04空间的曲线及其方程

高等数学北京工商大学杨益民11/12/20231回顾1.三元方程F(x,y,z)=0表示空间的一张曲面S。2.表示一张球面。3.表示空间的一张平面。4.yoz平面上的母线绕oz轴旋转得旋转曲面5.xoy平面上的准线方程母线平行于z轴的柱面方程为：11/12/20232四、二次曲面三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面。目的：利用截痕法讨论二次曲面的形状。即：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌。（一）椭球面11/12/20233椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面由椭圆或绕z轴旋转而成。球面方程可写为11/12/20234（二）抛物面（p与q同号）（1）椭圆抛物面用截痕法讨论：（1）用坐标面xoy

(z=0)去截；设p与q都大于零。（2）用平面去截；（3）用坐标面xoz

或yoz

去截；（4）用平面去截；yoxz11/12/20235zxyo椭圆抛物面的图形如下：xyzo特殊地：当p=q时，方程变为旋转抛物面11/12/20236（2）双曲抛物面（马鞍面）(p与q同号)用截痕法讨论：设xzyo11/12/20237（三）双曲面单叶双曲面xyoz（1）zoxy.11/12/20238双叶双曲面xyo（2）xoyz11/12/20239空间曲线的一般方程空间曲线C可看作空间两曲面的交线：注意：空间曲线的曲线方程不是唯一的。一、空间曲线的一般方程第四节空间曲线及其方程C11/12/202310例1

下列方程组表示怎样的曲线？11/12/202311例2

方程组表示怎样的曲线？解上半球面,圆柱面,交线如图。11/12/202312空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程（2）消去参数t，可得到两个柱面方程，因此空间曲线的参数方程也可视为两张柱面的交线。注：（1）随着参数t的变化可得到曲线上的全部点(x,y,z)。例3

设空间一动点M在圆柱面上以角速度ω绕z轴旋转，同时又以线速度沿平行于z轴的正方向上升，试求该动点M运动的轨迹方程。11/12/202313螺旋线的参数方程取时间t为参数，动点M从A(a,0,0)点出发解经过t时间，运动到M(x,y,z)处在圆上，所以11/12/202314螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的重要性质：上升的高度与转过的角度成正比，即上升的高度螺距Pyz0xatMNQ螺距11/12/202315三、空间曲线在坐标面上的投影1.空间曲线C的投影曲线与投影柱面CSC’xyozC’称为曲线C在xoy平面上的投影曲线。S称为曲线C关于xoy平面的投影柱面2.空间曲线C的投影曲线与投影柱面的方程设空间曲线C的一般方程：11/12/202316消去z得：表示：以曲线C(或C’)为准线，母线平行于z轴的柱面——曲线C关于xoy平面的投影柱面。表示：曲线C的投影柱面与xoy平面的交线——曲线C在xoy平面上的投影曲线。类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影面上的投影曲线面上的投影曲线11/12/202317如图:投影曲线的研究过程空间曲线投影曲线投影柱面11/12/202318例4

求曲线在坐标面上的投影。解（1）消去变量z后得在面上的投影为11/12/202319所以在xoz面上的投影为线段:（3）同理在yoz面上的投影也为线段:（2）因为曲线在平面上，11/12/202320截线方程为解xyz11/12/202321补充:空间立体或曲面在坐标面上的投影.空间立体曲面11/12/202322例6设一个立体由上半球面和锥面解半球面和锥面的交线为所围成，求它在xoy平面上的投影。11/12/202323思考题求椭圆抛物面与抛物柱面的交线关于xoy平面的投影柱面和在xoy平面上的投影曲线的方程。解交线方程为在xoy面上的投影为11/12/202324

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