专题11双曲线及其性质（知识梳理专题过关）（解析版）

专题11双曲线及其性质【知识梳理】知识点一：双曲线的定义平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为．注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支．（2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线．（3）时，点的轨迹不存在．在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：=1\*GB3①条件“”是否成立；=2\*GB3②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用．知识点二：双曲线的方程、图形及性质双曲线的方程、图形及性质标准方程图形A2A2焦点坐标，，对称性关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称顶点坐标，，范围实轴、虚轴实轴长为，虚轴长为离心率渐近线方程令，焦点到渐近线的距离为令，焦点到渐近线的距离为点和双曲线的位置关系共焦点的双曲线方程共渐近线的双曲线方程切线方程为切点为切点切线方程对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得．切点弦所在直线方程为双曲线外一点为双曲线外一点点为双曲线与两渐近线之间的点弦长公式设直线与双曲线两交点为，，．则弦长，，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数．通径通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为焦点三角形双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形，设，，，则，，焦点三角形中一般要用到的关系是等轴双曲线等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为．【专题过关】【考点目录】考点1：双曲线的定义与标准方程考点2：双曲线方程的充要条件考点3：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题考点4：双曲线上两点距离的最值问题考点5：双曲线上两线段的和差最值问题考点6：离心率的值及取值范围考点7：双曲线的简单几何性质问题考点8：利用第一定义求解轨迹考点9：双曲线的渐近线考点10：共焦点的椭圆与双曲线【典型例题】考点1：双曲线的定义与标准方程1．（2022·江西科技学院附属高二期中（理））已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2－y2＝1的左、右焦点，P为双曲线左支上任意一点，过点F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|＝（

）A．1 B．2C．4 D．【答案】A【解析】如图所示，延长F1H交PF2于点Q，由PH为∠F1PF2的平分线及PH⊥F1Q，易知，所以|PF1|＝|PQ|.根据双曲线的定义，得|PF2|－|PF1|＝2，即|PF2|－|PQ|＝2，从而|QF2|＝2.在△F1QF2中，易知OH为中位线，则|OH|＝1.故选：A.2．（2022·黑龙江·铁人高二期中）双曲线（）的左、右两个焦点分别是与，焦距为；是双曲线左支上的一点，且，则的值为（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【解析】依题意，所以，即，因为，且，所以.故选：B3．（2022·天津·耀华高二期中）与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】椭圆的焦点坐标为，设双曲线的标准方程为，由双曲线的定义可得，，，，因此，双曲线的方程为.故选：C.4．（2022·河北·高二期中）已知双曲线的左､右焦点分别为，，为坐标原点，，点是双曲线左支上的一点，若，，则双曲线的标准方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意知：双曲线的焦距为，，，.，不妨设，，由双曲线的定义可得：，，，由勾股定理可得：，解得：，，双曲线方程为.故选：C.5．（2022·北京工业大学附属高二期中）已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】设双曲线的标准方程为，半焦距为c，则由题意可知，，即，故，所以双曲线的标准方程为.故选：C．6．（2022·广西·钦州高二期中（文））已知平面内两定点，，下列条件中满足动点的轨迹为双曲线的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意，因为，所以由双曲线的定义知，当时，动点的轨迹为双曲线，故选：C.7．（2022·福建·南靖县第一高二期中）（1）求以（-4，0），（4，0）为焦点，且过点的椭圆的标准方程.（2）已知双曲线焦点在y轴上，焦距为10，双曲线的渐近线方程为，求双曲线的方程．【解析】（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为.又椭圆过点，将x=3，y=代入方程得，解得λ=11或(舍去).故所求椭圆的标准方程为.（2）由题意，设双曲线的标准方程为，设焦距为2c，∴，解得，∴该双曲线的方程为．8．（2022·黑龙江·大兴安岭实验高二期中）求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点分别为，，且经过点；(2)经过点，；【解析】(1)由题易知焦点在y轴上，设双曲线的方程则解得：所以所求双曲线的标准方程为(2)设双曲线的方程为：代入点坐标得到：解得：故双曲线的标准方程为：考点2：双曲线方程的充要条件9．（多选题）（2022·全国·高二期中）已知曲线.则（

