第02章 信号分析基础VIP

第二章信号分析基础本章内容：

信号与测试系统信号的分类与描述周期信号与离散频谱瞬变非周期信号与连续频谱随机信号描述测试技术基础典型振动测试系统方框图§2.1信号与测试系统信号定义：§2.1信号与测试系统---信号定义

物理角度，数学角度，工程角度。信号就是承载某种或某些信息的物理量的变化历程。信号就是函数，就是某一变量随时间或频率或其他变量而变化的函数。信号表现为一组数据或波形，这组数据通常是由某一检测仪器，如传感器，从某一物理系统上检测得到，以数据的形式记录在纸上，或存储在某种磁性介质上，或以波形形式显示在仪器的显示屏上。心电图：利用仪器从人体上获得的心脏跳动的数据，通常显示在仪器上供医生诊断之用，或记录在纸上作为病人病例记录。§2.1信号与测试系统---信号定义

飞机上黑匣子：将各种传感器采集下来的有关飞机飞行状态、发动机工作状态等数据记录下来，以备将来事故分析之用。§2.1信号与测试系统---信号定义

噪声的定义：噪声也是一种信号，任何干扰对信号的感知和解释的现象称为噪声。信号表现形式噪声干扰图象恢复§2.1信号与测试系统---信号与噪声

通常表现为随时间变化的物理量，如：声、光、电、力等。第二章信号分析基础本章内容：

信号与测试系统

信号的分类与描述周期信号与离散频谱瞬变非周期信号与连续频谱随机信号描述测试技术基础

信号分类主要是依据信号波形特征来划分。信号波形：被测信号的幅度随时间变化的历程称为信号波形。信号波形电容传声器§2.2信号的分类与描述常见标准信号波形§2.2信号的分类与描述

为深入理解信号的物理实质，将其进行分类研究。从不同角度观察，信号可分为：从信号描述上-确定性信号与非确定性信号；从信号幅值和能量--能量信号与功率信号；从连续性--连续信号与离散信号；从可实现性--物理可实现信号与物理不可实现信号。§2.2信号的分类

与描述-分类1确定性信号与非确定性信号

可以用明确数学关系式描述的信号称为确定性信号。不能用数学关系式描述的信号称为非确定性信号。§2.2信号的分类与描述-分类周期信号：经过一定时间可以重复出现的信号简单周期信号复杂周期信号§2.2信号的分类描述-分类b)非周期信号：再不会重复出现的信号。

准周期信号:由多个周期信号合成，但各信号频率不成公倍数。如：瞬态信号:持续时间有限的信号如§2.2信号的分类与描述-分类c)非确定性信号：不能用数学式描述，其幅值、相位变化不可预知，所描述物理现象是一种随机过程。

噪声信号(平稳)统计特性变异噪声信号(非平稳)§2.2信号的分类与描述-分类2能量信号与功率信号

一般持续时间有限的瞬态信号是能量信号。a)能量信号

在所分析的区间,能量为有限值的信号称为能量信号，即满足条件：§2.2信号的分类与描述-分类b)功率信号

在所分析的区间（-∞，∞），能量不是有限值。但信号的平均功率为有限值，即一般持续时间无限的信号都属于功率信号。§2.2信号的分类与描述-分类3连续信号与离散信号

a)连续信号:在所有自变量处都有定义

b)离散信号:在若干自变量取值处有定义采样信号§2.2信号的分类与描述-分类若自变量为时间：连续时间信号与离散时间信号

时间幅值连续离散连续模拟信号量化信号离散被采样信号数字信号§2.2信号的分类与描述-分类4物理可实现信号与物理不可实现信号物理可实现信号：又称单边信号，满足条件：即信号在时间小于零的一侧全为零。时,§2.2信号的分类与描述-分类b)物理不可实现信号：在事件发生前(t<0)就预知信号。§2.2信号的分类与描述-分类时域描述与频域描述时域描述：直接观测或记录到的信号，以时间为独立变量，为信号的时域描述。§2.2信号的分类与描述-描述时域描述与频域描述频域描述：采用傅立叶变换等方法将时域信号变换为频域信号，从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特征。§2.2信号的分类与描述-描述mskHz

时域波形频谱

时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化情况，除单频率分量的简谐波外，很难明确揭示信号的频率组成和各频率分量大小。

