专题02一元二次函数方程与不等式（知识串讲热考题型专题训练）（解析版）

专题02一元二次函数、方程与不等式知识1等式性质与不等式性质1、作差法比较大小；；.2、不等式的基本性质（1）（对称性）（2）（传递性）（3）（可加性）（4）（可乘性）；（5）（同向可加性）（6）（正数同向可乘性）（7）（正数乘方法则）知识点2基本不等式1、重要不等式：,（当且仅当时取号）.变形公式：2、基本不等式：,（当且仅当时取到等号）.变形公式：；用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要满足条件:“一正.二定.三相等”.知识点3二次函数与一元二次方程.不等式1、二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅2、解一元二次不等式的步骤第一步：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；第二步：写出相应的方程，计算判别式：①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）；②时，求根；③时，方程无解第三步：根据不等式，写出解集.3、含参数的一元二次不等式讨论依据（1）对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论；（2）当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论；（3）当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集。考点1不等式的性质与应用【例1】（2022·全国·高一期中）若，下列命题正确的是（）A．若，则B．，若，则C．若，则D．，，若，则【答案】C【解析】对于A，当时，，故A错误；对于B，当时，，故B错误；对于C，若，则，故C正确；对于D，当时，，故D错误，故选：C.【变式1-1】（2022·四川成都·高一期末（理））已知实数a，b，c满足，，那么下列选项中一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为实数a，b，c满足，，所以，对于A，因为，所以，因为，所以，所以A错误，对于B，若，则，因为，所以，所以B错误，对于C，因为，所以，所以C正确，对于D，因为，所以，因为，所以，所以D错误，故选：C【变式1-2】（2022·全国·高一课时练习）已知，下列命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【解析】对于A，当时不成立；对于B，当时，显然不成立；对于C，当时不成立；对于D，因为，所以有，即成立.故选：D．【变式1-3】（2022·江苏省如皋高一开学考试）（多选）已知，下列命题为真命题的是()A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】BCD【解析】对于选项A，若，则，故A错误；对于选项B，若，∵，∴，故B正确；对于选项C，若，则，故，故C正确；对于选项D，若，则，故D正确．故选：BCD．【变式1-4】（2022·全国·高一课时练习）（多选）已知，则下列命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】BD【解析】当时，如，时成立，A错；若则一定有，所以时，一定有，B正确；，但，C错；，则，D正确．故选：BD．【变式1-5】（2022·全国·高一课时练习）（多选）若a，b，，则下列命题正确的是（）A．若，则B．若a，，则C．若，，则D．若，则【答案】ABC【解析】对于A，因为，所以，即，故A正确；对于B，，故，B正确；对于C，若，，则，即，故C正确；对于D，当，时，满足，但，故D不正确．故选：ABC．考点2利用不等式求代数式的取值范围【例2】（2020·陕西·榆林市第十高二期中）若，，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，则，所以，，又因为，因此，.故选：B.【变式2-1】（2022·湖北·沙市高一阶段练习）已知，，则的取值范围为_________【答案】【解析】令，则，所以，可得，故，而，故.故答案为：【变式2-2】（2022·河南省叶县高级高一阶段练习）已知，，则的取值范围为__________．【答案】【解析】根据题意，，，∴，即的取值范围为．故答案为：.【变式2-3】（2022·江苏·南京市中华高一阶段练习）已知，.（1）分别求a，c的取值范围；（2）求的取值范围.【答案】（1），；；（2）．【解析】（1）设，，则，，，，由，则，，则的取值范围是，的取值范围是；（2），由，，则，，则.【变式2-4】（2022·全国·高一课时练习）已知，，求的取值范围．【答案】【解析】令，解得，∴，∵，∴①，∵，∴②，①②，得，∴．考点3解一元二次不等式【例3】（2022·全国·高一专题练习）不等式的解集为_________．【答案】【解析】由，得，由解得，所以不等式的解集为.故答案为：【变式3-1】（2022·全国·高一专题练习）不等式的解集是_____.【答案】【解析】由，得，解得，所以不等式的解集为.故答案为：【变式3-2】（2022·全国·高一专题练习）解不等式：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）【解析】（1），原不等式可化为：，所以原不等式的解集为．（2），故，解得.所以原不等式的解集为.【变式3-3】（2022·全国·高一课时练习）解不等式：．【答案】答案见解析【解析】且．当时，且且，此时原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，且且或，此时原不等式的解集为或．综上可知，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或．