第七章 应力分析和应变分析

第七章

应力分析和应变分析材料力学第七章

应力分析和应变分析

本章内容:7.1应力状态的概念7.2平面应力状态分析的解析法7.3平面应力状态分析的图解法--应力圆*7.4三向应力状态7.5复杂应力状态下的应力应变关系*7.6复杂应力状态的应变能密度

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7.1应力状态的概念

在前面几章中，分别建立了应力和应变的概念，研究了杆件在不同变形条件下，横截面上任意一点的应力和应变，但不同材料在各种荷载作用下的破坏实验表明，杆件的破坏并不总是沿横截面发生。

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7.1应力状态的概念1.问题的提出

低碳钢和铸铁的拉伸实验

低碳钢的拉伸实验铸铁的拉伸实验问题：为什么低碳钢拉伸时会出现45º

滑移线？

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7.1应力状态的概念

低碳钢和铸铁的扭转实验低碳钢的扭转实验

铸铁的扭转实验问题：为什么铸铁扭转时会沿45º螺旋面断开？所以，不仅要研究横截面上的应力，而且也要研究斜截面上的应力。

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7.1应力状态的概念2.应力的三个重要概念应力的点的概念同一物体内不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。FNFS

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7.1应力状态的概念应力的面的概念过同一点的不同方向的截面上的应力各不相同，此即应力的面的概念。

应力应指明是哪一点在哪一方向面上的应力。应力状态的概念过一点的不同方向面上的应力的集合，称为这一点的应力状态。

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7.1应力状态的概念3.一点应力状态的描述

单元体

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7.1应力状态的概念单元体的边长均为无穷小量；

单元体的特点单元体的每一个面上，应力均匀分布；单元体中相互平行的两个面上，应力相同。

如何取单元体：应尽量使其三对面上的应力是已知的或是可求的。第七章

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7.1应力状态的概念通常对于矩形截面（或工字钢等），三对面中的一对面取为杆件的横截面，另外两对为平行于杆件表面的纵截面。S截面

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7.1应力状态的概念对于圆截面杆，一对面取为轴的横截面，另外两对面中有一对为轴的圆柱面，另一对则为通过杆轴线的纵截面。

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7.1应力状态的概念4.主应力及应力状态的分类

主应力和主平面切应力全为零时的正应力称为主应力；主应力所在的平面称为主平面；主平面的外法线方向称为主方向。主应力用

1,

2,

3

表示(

1

2

3)

。

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7.2平面应力状态分析的解析法7.2.1

应力分量和方向角的符号规定如图所示单元体，左、右两个方向面的外法线和x轴重合，称为x面，x面上的正应力用σx表示，切应力表示为τxy

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7.2平面应力状态分析的解析法

切应力的下标：作用面的法线切应力的方向

正负号规定：

1.正应力压为负拉为正第七章

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7.2平面应力状态分析的解析法2.切应力使单元体顺时针方向转动为正；反之为负。3.截面的方向角由x正向逆时针转到截面的外法线n的正向的

角为正;反之为负。yx

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7.2平面应力状态分析的解析法7.2.2任意方向面上的应力以单元体的一部分为研究对象。由平衡条件

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7.2平面应力状态分析的解析法

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7.2平面应力状态分析的解析法由切应力互等定理，

xy与

yx

大小相等。

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7.2平面应力状态分析的解析法7.2.3主应力与最大切应力令：可以看出：当

=

0

时，取极值的正应力为主应力。

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7.2平面应力状态分析的解析法若

0

满足上式，则

0+90º也满足上式，代入公式可得：

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7.2平面应力状态分析的解析法

正应力的不变量

截面上的正应力为:

+90º

截面上的正应力为:任意两个互相垂直的截面上的正应力之和为常数.

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7.2平面应力状态分析的解析法

最大切应力和最小切应力令：若

1

满足上式，则

1+90º也满足上式，代入公式可得：

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7.2平面应力状态分析的解析法

切应力的极值称为主切应力主切应力所在的平面称为主剪平面主剪平面上的正应力？第七章

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7.2平面应力状态分析的解析法主剪平面上的正应力将

1和

1+90º代入公式可得：即：主剪平面上的正应力为平均正应力。

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7.2平面应力状态分析的解析法

主平面与主剪平面的关系由

0

和

1

的公式可得：即：主平面与主剪平面的夹角为45º。

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7.2平面应力状态分析的解析法例7.1求图所示单元体中指定斜截面上的正应力和切应力。解：代入式（7.1）和式（7.2）可得第七章

