数的大小和被测参数的变化范围或者检测精度的要求，确定测量仪器或设备的精度指标。其优势在于，它充分考虑了测量性质的不同以及检测能力要求的不同，对测量仪器相应提出了不同的精度要求，从而使测量仪器精度指标的制定更加科学合理。例已知被检凸轮轴凸轮升程公差为

0.05mm，设计一台检测状况为A级的凸轮检验仪，试确定它的不确定度。由题意知，，由于该测量任务只须检测凸轮升程合格与否，故属于参数检验，查表得，则取，即所设计的凸轮升程检验仪的不确定度为0.008mm可满足检验要求。例设计一台用于港口计量进出口散装粮食的轨道衡，要求其测量状况为A级，确定该轨道衡的精度。根据国际惯例，港口散装粮食计量误差范围为，超出要予以索赔，因而被测对象的测量误差。由于粮食计量属于测量，对于A级测量，查表得，那么取可满足计量要求。二、误差分配方法1)分配过程：先算出原理性的系统误差，再依据误差分析的结果找出产生系统误差的可能的环节（即系统性源误差）。根据一般经济工艺水平给出这些环节具体的系统误差值，算出仪器系统误差，最后合成总系统误差。（一）系统误差分配2)目标：如果合成总系统误差大于或接近仪器允许的总误差，说明所确定的系统误差值不合理，要重新考虑采取技术措施减小系统误差，或推翻原设计方案重新设计。如果系统误差在（0.5~1）倍仪器允许的总误差，一般可以先减小有关环节的误差值，然后再考虑采用一些误差补偿措施。如果系统误差小于或接近仪器允许的总误差的1/3，则初步认为所分配的系统误差值是合理的，待确定随机误差值时再进行综合平衡。（二）随机误差（包括未定系统误差）分配在仪器允许的总误差中扣除总系统误差，剩下的是允许的总随机误差和总未定系统误差之和，即

通常依据等作用原则与加权作用原则两种原则来分配总随机误差。1．按等作用原则分配等作用原则认为仪器各环节和各零部件的源误差对仪器总精度的影响是同等的，即每个源误差所产生的局部误差是相等的。则所分配的每个单项误差为

式中分别为随机误差的数目与未定系统误差的数目，为误差的影响系数。显然，当某误差的影响程度大时，分配给较小的误差值。2.按加权作用原则分配加权作用原则认为在仪器的误差分配过程中，应考虑仪器不同环节误差控制的难易程度。这种难易程度涉及许多内容，例如以不同的原理（机械、电子、光学、控制）实现相同大小公差的难易程度的不同，机械零件中同样的公差大小，但公称尺寸的不同、零件的形状材料的不同、加工方法的不同，加工的难易程度也不同。误差控制的难易程度直接关系到制造成本。为此，由一综合权来表征某一环节误差控制的难易程度，权愈大表明此误差控制愈难，应允许该环节有较大的误差。则按加权作用原则分配各环节误差的公式为显然，赋予各个环节综合权的具体数值时，需要一定的实际经验。(三)误差调整