图例：受噪声干扰的多频率成分信号

§2.2信号的分类与描述-描述时域分析：以时间作为参照来观察动态世界的方法，如，股票的走势、气压变化、汽车的轨迹等。频域分析：以频率作为参照来观察事物的方法。音乐的时域分析：一个随着时间变化的振动音乐的频域分析：乐谱§2.2信号的分类与描述-描述第二章信号分析基础本章内容：

信号与测试系统信号的分类与描述

周期信号与离散频谱瞬变非周期信号与连续频谱随机信号描述测试技术基础§2.3周期信号与离散频谱

在有限区间，一个周期信号当满足狄里赫里条件时，可展开成傅里叶级数。傅里叶级数的三角函数展开式为：１、傅立叶级数三角函数展开式其中，—周期—圆频率—傅立叶系数1）

第一项

为周期信号的常值或直流分量；2）从第二项依次向下分别称信号的基波或一次谐波、二次谐波、三次谐波、……、

次谐波；3）将信号的角频率

作为横坐标，可分别画出信号幅值

和相角

随频率

变化的图形，分别称之为信号的幅频谱和相频谱图。

4）由于

为整数，各频率分量仅在

的频率处取值，因而得到的是关于幅值

和相角

的离散谱线。§2.3周期信号与离散频谱变为其中周期信号时域描述与频域描述关系图解§2.3周期信号与离散频谱周期信号是由一个或几个、乃至无穷多个不同频率的谐波叠加而成。解：例2-1信号在它的一个周期中的表达式为：§2.3周期信号与离散频谱周期方波信号的傅里叶级数表达式：幅频谱相频谱§2.3周期信号与离散频谱周期信号可以用傅里叶级数中的某几项之和来逼近，且所取的项数越多，亦即越大，近似的精度越高。§2.3周期信号与离散频谱谐波分量幅度谐波次数§2.3周期信号与离散频谱周期信号频谱的特点：周期信号的频谱是离散的。(离散性)每条谱线只出现在基波频率的整倍数上，基波频率是诸分量频率的公约数。（谐波性）各个频率分量的谱线高度表示该谐波分类的幅值或相位角，且幅值呈衰减性。（收敛性）§2.3周期信号与离散频谱§2.3

信号的频域分析正弦波叠加为矩形波的过程：随着叠加阶次的增加,所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡,而正弦波中下降的部分，又抵消了上升到最高处时的超出部分，使其变为水平线。无穷多个正弦波叠加起来才能形成一个标准的矩形波。§2.3

信号的频域分析正弦波叠加为矩形波的过程：§2.3

信号的频域分析正弦波叠加为矩形波的过程：§2.3

信号的频域分析正弦波叠加为矩形波的过程：§2.3

信号的频域分析正弦波叠加为矩形波的过程：§2.3

信号的频域分析时域周期矩形波的傅里叶分析-谐波的叠加性§2.3

信号的频域分析时域周期矩形波的傅里叶分析-离散频谱§2.3

信号的频域分析例已知周期信号x(t)的傅立叶级数展开式为：求直流分量及1-5次谐波的幅值，并作出幅频谱。由欧拉公式可知：代入式傅立叶级数三角表达式，有：§2.3周期信号与离散频谱2、傅立叶级数复指数展开式令则或§2.3周期信号与离散频谱

是离散频率

的函数，称为周期函数

的离散频谱。

一般为复数，故可写为求傅里叶级数的复系数且有§2.3周期信号与离散频谱傅里叶级数两种展开式频谱图的对比

三角：单边；复指数：双边；双边频谱中各谐波的幅值为单边频谱中对应谐波幅值的一半

§2.3周期信号与离散频谱解：由傅立叶级数复指数展开式得例2求周期矩形脉冲的频谱，设周期矩形脉冲的周期为，脉冲宽度为

，如图所示。§2.3周期信号与离散频谱定义

则变为可得到周期矩形脉冲信号的傅里叶级数展开式为

由于，代入上式得§2.3周期信号与离散频谱

周期矩形脉冲的频谱(T=4τ)