【变式3-4】（2022·广东·深圳市第二高级高一开学考试）解下列关于x的不等式：（1）；（2）【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）当时，，原不等式变形为，解得，故不等式的解集为，当时，，原不等式变形为，解得，故不等式的解集为，综上所述，不等式的解集为；（2）当时，则，解得，故不等式的解集为；当时，不等式因式分解可得，当时，则，解得，故不等式的解集为；当时，，解得，故不等式的解集为；当，即时，化为，解得或，故不等式的解集为；当，即时，化为，解得或，故不等式的解集为；综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.【变式3-5】（2022·全国·高一专题练习）关于的不等式的解集中恰有1个整数，则实数的取值范围是_________.【答案】【解析】由得，若，则不等式无解；若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有1个整数解，则此时1个整数解为，则；若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有1个整数解，则此时1整数解为，则．综上，满足条件的的取值范围是．故答案为：.考点4三个“二次”之间的关系【例4】（2022·全国·高一课时练习）已知函数（）的最小值为0，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为（）A．9B．8C．6D．4【答案】D【解析】∵函数（）的最小值为0，∴，∴，∴函数，其图像的对称轴为．∵不等式的解集为，∴方程的根为m，，∴，解得，，又∵，∴．故A，B，C错误.故选：D．【变式4-1】（2022·陕西·榆林市第十高一阶段练习）已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集是___________．【答案】【解析】关于x的不等式的解集为则方程的两个分别为：，且由韦达定理得：所以不等式转化为：，整理得即，解得：所以不等式的解集为：.故答案为：.【变式4-2】（2022·江苏省如皋高一开学考试）已知关于的不等式的解集为或，则关于不等式的解集为_________.【答案】【解析】由关于的不等式的解集为或，可知，且和是方程的两根，故由根与系数的关系得，，又故关于不等式等价为，即，即，解得，故答案为：【变式4-3】（2022·全国·高一专题练习）已知不等式的解是，则_____．【答案】【解析】依题意不等式的解是，所以，解的.故答案为：【变式4-4】（2022·湖南·株洲高一开学考试）已知不等式的解集为，求不等式的解集.【答案】或【解析】依题意，和是方程的两根，法1：由韦达定理，，解得，法2：直接代入方程得，，解得，不等式为，即：，解得：或，不等式的解集为或.考点5一元二次不等式恒成立与有解问题【例5】（2022·陕西·榆林市第十高一阶段练习）若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为()A．B．C．D．或【答案】B【解析】当a＝0时，不等式变为－2＜0恒成立，故a＝0满足题意；当a≠0时，若恒成立，则，即，解得．综上，．故选：B．【变式5-1】（2022·江苏省如皋高一开学考试）命题“”为假命题，则实数的取值范围是（）A．或B．C．D．【答案】C【解析】由题意得：为真命题，当时，，满足要求，当时，要满足，解得：，综上：实数的取值范围是，故选：C【变式5-2】（2022·全国·高一专题练习）不等式的解集为R，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】当时，原不等式为满足解集为R；当a≠2时，根据题意得，且，解得．综上，的取值范围为．故选：B．【变式5-3】（2022·全国·高一单元测试）已知，恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，恒成立，可得在上恒成立，即即.故选：D.【变式5-4】（2022·河南·濮阳一高高一期中（理））已知当时，恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】恒成立，即，对任意得恒成立，令，，当时，，不符题意，故，当时，函数在上递增，则，解得或（舍去），当时，函数在上递减，则，解得或（舍去），综上所述，实数的取值范围是.故选：D.【变式5-5】（2022·全国·高一课时练习）若对于任意，都有成立，则实数m的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题可得对于恒成立，即解得:.故选：B.【变式5-6】（2022·湖北黄石·高一期末）若关于x的不等式在上有实数解，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由不等式在上有实数解，等价于不等式在上有实数解，因为函数在上单调递减，在单调递增，又由，所以，所以，即实数的取值范围是.故选：A.【变式5-7】（2022·全国·高一课时练习）若关于的不等式在有解，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，其对称轴为，关于的不等式在有解，当时，有，，即，可得或．故选：B．考点6利用基本不等式求最值【例6】（2022·福建省永泰县第一高一开学考试）（1）已知，且，求的最大值.（2）已知a，b是正数，且满足，求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，即，由基本不等式可得，即当且仅当时，即，等号成立.所以的最大值为（2）由基本不等式，可得当且仅当，即当时，等号成立，所以的最小值为【变式6-1】（2022·黑龙江·肇州县第二高一阶段练习）已知，且满足．（1）若，求的值；（2）求：的最大值与最小值．