）A．若m>n>0，则C是椭圆B．若m=n>0，则C是圆C．若mn<0，则C是双曲线D．若m=0，n>0，则C是两条直线【答案】ABCD【解析】A选项，当时，，，方程表示焦点在轴上的椭圆，A选项正确.B选项，当时，，表示圆，B选项正确.C选项，当时，，表示双曲线，C选项正确.D选项，当时，，表示两条直线，D选项正确.故选：ABCD10．（2022·河南·高二期中（文））已知，则“”是“方程表示双曲线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由方程表示双曲线可得，解得，显然能推出，反之不能推出，故“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件.故选：A.11．（2022·吉林·辽源市田家炳高级中高二期中（理））“”是“方程表示的曲线为双曲线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当，则且或且，此时方程表示的曲线一定为双曲线；则充分性成立；若方程表示的曲线为双曲线，则，则必要性成立，故选：.考点3：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题12．（2022·安徽·淮北师范大学附属实验高二期中）已知、是等轴双曲线的左、右焦点，点在上，，则等于___________.【答案】【解析】∵双曲线的方程为：，∴，得，由此可得、，焦距，∵，∴，即，①又∵点在双曲线上，∴，平方得，②①②，得，故答案为：.13．（2022·上海金山·高二期中）已知､分别为双曲线的左、右焦点，若点到该双曲线的渐近线的距离为2，点在双曲线上，且，则三角形的面积为___________.【答案】【解析】双曲线的渐近线的方程为，右焦点由点到该双曲线的渐近线的距离为2可得，，则由，可得则三角形的面积为故答案为：14．（多选题）（2022·湖南省汨罗市第二高二期中）已知点P是双曲线E：的右支上一点，，为双曲线E的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（

）A．点P的横坐标为 B．的周长为C．小于 D．的内切圆半径为【答案】ABC【解析】因为双曲线，所以，又因为，所以,将其代入得，即，所以选项A正确；所以P的坐标为，由对称性可知，由双曲线定义可知所以的周长为:，所以选项B正确；可得，，则，则，，所以选项C正确；因为的周长为，所以，所以，所以选项D不正确．故选：ABC.15．（2022·四川·阆中高二期中（文））已知为双曲线：的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．【答案】8【解析】由题意得，，由双曲线的对称性以及可知，四边形为矩形，所以，解得，所以四边形的面积为．故答案为：．16．（2022·广东·江门市第二高二期中）双曲线上一点与它的一个焦点的距离等于1，那么点与另一个焦点的距离等于___________.【答案】17【解析】由双曲线的方程可得实半轴长为，虚半轴长为，故.因为点与一个焦点的距离等于1，而，故点与该焦点同在轴的上方或下方，故点与另一个焦点的距离为，故答案为：.17．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二高二期中（理））已知双曲线的左､右焦点分别为，，点P是双曲线左支上一点且，则______．【答案】3【解析】因为双曲线为，所以、，因为点P是双曲线左支上一点且，所以，所以，，在中，由正弦定理可得，所以；故答案为：18．（2022·天津市咸水沽第二高二期中）已知，分别是双曲线的左､右焦点，AB是过点的一条弦（A，B均在双曲线的左支上），若的周长为30，则___________.【答案】9【解析】双曲线，得a＝3，因为A，B均在双曲线的左支上，所以，则△ABF2的周长为，所以2|AB|+4×3＝30，所以．故答案为：9．19．（2022·吉林·白城高二期中）双曲线的两个焦点为,点在双曲线上，若·＝0，则点到轴的距离为________．【答案】【解析】设，由题意可知，·＝0，,,,,,,,点到轴的距离为.故答案为：20．（2022·上海市崇明高二期中）已知双曲线的两个焦点分别为、，为双曲线上一点，且，则的面积为_________.【答案】9【解析】依题意，双曲线的焦点、，，因，则有，即有，解得，所以的面积.故答案为：921．（2022·江苏·高二专题练习）双曲线过焦点的弦AB，A、B两点在同一支上且长为m，另一焦点为，则的周长为（

）．A．4a B．4a－m C．4a＋2m D．4a－2m【答案】C【解析】由双曲线的定义得：①，②，两式相加得：，即，所以，故的周长为.故选：C22．（2022·新疆·乌鲁木齐101高二期中（文））设，是双曲线的左、右焦点，P为双曲线上一点，且，则的面积等于（

）A．6 B．12 C． D．【答案】A【解析】双曲线的实半轴长，半焦距，因此，，因，由双曲线定义得，解得，，显然有，即是直角三角形，所以的面积.故选：A23．（2022·辽宁大连·高二期中）已知，分别是双曲线的左､右焦点，若P是双曲线左支上的点，且.则的面积为（