§2.3周期信号与离散频谱

通常将这段频率范围称周期矩形脉冲信号的带宽，用符号表示：

考虑当周期矩形脉冲信号的周期和脉宽改变时它们的频谱变化的情形。§2.3周期信号与离散频谱信号脉冲宽度与频谱的关系

脉冲宽度愈窄，信号的带宽愈大，从而使得频带中包含的频率分量愈多。另外，当信号周期不变而脉宽减小时，信号频谱幅值也越小。§2.3周期信号与离散频谱

信号的脉冲宽度相同而周期不同时，其频谱变化情形：信号周期与频谱的关系

周期愈大，信号谱线的间隔便愈小。若周期无限增大，亦即趋于无限大，原来的周期信号变成非周期信号．此时，谱线变得越来越密集，最终谱线间隔趋近于零，整个谱线便成为一条连续的频谱。当周期增大而脉宽不变时，各频率分量幅值相应变小。§2.3周期信号与离散频谱周期矩形脉冲信号特点周期增大时，谱线变密，幅度减小；脉宽减小时，带宽增加，幅度减小。周期

脉宽（脉冲宽度）带宽

谱线密度

幅度决定§2.3周期信号与离散频谱第二章信号分析基础本章内容：

信号与测试系统信号的分类与描述周期信号与离散频谱

瞬变非周期信号与连续频谱随机信号描述测试技术基础§2.4瞬变非周期信号与连续频谱

设为区间上的一个周期函数。它可表达为傅里叶级数的形式式中代入得§2.4.1傅立叶变换

当时，区间变成，频率间隔变为无穷小量，离散频率变成连续频率。得到将上式中括号中的积分记为：它是变量的函数。§2.4.1傅立叶变换重新代入得：

将称为的傅里叶变换，而将称为的逆傅里叶变换，记为：§2.4.1傅立叶变换

但上述条件并非必要条件。因为当引入广义函数概念之后，许多原本不满足绝对可积条件的函数也能进行傅里叶变换。

非周期函数存在有傅里叶变换的充分条件是在区间上绝对可积，即§2.4.1傅立叶变换

若将上述变换公式中的角频率用频率来替代，则由于，得§2.4.1傅立叶变换

由于一般为实变量的复函数，可将其写为

将上式中的(或,当变量为时)称非周期信号的幅值谱，或称的相位谱。小结由傅立叶变换变换式，一个非周期函数可分解成频率f连续变化的谐波的叠加。式中是谐波的系数，决定着信号的振幅和相位。

或为的连续频谱。§2.4.1傅立叶变换

例5图示为一矩形脉冲(又称窗函数或门函数)，用符号表示：

矩形脉冲函数求该函数的频谱。解：§2.4.1傅立叶变换

矩形脉冲函数的频谱其幅频谱和相频谱分别为：

可以看到，窗函数的频谱是一个正或负的实数，正、负符号的变化相当于在相位上改变一个弧度。

矩形脉冲函数与sinc函数之间是一对傅里叶变换对，若用表示矩形脉冲函数则有：§2.4.1傅立叶变换对称性（亦称对偶性）线性尺度变换性

奇偶性时移性频移性（亦称调制性）卷积

时域微分和积分频域微分和积分§2.4.2傅立叶变换的性质对称性(亦称对偶性)若有则有2.线性如果有则和§2.4.2傅立叶变换的性质3.尺度变换性如果有则对于实常数

，有

若信号在时间轴上被压缩至原信号的，则其频谱函数在频率轴上将展宽倍，而其幅值相应地减至原信号幅值的。（尺度变换性或时频展缩性）信号的持续时间与信号占有的频带宽成反比。§2.4.2傅立叶变换的性质

窗函数的尺度变换(=3)3.尺度变换性§2.4.2傅立叶变换的性质4.

奇偶性(4)为时间的虚函数(3)傅立叶变换的反转性(为实函数):

为时间的实偶函数()，为的实偶函数；

为时间的实奇函数()，为的虚奇函数;§2.4.2傅立叶变换的性质5.时移性如果有则例8求下图矩形脉冲函数的频谱。§2.4.2傅立叶变换的性质

5.时移性解：该函数的表达式可写为

可视为一个中心位于坐标原点的矩形脉冲时移至点位置所形成。幅频谱和相频谱分别为则§2.4.2傅立叶变换的性质时移矩形脉冲函数的幅频和相频谱图

幅频谱不因为有时移而有任何改变，时移产生的效果仅仅是相位谱增加了一个随频率呈线性变化的项。§2.4.2傅立叶变换的性质6.频移性(亦称调制性)如果有则

——常数。

时间信号经过调制后的频谱等于将调制前原信号的频谱进行频移，使得原信号频谱的一半的中心位于

处，另一半位于处。§2.4.2傅立叶变换的性质

的频谱6.频移性(亦称调制性)§2.4.2傅立叶变换的性质7.卷积频域卷积如果有则时域卷积如果有则式中

表示

与

的卷积。§2.4.2傅立叶变换的性质卷积图解§2.4.2傅立叶变换的性质证明：（时域卷积）根据卷积积分的定义有其傅里叶变换为由时移性知，代入上式得§2.4.2傅立叶变换的性质时域微分和积分 如果有 则