【答案】（1）或；（2）最大值为，最小值为．【解析】（1），，，是方程的两根，或（2）令，由已知得：，两边同时乘以，得，，当且仅当时取等号，，整理得：，解得，即的最大值为，最小值为．【变式6-2】（2022·江苏省如皋高一开学考试）（1）求函数的最小值.（2）已知，，且，求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】（1），，，当且仅当时，即时，函数有最小值；（2）由题意，，又，，，当且仅当，即是等号成立，结合，知时，有最小值为.【变式6-3】（2022·全国·高一课时练习）下列结论正确的是（）A．当时，B．当时，C．当时，的最小值是D．当时，的最小值为1【答案】B【解析】当时，，当且仅当，即时等号成立，但已知条件中，故A错误；当时，，当且仅当，即时等号成立，故B正确；当时，，当且仅当，即时等号成立，但已知条件中，等号不成立，故C错误；当时，，当且仅当，即时等号成立，但已知条件中，等号不成立，故D错误．故选：B.【变式6-4】（2022·江苏省如皋高一开学考试）（多选）下列命题中，真命题的是（）A．，都有B．，使得C．任意非零实数，都有D．函数的最小值为【答案】AB【解析】对于A，，所以，都有成立，故为真命题.对于B，显然当时，成立，故为真命题.对于C，当时，则，故不成立，为假命题.对于D，，当且仅当时，取等号，即，显然无解，即取不到最小值，故不成立，为假命题.故选:AB.考点7基本不等式恒成立问题【例7】（2022·湖北·沙市高一阶段练习）若两个正实数满足，若至少存在一组使得成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】至少存在一组使得成立，即，又由两个正实数满足，可得，当且仅当，即时，等号成立，，故有，解得，故，所以实数的取值范围是故选：C.【变式7-1】（2022·江苏·南京市中华高一阶段练习）若命题“对任意的，恒成立”为假命题，则m的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】当原命题为真时，恒成立，即，由命题为假命题，则．故选：A.【变式7-2】（2022·全国·高一课时练习）已知正数、满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，，则，，所以，，所以，当且仅当时，即，时等号成立．又恒成立，所以．故选：C.【变式7-3】（2022·全国·高一专题练习）若不等式对满足条件的恒成立，则实数k的最大值为（）A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】根据

，当且仅当时，取等号，化简可得，因为，所以，，所以运用，可得，当且仅当，即时，取等号，又因为恒成立，所以，即k的最大值是4．故选：B．【变式7-4】（2022·全国·高一课时练习）对所有的正实数x、y恒成立，则实数a最大值是（）A．1B．C．D．【答案】B【解析】依题意可知，对所有的正实数，恒成立，当且仅当时取等号，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，当且仅当时取等号，所以实数的最大值为故选：【变式7-5】（2022·全国·高一专题练习）若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是________.【答案】.【解析】当且仅当，即且时取等号.恒成立，则解得即故答案为：考点8基本不等式在实际中的应用【例8】（2022·全国·高一专题练习）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．（1）若菜园面积为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？（2）若使用的篱笆总长度为30m，求的最小值．【答案】（1）菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小；（2）．【解析】（1）由已知可得xy＝72，而篱笆总长为x+2y．又∵x+2y≥224，当且仅当x＝2y，即x＝12，y＝6时等号成立．∴菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小．（2）由已知得x+2y＝30，又∵（）•（x+2y）＝55+29，∴，当且仅当x＝y，即x＝10，y＝10时等号成立．∴的最小值是．【变式8-1】（2022·全国·高一课时练习）某种商品原来毎件售价为元，年销售万件．（1）据市场调查，若价格毎提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少？（2）为了扩大商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高价格到元，公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为固定宣传费用，试问：该商品明年的销售量至少达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和并求出此时每件商品的定价．【答案】（1）元；（2）改革后销售量至少达到万件，才满足条件，此时定价为元件【解析】（1）设每件定价为元，则，整理得，要满足条件，每件定价最多为元；（2）由题得当时：有解，即：有解．又，当且仅当时取等号，即改革后销售量至少达到万件，才满足条件，此时定价为元件【变式8-2】（2022·湖南·高一课时练习）某商品进货价为每件50元，经市场调查得知，当销售单价（元）在区间时，每天售出的件数．若想每天获得的利润最大，销售价格应定为每件多少元？【答案】60【解析】解析设销售价格定为每件x(50≤x≤80)元，每天获得利润为y元，则y＝(x－50)·P＝，设x－50＝t，则0≤t≤30，所以y＝＝＝≤＝2500，当且仅当t＝10，即x＝60时，ymax＝2500．