）A．8 B． C．16 D．【答案】C【解析】因为P是双曲线左支上的点，所以，两边平方得，所以.在中，由余弦定理得，所以，所以.故选：C考点4：双曲线上两点距离的最值问题24．（2022·上海东校高二期末）过椭圆右焦点F的圆与圆外切，该圆直径的端点Q的轨迹记为曲线C，若P为曲线C上的一动点，则长度最小值为（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】C【解析】椭圆，，所以.设以为直径的圆圆心为，如图所示：因为圆与圆外切，所以，因为，，所以，所以的轨迹为：以为焦点，的双曲线的右支.即，曲线.所以为曲线上的一动点，则长度最小值为.故选：C25．（2022·安徽省宣城市第二高二阶段练习（理））已知分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若内切圆圆心为，则圆心到圆上任意一点的距离最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设的内切圆分别与切于点，与切于点，则，．又点在双曲线右支上，，即，

①，又

②，由①＋②，解得，又，则，因为双曲线的，所以内切圆圆心与在直线上，设，设圆的圆心为，则，所以，当时，，此时圆上任意一点的距离最小值为．故选：C．26．（2022·101高二期末）双曲线的右焦点为，点在椭圆的一条渐近线上.为坐标原点，则下列说法错误的是（

）A．该双曲线离心率为B．双曲线与双曲线的渐近线相同C．若，则的面积为D．的最小值为【答案】B【解析】A.因为双曲线方程为，所以，则，故正确；B.双曲线的渐近线为，双曲线的渐近线方程为，故错误；C.设，因为点P在渐近线上，不妨设渐近线方程为，即为直线PO的方程，又因为，所以直线PF的方程为，由，解得，即，所以，故正确；D.，其中一条渐近线为，则的最小值为点F到渐近线的距离，即，故正确.故选：B27．（2022·北京高二期中）已知定点A、B，且|AB|＝4，动点P满足||PA|﹣|PB||＝3，则|PA|的最小值是（

）A． B． C． D．5【答案】A【解析】由动点P满足||PA|﹣|PB||＝3，且故可得点的轨迹为以为左右焦点的双曲线，故可得，解得，由双曲线的几何性质可得的最小值为.故选：A.考点5：双曲线上两线段的和差最值问题28．（2022·湖南·长沙市南雅高二期中）设双曲线C：的左焦点和右焦点分别是，，点A是C右支上的一点，则的最小值为___________.【答案】8【解析】由双曲线C：，可得，，所以，所以，，由双曲线的定义可得，所以，所以，由双曲线的性质可知：，令，则，所以，记，设，则，所以，即在上单调递增，所以当时，取得最小值，此时点A为双曲线的右顶点（1，0）．故答案为：8．29．（2022·黑龙江·鸡西市第高二期中）P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和上的点，则|PM|－|PN|的最大值为_________.【答案】【解析】设双曲线的左右焦点为，则，圆的圆心为，半径为.圆的圆心为，半径为，由圆的对称性可得，，所以，即|PM|－|PN|的最大值为.故答案为：30．（2022·黑龙江·哈高二期中）已知双曲线的方程为，如图所示，点，是圆上的点，点为其圆心，点在双曲线的右支上，则的最小值为______【答案】.【解析】由双曲线，可得，则，如图所示，设点的坐标为，则点是双曲线的焦点，根据双曲线的定义，可得，所以，又由是圆上的点，圆的圆心为，半径为，所以，所以，当点在线段上时，取得等号，即的最小值为.故答案为：.31．（2022·北京·高二期中）已知点，，，动点M到A的距离比到B的距离多2，则动点M到B，C两点的距离之和的最小值为___________.【答案】4【解析】点，，且动点M到A的距离比到B的距离多2，所以，故动点M的轨迹为双曲线右侧一支，则动点M到B，C两点的距离之和，当且仅当M，A，C三点共线时取等号，所以动点M到B，C两点的距离之和的最小值为4.故答案为：4.32．（2022·湖南·嘉禾县第一高二阶段练习）过双曲线的右支上的一点P分别向圆和圆作切线，切点分别为M，N，则的最小值为（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【解析】设双曲线的左、右焦点分别为，．故选：B33．（2022·四川省江油市第一高二期中（文））已知为双曲线的左､右焦点，点在双曲线的右支上，点是平面内一定点.若对任意实数，直线与双曲线的渐近线平行，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵双曲线C：，∴双曲线的渐近线方程为，∵对任意实数m，直线与双曲线C的渐近线平行，∴直线与双曲线的渐近线方程为平行，∴，∴，∴为，∵，∴，∴，∴的最小值为.故选：A.34．（2022·吉林市田家炳高级高二期中）设是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由双曲线，可知，，则，所以，，点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为，由于是双曲线右支上的动点，由双曲线定义可得，，而，两式相加得，当且仅当、、三点共线时等号成立，则的最小值为．故选：．35．（2022·江西南昌·高二期中（理））设是双曲线的右支上的点，则代数式的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，设,上式表示,由于双曲线的左焦点为,双曲线的实轴,,,,当在的延长线与双曲线右支的交点处时取到等号，所以的最小值为.故选：B考点6：离心率的值及取值范围36．（2022·广东·汕头市潮南区陈店实验高二阶段练习）已知，，，是双曲线的两个焦点，若点Р为椭圆上的动点，当P为椭圆的短轴端点时，取最小值，则椭圆离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】假设点在轴上方，设，则，由已知得，，设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，∴，，∴考虑对勾函数，由于为椭圆的短轴端点时，，取最小值，即取最小值，也取最小值，此时，∵函数在上单调递减，∴，即，解得.即椭圆离心率的取值范围为.故选：.37．（2022·四川省仁寿县文宫高二阶段练习（文））已知，是双曲线（，）的左、右焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意,F1(−c,0),F2(c,0)，设一条渐近线方程为y=x,则F1到渐近线的距离为.设F1关于渐近线的对称点为M,F1M与渐近线交于A,∴|MF1|=2b,A为F1M的中点，又O是F1F2的中点,∴OA∥F2M,∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4(c2−a2),∴c2=4a2，∴c=2a，∴e=2.故选：C38．（2022·福建·泉州市城东高二期中）已知双曲线的右顶点为，若以点为圆心，以为半径的圆与的一条渐近线交于，两点，且，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】过点作于点，则点为线段的中点，因为点为，渐近线方程为，所以点到渐近线的距离为，在中，，在中，，因为，所以，所以，即，所以离心率．故A，B，D错误.故选：C．39．（2022·江西省万载高二阶段练习（理））已知双曲线两条渐近线的夹角为60°，则该双曲线的离心率为（