条件是。 证明：(1)

阶微分的傅里叶变换公式：§2.4.2傅立叶变换的性质

(2)设函数

为其傅里叶变换为

。由于根据微分特性得

或亦即§2.4.2傅立叶变换的性质9.频域微分和积分 如果有 则 进而可扩展为 和

式中 若，则有§2.4.2傅立叶变换的性质§2.4.3典型信号的频谱1.单位脉冲函数

在Δ时间内激发有一矩形脉冲pΔ(t)的幅值为1/Δ，面积为1。当Δ→0时，该矩形脉冲pΔ(t)的极限便称为单位脉冲函数或δ函数。性质：(1)(2)1由δ函数的两条性质，可得 其中x(t)在t=t0时是连续的。单位脉冲函数δ(t)的傅里叶变换： 即δ(t)及其傅里叶变换§2.4.3典型信号的频谱1时移单位脉冲函数δ(t-t0)的傅里叶变换对：常数1的傅里叶变换对：§2.4.3典型信号的频谱单位脉冲函数δ(t)与任一函数x(t)的卷积证明：推广可得§2.4.3典型信号的频谱2.余弦函数

欧拉公式： 余弦函数的频谱： 正弦函数的频谱：§2.4.3典型信号的频谱4.单位阶跃函数单位阶跃函数可以根据符号函数表达为：可得单位阶跃函数的频谱：01t00§2.4.3典型信号的频谱5.周期函数

周期函数x(t)的傅里叶级数形式：

一个周期函数的傅里叶变换由无穷多个位于x(t)的各谐波频率上的单位脉冲函数组成。x(t)的傅三立叶变换为：式中§2.4.3典型信号的频谱例12求单位脉冲序列的傅里叶变换解：将x(t)表达为傅里叶级数的形式于是有对两边作傅里叶变换得得亦即§2.4.3典型信号的频谱一个周期脉冲序列的傅里叶变换仍为(在频域中的)一个周期脉冲序列。单个脉冲的强度为f0=1/T0，且各脉冲分别位于各谐波频率nf0=n/T0上，n=0,±1,±2,…。

周期脉冲序列函数及其频谱§2.4.3典型信号的频谱第二章信号分析基础本章内容：

信号与测试系统信号的分类与描述周期信号与离散频谱瞬变非周期信号与连续频谱

随机信号描述测试技术基础§2.5随机信号描述（1）概述（2）随机过程的主要特征参数（3）相关分析（4）功率谱分析§2.5.1概述★随机信号特点：--具有不能被预测的瞬时值；--不能用解析的时域模型来加以描述；--能由它们的统计的和频谱的特性来加以表征。★描述随机信号必须采用概率统计的方法：--样本函数：随机信号按时间历程所作的各次长时间的观察，记作；

--样本记录：在有限时间区间上的样本函数。

--随机过程：同一试验条件下的全部样本函数的集（总体），记为。§2.5.1概述---均值、均方值、方差、概率密度函数、概率分布函数和功率谱密度函数等。---均值：---均方值：★对随机过程常用的统计特征参数：※这些特征参数均是按照集平均来计算的，即在集中的某个时刻对所有的样本函数的观测值取平均。★分类：平稳随机过程；非平稳过程。§2.5.1概述§2.5.1概述★随机信号若各种集合平均值（如均值、方差、均方值等）不随时间变化，则称该信号为平稳随机信号。平稳随机信号可分为各态历经和非各态历信号。在平稳随机信号中，若任一个样本函数的时间平均值（即对单个样本按时间历程作时间平均）等于信号的集合均值，则称该平稳随机信号为各态历经信号。在平稳随机信号中，若任一个样本函数的时间平均值（即对单个样本按时间历程作时间平均）不等于信号的集合均值，则称该平稳随机信号为非各态历经信号。◆均值

