《复变函数与积分变换》2.2 初等函数

§2.2初等函数将一元实变初等函数推广为初等复变函数的要求：①当为实数时，有完全与原实变②尽量使推广后的复变初等函数仍保留原实变初等函数的某些重要性质(如连续性、可导性等等)．函数相同．指数函数一初等实指数函数的一些重要性质：①处处可导且有②对任意的实数有③对任意的实数有

现在我们将指数函数的定义域推广到整个复数集中，使其尽可能将这些特性保持下来．即新的指数函数应满足①处处可导且有②当即为实数时有一、指数函数

定义1对于复数称为复指数函数．性质

指数函数在整个平面上都有定义，且处处解析，导函数为对任意的复数有当即为实数时有是以为周期的周期函数，指数函数一即有但一般不成立．求和解

注意例1指数函数一定义2对数函数二指数函数的反函数，称为对数函数，记为的所有解．注1这里实际上是关于的方程注2对数函数的定义域设则有于是有从而二、对数函数

主值支注意对数函数二①对数函数是一个多值函数，同一个z的任意两个函数值之间相差②对每一个固定的k值，可得一个单值函数，称为的一特别地称k=0对应的分支为对数函数的主值分支，记为③负数也有对数，如个单值分支；对数函数二例2求下列各式的值．解(1)(1)(2)(2)对数函数二例3解下列方程．解(1)(2)对数函数的性质①②③时，当这时对数函数的主值就是原实变数对数函数注意，这些等式右端必须取适当的分支才能等于左端某一分支．若仅对某一分支结论是不一定成立的．例如④在除去原点及负实轴的平面内主值支和其他分支处处连续、处处解析;且有仅就主值支而言，在除去原点外说明：而在原点及负实轴上不连续．所以，函数在除去原点及负实轴的复平面上处处连续．的复平面内处处连续，对数函数的性质类似可得：Lnz的各个单值分支在除去原点及负实轴的平面内又因为在区域内的反函数是单值的，由反函数的求导法则可知所以，函数在除去原点及负实轴的平面内解析．也是解析的，并且有相同的导数值．对数函数的性质对数函数的性质例4验证下列式子并不成立．证明可见，的值是的值的值每隔一个取一个，一个分支所给的值，不一定有对应的值与之相等．故任取三角函数三所以有因此，对任何复数z，定义余弦函数和正弦函数如下：则对任何复数z，Euler公式仍成立：由Euler公式，对任何实数x，我们有：三、三角函数与双曲函数三角函数三正弦与余弦函数的基本性质1、

和

是单值函数；2、

是偶函数，

是奇函数:3、

和

是以为周期的周期函数；

三角函数三注解：由于负数可以开平方，所以由此不能得到例如z=2i时，有正弦与余弦函数的基本性质三角函数三证明：正弦与余弦函数的基本性质6、

和

在整个复平面解析，并且有三角函数三8、同理可以定义其他三角函数：正弦与余弦函数的基本性质7、

和

在复平面的零点：在复平面的零点是在复平面的零点是分别称为复变数z的双曲正弦与双曲余弦函数．满足：和在复平面内解析，且双曲函数与三角函数的关系三角函数三三角函数与双曲函数的关系例5

求的值．解法1：解法2：三角函数三幂函数四设z为不为零的复数，a为任一复数，定义多值函数，四、幂函数而为的主值.1)当a为整数时，由于这时只有与主值相同的值，单值函数．幂函数四四、幂函数2)当互质时，由于时，有m个不同的值．当3)除此之外，具有无穷多个值．设z为不为零的复数，a为任一复数，定义多值函数，而为的主值.幂函数四四、幂函数由于对数函数的各分支在除去原点和负实轴的复平面解析，因此幂函数在除去原点和负实轴的复平面解析