）A．2 B． C．2或 D．或【答案】C【解析】由题设，渐近线与x轴夹角可能为30°或60°，当，则，故；当，则，故；所以双曲线的离心率为2或.故选：C40．（2022·福建·厦门外国语高二期末）如图所示，，是双曲线：的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于A，两点．若，则双曲线的离心率为（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】，不妨令，，，，，又由双曲线的定义得：，，，，．在中，，又，，双曲线的离心率．故选;C41．（2022·广东汕头·高二期末）已知双曲线（a、b均为正数）的两条渐近线与直线围成的三角形的面积为，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．2【答案】D【解析】双曲线的渐近线为，令，可得，不妨令，，所以，所以，，即，所以，所以；故选：D42．（2022·湖北·鄂州市教学研究室高二期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线C有一个交点P，设的面积为S，若，则双曲线C的离心率为（

）A．2 B． C． D．2【答案】C【解析】依题意，，令，，则有，由得：，即有，而，所以.故选：C43．（2022·安徽省临泉第一高二期末）已知双曲线的两个焦点分别为，，是双曲线上一点，若，，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，则，又因为，，即，所以，，所以，则，故选：B.44．（2022·江西上饶·高二期末（文））已知双曲线的焦距为为其左右两个焦点，直线l经过点且与渐近线平行，若l上存在第一象限的点P满足，则双曲线C离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为满足的所有点在以为焦点，长轴长为，短轴长为的双曲线，即上.故若l上存在第一象限的点P满足，则双曲线与直线l有交点即可.又直线，数形结合可得，当或的经过一象限的渐近线的斜率即可，两种情况均有，故，故离心率故选：A考点7：双曲线的简单几何性质问题45．（多选题）（2022·河北·衡水市第二高二期中）已知曲线：，则（

）A．若，则曲线是圆，其半径为B．若，则曲线是椭圆，其焦点在轴上C．若曲线过点，，则是双曲线D．若，则曲线不表示任何图形【答案】BC【解析】对于A，时，曲线可化为，其半径为，故A错误；对于B，时，曲线可化为表示的是椭圆，而，所以其焦点在轴上，故B正确；对于C，将点，，代入曲线：，有，，所以曲线是双曲线，故C正确；对于D，若，，满足条件，此时曲线：，表示两条直线，故D错误，故选：BC.46．（多选题）（2022·江苏连云港·高二期中）关于的方程（其中）表示的曲线可能是（