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7.2平面应力状态分析的解析法例7.2

讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试样受扭时的破坏现象。解：

最大切应力

取单元体ABCD纯切应力状态

主应力

主方向或

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7.2平面应力状态分析的解析法

主应力排序

铸铁件破坏现象

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7.2平面应力状态分析的解析法例7.3图示一横力弯曲下的梁，已知截面m-m上A点处的弯曲正应力和切应力分别为

=-70MPa,

=50MPa。试确定A点处的主应力及主平面的方位。并讨论同一横截面上其他点的应力状态。解：

A点单元体

取x轴向右为正

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7.2平面应力状态分析的解析法

主应力

主方向或

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7.2平面应力状态分析的解析法单向拉伸

其它几点的应力状态单向压缩纯剪切

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7.2平面应力状态分析的解析法

在求出梁的横截面上一点主应力的方向后，把其中一个主应力的作用线延长，与相邻横截面相交，求出交点处的主应力方向，再将其作用线延长与下一个相邻横截面相交。以此类推，将得到一条折线，它的极限将是一条曲线。在这样的曲线上，任一点的切线方向即代表该点主应力的方向。这种曲线称为主应力迹线。经过每一点有两条相互垂直的主应力迹线，图所示表示梁内的两组主应力迹线，虚线为主压应力迹线，实线为主拉应力迹线。在钢筋混凝土梁中，钢筋的作用是抵抗拉伸。所以应使钢筋尽可能地沿主拉应力迹线的方向放置。第七章

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7.3平面应力状态分析的图解法7.3.1应力圆(莫尔圆)方程由公式平方相加，得这是以

、

为变量的圆的方程。第七章

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7.3平面应力状态分析的图解法ROC第七章

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7.3平面应力状态分析的图解法O7.3.2应力圆的画法DD

RCD(sx,txy)D

(sy,tyx)第七章

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7.3平面应力状态分析的图解法7.3.3应力圆上的点与单元体面上的应力的对应关系(1)点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一方向面上的正应力和切应力;第七章

应力分析和应变分析

7.3平面应力状态分析的图解法(2)基准相当(3)转向一致半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；D点和x面是基准;(4)角度成双半径转过的角度是方向面法线旋转角度的两倍。(1)点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一方向面上的正应力和切应力。第七章

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7.3平面应力状态分析的图解法7.3.4应力圆的应用1.确定单元体任意方向面上的正应力和切应力第七章

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7.3平面应力状态分析的图解法

1.求单元体上任意截面上的应力第七章

应力分析和应变分析

7.3平面应力状态分析的图解法2.确定单元体的主应力与面内的最大切应力

应力圆与横轴的交点A1、B1处，剪应力为零。它们的横坐标即为主应力。从半径CD转到CA1的角度即为从x轴转到主平面的角度的两倍。第七章

应力分析和应变分析

7.3平面应力状态分析的图解法在应力圆上由D点到A1点所对应圆心角为顺时针转向的

，在单元体中由x轴也按顺时针转向量取

，这就确定了所在主平面的法线的位置。按照关于

的正负号规定，顺时针转向的

是负的，应为负值。第七章

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7.3平面应力状态分析的图解法

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7.3平面应力状态分析的图解法例7.4纯剪切应力状态的单元体如图所示，试用应力圆法求主应力的大小和方向。解：在

坐标系中，按选定的比例尺，由坐标

与

分别确定D1和D2点。以线段D1D2为半径画圆。由应力圆显然可见可见该单元体为二向应力状态。第七章

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7.3平面应力状态分析的图解法解：首先建立σ–τ坐标系。根据单元体的A、D两个面上的正应力和切应力的值，在σ–τ坐标系中找到对应的点a和d，确定圆心和半径，画出应力圆。根据图中的几何关系得到由此解得例7.5对于图中所示的平面应力状态，若要求面内的最大切应力，试求的取值范围。图中应力的单位为MPa第七章

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7.3平面应力状态分析的图解法

解：取II截面的法线为y坐标轴，令显然得则I截面成为的斜截面，第七章

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7.3平面应力状态分析的图解法代入公式（7.1）得到

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7.4三向应力状态三向应力状态三个主应力均不为零的应力状态。yxz第七章

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7.4三向应力状态特例至少有一个主应力的大小方向为已知。szsxsytxytyxsytxytyxsxsz平面应力状态即为这种特例之一。第七章

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7.4三向应力状态

本节采用假设已知某一个主平面及其主应力，分析与其垂直的应力状态的方法进行研究。1、垂直于σ1所在主平面的应力

若用与σ1所在主平面垂直的任意方向面I从单元体中截出一部分，不难看出，与σ1相关的力自相平衡，因而这一组方向面上的正应力和切应力都与σ1无关。图7.17三向应力圆因此，在研究这一组方向面上的应力时，所研究的应力状态可视为图7.16b所示的平面应力状态。由σ2和σ3，可在σ–τ直角坐标系中画出应力圆，如图7.17中的A2A3圆。第七章