若想每天获得的利润最大，销售价格应定为每件60元【变式8-3】（2022·全国·高一单元测试）如图，长方形表示一张（单位：分米）的工艺木板，其四周有边框（图中阴影部分），中间为薄板.木板上一瑕疵（记为点P）到外边框的距离分别为1分米，2分米.现欲经过点P锯掉一块三角形废料，其中M，N分别在上.设的长分别为m分米，n分米.（1）求的值；（2）为使剩下木板的面积最大，试确定m，n的值；（3）求剩下木板的外边框长度（的长度之和）的最大值及取得最大值时m，n的值.【答案】（1）1；（2）；（3）最大值为分米，此时.【解析】（1）过点分别作的垂线，垂足分别为，则，所以，则，整理可得；（2）要使剩下木板的面积最大，即要锯掉的三角形废料的面积最小，因为，则，可得，当且仅当，即时，等号成立，所以当时，剩下木板的面积最大；（3）要使剩下木板的外边框长度最大，则锯掉的边框长度最小，则，当且仅当，即时等号成立，故此时剩下木板的外边框长度的最大值为分米，此时.【变式8-4】（2022·全国·高一）浙江某物流公司准备建造一个仓库，打算利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面积为16平方米，且背面靠墙的长方体形状的物流仓库.由于其后背靠墙，无需建造费用，因此，甲工程队给出的报价如下:屋子前面新建墙体的报价为每平方米150元，左右两面新建墙体的报价为每平方米75元，屋顶和地面以及共他报价共计4800元，设屋子的左右两面墙的长度均为米.（1）当左右两面墙的长度为4米时，求甲工程队的报价；（2）现有另一工程队乙工程队也参与此仓库建造竞标，其给出的整体报价为元.若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竟标成功（价低者为成功），求的取值范围.【答案】（1）9600元；（2）【解析】（1）剩余一面墙的长度为（米），则报价为（元）（2）由题意可知，，，，，即，设，所以，由对勾函数的性质得函数在单调递增，所以当时，.又，所以.1．（2022·辽宁·新民市第一高级高一期末）已知，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，不妨取.对于A：，故不成立；对于B：，故不成立；对于C：，故不成立；对于D：因为，所以，所以，即.故选：D2．（2022·贵州遵义·高一期末）负实数，满足，则的最小值为（）A．0B．C．D．【答案】A【解析】根据题意有，故，当且仅当，时取等号.故选：A3．（2022·全国·高一课时练习）若，，则的最小值是（）A．16B．18C．20D．22【答案】C【解析】因为，，所以当且仅当时，等号成立，所以的最小值是20.故选：C4．（2022·全国·高一课时练习）已知，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由于，所以所以，当且仅当，即时取等号.故选：A.5．（2022·全国·高一专题练习）已知为实数，且，则下列命题错误的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】C【解析】对于A，由基本不等式可知当时，，当且仅当时取等号，所以A正确，对于B，因为，，所以，且，所以，当且仅当时取等号，所以B正确，对于C，若，则，所以C错误，对于D，因为，，所以，且，所以，，所以且，所以D正确，故选：C6．（2022·浙江浙江·高一期中）已知正数，满足，则的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】根据题意可得，由，所以，由，可得，即，，当且仅当，时取等号，所以的最小值为.故选：B.7．（2022·河南·濮阳一高高一期中（文））已知正数满足，则的最小值是A．18B．16C．8D．10【答案】A【解析】当且仅当，即，时，取得最小值故选.8．（2021·安徽合肥·高一期末）已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，，且，所以，当且仅当时，等号成立；又不等式恒成立，所以只需，即，解得.故选：A.9．（2021·广东深圳·高一期末）已知，若不等式恒成立，则的最大值为（）A．13B．14C．15D．16【答案】D【解析】因为，所以，所以恒成立，只需因为，所以，当且仅当时，即时取等号.所以.即的最大值为16.故选：D10．（2019·湖南·华容县教育科学研究室高一期末）不等式的解集是（）A．全体实数B．空集C．正实数D．负实数【答案】B【解析】所以不等式的解集为空集．故选：B．11．（2022·陕西汉中·高一期末）若关于x的不等式的解集是R，则m的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，1）C．（1，1）D．[1，+∞）【答案】A【解析】当时，，得，不合题意，当时，因为关于x的不等式的解集是R，所以，解得，综上，m的取值范围是（1，+∞），故选：A12．（2022·贵州毕节·高一期末）已知不等式的解集为，则a，b的值是（）A．，B．，C．6，3D．3，6【答案】B【解析】由题意知得：和是方程的两个根可得：，，即，解得：，，故选：B13．（2022·河南开封·高一期末）关于的不等式的解集为，且，则（）A．3B．C．2D．【答案】A【解析】由不等式的解集为，得，不等式对应的一元二次方程为，方程的解为，由韦达定理，得，，因为，所以，即，整理，得.故选：A14．（2022·全国·高一课时练习）某大型广场计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个矩形音乐喷泉综合体，该项目由矩形核心喷泉区（阴影部分）和四周的绿化带组成．规划核心喷泉区的面积为，绿化带的宽分别为2m和5m（如图所示）．当整个项目占地面积最小时，核心喷泉区的边的长度为（）A．20mB．50mC．mD．100m【答案】B【解析】设，则，所以，当