）A．焦点在轴上的双曲线 B．圆心为坐标原点的圆C．焦点在轴上的双曲线 D．长轴长为的椭圆【答案】BC【解析】，当时，，此时表示圆，故B正确.当，则，故表示焦点在轴上的椭圆，若此时长轴长为，则即，矛盾，故D错误.若或，则，故表示焦点在轴上的双曲线，故A错误，C正确.若或，则，故方程表示焦点在轴上的椭圆，若长轴长为，则即，矛盾，故D错误.故选：BC.47．（多选题）（2022·河北省曲阳县第一高级高二期中）若方程所表示的曲线为，则下面四个选项中正确的是（

）A．若，则曲线为椭圆B．若曲线为椭圆，且长轴在轴上，则C．若曲线为双曲线，则或D．曲线可能是圆.【答案】BCD【解析】A.若方程表示椭圆，则，解得且，故错误；B.若曲线为椭圆，且长轴在轴上，则，解得，故正确；C.若曲线为双曲线，则，解得或，故正确；D.曲线是圆，则，解得，故正确；故选：BCD48．（多选题）（2022·云南·罗平县第一高二开学考试）已知曲线，则（

）A．当时，则的焦点是，B．当时，则的渐近线方程为C．当表示双曲线时，则的取值范围为D．存在，使表示圆【答案】ABD【解析】对于A，当时，曲线，则的焦点是，，所以A正确；对于B，当时，曲线，则的渐近线方程为，所以B正确；对于C，当表示双曲线时，，解得：或，所以C不正确；对于D，当，即时，曲线表示圆，所以D正确.故选：ABD.49．（多选题）（2022·江苏江苏·高二期中）已知双曲线：，则（

）A．双曲线的焦距为4 B．双曲线的两条渐近线方程为：C．双曲线的离心率为 D．双曲线有且仅有两条过点的切线【答案】ABD【解析】由双曲线标准方程得，，所以，焦距为4，A正确；，渐近线方程为，B正确；离心率为，C错误；设过的直线的方程为，代入双曲线方程得：（*），，即时，方程（*）只有一解，此时直线与渐近线平行，与双曲线相交，又由得，此时方程（*）有两个相等的实数解，此时直线与双曲线相切，即相切的直线有两条，D正确．故选：ABD．50．（多选题）（2022·黑龙江·哈师大附中高二开学考试）双曲线的标准方程为，则下列说法正确的是（）A．该曲线两顶点的距离为B．该曲线与双曲线有相同的渐近线C．该曲线上的点到右焦点的距离的最小值为1D．该曲线与直线：，有且仅有一个公共点【答案】CD【解析】由已知双曲线中，则，顶点为和，距离为2，A错；该双曲线的渐近线方程是，而双曲线的渐近线方程是，不相同，B错；该双曲线上的点到焦点的距离的最小值为，C正确；直线与该双曲线的一条渐近线平行，与双曲线有且只有一个公共点，D正确，故选：CD．51．（2022·上海市新场高二期中）当时，方程所表示的曲线是（