表示信号的常值分量。§2.5.2随机过程的主要特征参数对于一个各态历经过程，其均值定义为1、均值

——变量的数学期望值；

——样本函数；

——观测的时间。随机信号的均方值

定义为

——变量

的数学期望值。◆均方值描述信号的能量或强度。

的平方根称均方根值

。2、均方值§2.5.2随机过程的主要特征参数◆方差表示随机信号的波动分量，方差的平方根称为标准偏差。随机信号的方差定义为3、方差

、、之间的关系为§2.5.2随机过程的主要特征参数4、概率密度函数---概率密度函数是指一个随机信号的瞬时值落在指定区间内的概率对比值的极限值。--概率密度函数

则定义为：§2.5.2随机过程的主要特征参数4、概率密度函数§2.5.2随机过程的主要特征参数4、概率密度函数

概率密度可以直接用来判断设备的运行状态。图示为某一高速滚动轴承工作时振动加速度信号的幅值概率密度函数图，其中兰线为正常轴承的，红线为故障轴承的。由于磨损、腐蚀等故障的出现，轴承振幅增大，谐波增多，反映到概率密度上则使之变得陡峭，同时两旁展宽。因此，比较不同工况下的振动信号图，就可以大致判断设备运行状态是否发生变化。§2.5.2随机过程的主要特征参数§2.5.2随机过程的主要特征参数正常设备的时域波形和概率密度齿轮打齿的时域波形和概率密度§2.5.2随机过程的主要特征参数§2.5.3相关分析相关概念自相关函数和互相关函数相关分析的应用1、相关概念

相关：描述一个随机过程自身在不同时刻的状态间，或者两个随机过程在某个时刻状态间线性依从关系的特征。图2.x和y的相关性(a)精确相关(b)中等程度相关(c)不相关

§2.5.3相关分析2.互相关函数与自相关函数

对于各态历经过程，可定义时间变量

与

的互协方差函数为式中称

与

的互相关函数，自变量

称为时移。§2.5.3相关分析当

时，得自协方差函数其中称为

的自相关函数。§2.5.3相关分析(1)自相关函数是的偶函数，；而互相关函数通常不是自变量

的偶函数或奇函数，且

，但(2)当

时，自相关函数具有极大值，且等于信号的均方值。而互相关函数的极大值一般不在

处。自相关函数

和互相关函数

的性质：§2.5.3相关分析自相关函数

和互相关函数

的性质：(3)在整个时移域内，

的取值范围为：

的取值范围则为：(4)§2.5.3相关分析(5)互相关不等式：

定义相关系数(6)周期函数的自相关函数仍为周期函数，且两者的频率相同，但丢掉了相角信息．如果两信号

和

具有同频的周期成分，则它们的互相关函数中即使

也会出现该频率的周期成分，不收敛。同频相关，不同频不相关。§2.5.3相关分析

典型的自相关函数和互相关函数曲线(a)自相关函数(b)互相关函数

相关函数描述了两个信号间或信号自身不同时刻的相似程度，通过相关分析可以发现信号中许多有规律的东西§2.5.3相关分析例求正弦函数

的自相关函数。解：正弦函数

是一个均值为零的各态历经随机过程，其各种平均值可用一个周期内的平均值来表示。令

,则,由此得

正弦函数的自相关函数是一个与原函数具有相同频率的余弦函数，它保留了原信号的幅值和频率信息，但失去了原信号的相位信息。

自相关函数可用来检测淹没在随机信号中的周期分量。§2.5.3相关分析(1)不同类别信号的辨识

典型信号的自相关函数窄带随机信号宽带随机信号具有无限带宽的脉冲信号正弦信号周期信号与随机信号叠加3.相关函数的工程意义及应用

§2.5.3相关分析

带钢测速系统3.相关函数的工程意义及应用

(2)相关测速和测距§2.5.3相关分析案例：自相关测转速理想信号干扰信号实测信号自相关系数性质3，性质4：提取周期性转速成分。3.相关函数的工程意义及应用

§2.5.3相关分析案例：地下输油管道漏损位置的探测tt3.相关函数的工程意义及应用

§2.5.3相关分析1、自功率谱密度函数2、巴塞伐尔（Parseval）定理3、互功率谱密度函数4、自谱和互谱的估计5、工程应用§2.5.4功率谱分析

该自相关函数

满足傅里叶变换的条件对其作傅里叶变换可得1、自功率谱密度函数其逆变换为

设

为一零均值的随机过程，且

中无周期性分量，则其自相关函数

在当

时有§2.5.4功率谱分析单边功率谱和双边功率谱称为维纳—辛钦(Wiener-Khi