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7.4三向应力状态2、垂直于σ2所在主平面的应力

若用与σ2所在主平面垂直的任意方向面II从单元体中截出一部分，正应力和切应力都与σ2无关，所研究的应力状态可视为图7.16c所示的平面应力状态，由σ1和σ3，可画出应力圆A1A3。图7.17三向应力圆3、垂直于所在主平面的应力

若用与σ3所在主平面垂直的任意方向面III从单元体中截出一部分，正应力和切应力都与σ3无关，相应地，所研究的应力状态可分别视为图7.16d所示的平面应力状态，由σ1和σ2，可画出应力圆A1A2，如图7.17所示。第七章

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7.4三向应力状态图7.17所示的三个应力圆即构成了对应于三向应力状态的三向应力圆。进一步的研究可以证明，图7.18所示单元体中，和三个主应力均不平行的任意方向面上的应力，可由图7.18所示阴影面中各点的坐标决定。图7.17三向应力圆图7.18三向应力状态的任意方向面第七章

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7.4三向应力状态最大切应力在三组特殊方向面中都有各自的面内最大切应力,即：一点应力状态中的最大切应力为上述三者中最大的，即图7.17三向应力圆第七章

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7.4三向应力状态平面应力状态作为三向应力状态的特例，应注意：(1)可能是

1,也可能是

2或

3

。(2)按三个主应力的代数值排序确定

1,

2,

3。(3)第七章

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7.4三向应力状态由三向应力圆也可以很清楚地看到，一点处的最大切应力是B点的纵坐标。此最大切应力作用在与σ2主平面垂直,并与σ1和σ3所在的主平面成450角的截面上,如图7.19中的阴影面。

这里所求得的最大切应力显然大于由式（7.8）所得到的如果将平面应力状态作为三向应力状态的特殊情况，当图7.19三向应力状态的最大切应力平面这是因为在上式中，只考虑了与σ3平面垂直的各截面上切应力的最大值，并非整个单元体中切应力的最大值。7.5复杂应力状态下的应力应变关系第七章

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单向应力状态下的胡克定律或纯剪切应力状态下的剪切胡克定律或横向变形与泊松比yx7.5.1广义胡克定律7.5复杂应力状态下的应力应变关系第七章

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广义胡克定律

三向应力状态可看作是三组单向应力状态和三组纯剪切的组合。

叠加原理用叠加原理的条件：(1)各向同性材料；(2)小变形；(3)变形在线弹性范围内。yxz三个切应力分量皆与x方向的线应变无关7.5复杂应力状态下的应力应变关系第七章

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x方向的线应变

x

x引起的部分:

y引起的部分:

z引起的部分:叠加得：7.5复杂应力状态下的应力应变关系第七章

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同理可得：剪应变为：这六个公式即为广义胡克定律。7.5复杂应力状态下的应力应变关系第七章

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用主应力表示的广义胡克定律从前三式中可解出三个主应力7.5复杂应力状态下的应力应变关系第七章

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平面应力状态的广义胡克定律注：平面应力状态σz=0，εz≠07.5复杂应力状态下的应力应变关系第七章

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7.5.2体积胡克定律变形前体积变形后体积略去高阶微量7.5复杂应力状态下的应力应变关系第七章

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单位体积的改变

体积应变将广义胡克定律代入上式得7.5复杂应力状态下的应力应变关系第七章

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又可写成记

体积弹性模量

体积胡克定律7.5复杂应力状态下的应力应变关系第七章

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例7.7

已知一受扭圆轴直径d，弹性模量E，柏松比

，测得圆轴表面上一点与轴线方向成450的

45º。求：外加扭矩的值。解：在测点取单元体

纯切应力状态切应力为要求出45º方向的应变，需先求出45º方向的应力。45º方向为主应力方向7.5复杂应力状态下的应力应变关系第七章

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切应力为45º方向为主应力方向由广义胡克定律

测扭矩的方法7.5复杂应力状态下的应力应变关系第七章

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例7.8

边长为30mm的正方形钢板ABCD受到二相均匀拉应力作用（图）。已知

，钢的

。试计算方形钢板下列线段的位移：（1）AB边；（2）BC边；（3）对角线AC。解：（1）求AB边的位移（2）求BC边的位移7.5复杂应力状态下的应力应变关系第七章

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（3）求对角线AC的位移7.5复杂应力状态下的应力应变关系第七章

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例：边长a=0.1m的铜立方块，无间隙地放入体积较大、不计变形的钢凹槽中，如图所示。已知铜的弹性模量E=100GPa，泊松比，当受到合力P=300kN的均布压力作