）A．焦点在轴的椭圆 B．焦点在轴的双曲线C．焦点在轴的椭圆 D．焦点在轴的双曲线【答案】D【解析】当ab＜0时，方程化简得，∴方程表示双曲线．焦点坐标在y轴上；故选：D．考点8：利用第一定义求解轨迹52．（2022·河南·濮阳一高高二期中（理））若双曲线C的方程为，记双曲线C的左、右顶点为A，B．弦PQ⊥x轴，记直线PA与直线QB交点为M，其轨迹为曲线T，则曲线T的离心率为________．【答案】【解析】设P（，），则Q（，-），设点M（x，y），又A（-2，0），B（2，0），所以直线PA的方程为①，直线QB的方程为②．由①得，由②得，上述两个等式相乘可得，∵P（，）在双曲线上，∴，可得，∴∴，化简可得，即曲线的方程为，其离心率为，故答案为：.53．（2022·吉林·白城高二期中）已知的两个顶点分别为椭圆的左焦点和右焦点，且三个内角满足关系式.(1)求线段的长度；(2)求顶点的轨迹方程.【解析】(1)椭圆的方程为椭圆的方程为分别为椭圆的左焦点和右焦点，线段的长度(2)中根据正弦定理得：(为外接圆半径)，C点的轨迹是以为左右焦点的双曲线的右支，且，，，顶点的轨迹方程为54．（2022·全国·高二专题练习）如图所示，已知定圆：，定圆：，动圆与定圆，都外切，求动圆圆心的轨迹方程．【解析】圆：，圆心，半径；圆：，圆心，半径．设动圆的半径为，则有，，∴．∴点的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支，且，，于是．∴动圆圆心的轨迹方程为．55．（2022·福建·厦门高二期中）已知动圆M与圆外切与圆内切，则动圆圆心M的轨迹C的方程为___________.【答案】【解析】设动圆圆心，半径为，因为圆M与圆外切与圆内切，圆心，，所以，则，于是点的轨迹是以点为焦点的双曲线的右支.由题意，，于是，C的方程为：.故答案为：.56．（2022·上海市新场高二期中）已知两点，若，那么点的轨迹方程是______.【答案】【解析】设点的坐标为因为所以点的轨迹为焦点在轴的双曲线且所以所以点的轨迹方程为：故答案为：57．（2022·吉林高二期中）若动圆过定点且和定圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程是_________.【答案】【解析】定圆的圆心为，与关于原点对称，设动圆的半径为，则有，因为两圆外切，所以，即，所以点的轨迹是以A，C为焦点的双曲线的左支，则，，，所以轨迹方程为故答案为：58．（2022·广东·深圳市宝安（集团）高二期中）已知点，动圆C与直线相切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则点P的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】设直线PM，PN与圆C相切的切点分别为点Q，T，如图，由切线长定理知，MB=MQ，PQ=PT，NB=NT，于是有|PM|-|PN|=|MQ|-|NT|=|MB|-|NB|=2<6=|MN|，则点P的轨迹是以M，N为左右焦点，实轴长2a=2的双曲线右支，虚半轴长b有，所以点P的轨迹方程为.故选：A59．（2022·江苏省镇江高二期中）动圆M与圆：，圆：，都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】圆：，圆心，半径.圆：，圆心，半径.设，半径为，因为动圆与圆，都外切，所以，所以的轨迹为以为焦点，的双曲线左支.所以，，解得，即的轨迹方程为：.故选：D60．（2022·新疆·博尔塔拉蒙古自治州蒙古高二期中）动点到点及点的距离之差为，则点的轨迹是（

）A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线【答案】D【解析】由已知，，所以点的轨迹是一条以为端点向轴正方向的射线.故选：D.61．（2022·江西·景德镇高二期中（理））已知定圆，定圆，动圆圆与定圆都内切，则动圆的圆心的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，设动圆的圆心为，半径为r，圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为5.而圆与定圆都内切，所以，，则.于是，动圆的圆心的轨迹为以，为焦点的双曲线的右支，则，故动圆的圆心的轨迹方程为.故选：A.62．（2022·浙江·效实高二期中）与圆外切，且与圆内切的圆的圆心在（

）A．抛物线上 B．圆上 C．双曲线的一支上 D．椭圆上【答案】C【解析】由题设，的圆心为，半径为；的圆心为，半径为2，∴若所求圆的圆心为，半径为，由图及已知条件易得，∴，则，由双曲线定义知：圆心在以为焦点的双曲线的右支上.故选：C63．（2022·天津河西·高二期中）与圆及圆都外切的圆的圆心在（

）A．椭圆上 B．双曲线的一支上 C．线段上 D．圆上【答案】B【解析】设动圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，由可得：，所以圆心为，半径为，则，根据双曲线得定义可得圆心在双曲线的一支上，故选：B.考点9：双曲线的渐近线64．（2022·全国·高二期中）以双曲的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程为______．【答案】【解析】由题意，双曲线，可得，则，则双曲线的右焦点为，其中一条渐近线方程为，即，所以点到渐近线的距离为，所以以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程为.故答案为：.65．（2022·陕西汉中·高二期末（理））已知双曲线的渐近线与圆相切，则a=（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意得双曲线的渐近线方程为，根据对称性，不妨取，即，因为渐近线与圆相切，所以圆心（0,2）到直线的距离，解得，所以或（舍）.故选：B66．（2022·湖南·高二期末）若双曲线的离心率为，则直线与两条渐近线围成的三角形的面积为（

）A． B．4 C． D．【答案】C【解析】因为双曲线的离心率为，所以，所以，所以渐近线的方程为，所以直线即直线，与两条渐近线的交点坐标为，所以直线与两条渐近线围成的三角形的面积为．故选:C．67．（2022·北京市十一高二期末）椭圆：与双曲线：的离心率之积为1，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为（

）A．， B．， C．，