山西省吕梁市泰化中学2023年数学高二上期末复习检测试题含解析

山西省吕梁市泰化中学2023年数学高二上期末复习检测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，准线为l，M是抛物线上一点，过点M作MN⊥l于N.若△MNF是边长为2的正三角形，则p=（）A. B.C.1 D.22．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.3．丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析作出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．设函数在区间内的导函数为，在区间内的导函数为，在区间内恒成立，则称函数在区间内为“凸函数”，则下列函数在其定义域内是“凸函数”的是（）A. B.C. D.4．若函数，满足且，则（）A.1 B.2C.3 D.45．已知直线l与圆交于A，B两点，点满足，若AB的中点为M，则的最大值为（）A. B.C. D.6．等差数列的前项和为，若，，则（）A.12 B.18C.21 D.277．已知双曲线的两个焦点为，，是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的方程是（）A. B.C. D.8．某地政府为落实疫情防控常态化，不定时从当地780名公务员中，采用系统抽样的方法抽取30人做核酸检测.把这批公务员按001到780进行编号，若054号被抽中，则下列编号也被抽中的是（）A.076 B.104C.390 D.5229．已知一个圆锥的体积为，任取该圆锥的两条母线a，b，若a，b所成角的最大值为，则该圆锥的侧面积为（）A. B.C. D.10．已知两直线与，则与间的距离为（）A. B.C. D.11．在等差数列中，，，则公差A.1 B.2C.3 D.412．已知方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则的取值范围A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交于点.若点的横坐标为,则的离心率为­.14．已知、双曲线的左、右焦点，A、B为双曲线上关于原点对称的两点，且满足，，则双曲线的离心率为___________.15．已知方程的两根为和5，则不等式的解集是______16．已知数列的前项和为，，则___________，___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设关于x的不等式的解集为A，关于x的不等式的解集为B（1）求集合A，B；（2）若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围18．（12分）已知焦点为F的抛物线上一点到F的距离是4（1）求抛物线C的方程（2）若不过原点O的直线l与抛物线C交于A，B两点（A，B位于x轴两侧），C的准线与x轴交于点E，直线与分别交于点M，N，若，证明：直线l过定点19．（12分）已知等差数列的前项的和为，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，记数列的前项和，求使得恒成立时的最小正整数.20．（12分）已知等差数列的前三项依次为，4，，前项和为，且.（1）求的通项公式及的值；（2）设数列的通项，求证是等比数列，并求的前项和.21．（12分）已知曲线：.（1）若曲线是双曲线，求的取值范围；（2）设，已知过曲线的右焦点，倾斜角为的直线交曲线于A，B两点，求.22．（10分）双曲线，离心率，虚轴长为2（1）求双曲线的标准方程；（2）经过点的直线与双曲线相交于两点，且为的中点，求直线的方程

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据正三角形的性质，结合抛物线的性质进行求解即可.【详解】如图所示：准线l与横轴的交点为，由抛物线的性质可知：，因为若△MNF是边长为2的正三角形，所以，，显然，在直角三角形中，，故选：C2、D【解析】求出函数的导数，问题转化为在有解，进而求函数的最值，即可求出的范围.【详解】∵，∴，若在区间内存在单调递增区间，则有解，故，令，则在单调递增，，故.故选：D.3、B【解析】根据基本初等函数的导函数公式求各函数二阶导函数，判断其在定义域上是否恒有，即可知正确选项.【详解】A：，则，显然定义域内有正有负，故不是“凸函数”；B：，则，故是“凸函数”；C：，则，故不是“凸函数”；D：，则，显然定义域内有正有负，故不是“凸函数”；故选：B4、C【解析】先取，得与之间的关系，然后根据导数的运算直接求导，代值可得.【详解】取，则有，即，又因为所以，所以，所以.故选：C5、A【解析】设，，则、，由点在圆上可得，再由向量垂直的坐标表示可得，进而可得M的轨迹为圆，即可求的最大值.【详解】设，中点，则，，又，，则，所以，又，则，而，，所以，即，综上，，整理得，即为M的轨迹方程，所以在圆心为，半径为的圆上，则.故选：A.【点睛】关键点点睛：由点圆位置、中点坐标公式及向量垂直的坐标表示得到关于的轨迹方程.6、B【解析】根据等差数列的前项和为具有的性质，即成等差数列，由此列出等式，求得答案.【详解】因为为等差数列的前n项和，且，，所以成等差数列，所以，即，解得=18，故选：B.7、A【解析】由，可得进一步求出，由此得到，则该双曲线的方程可求【详解】，即，则．即，则该双曲线的方程是：故选：A【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的方程，常用待定系数法，先定式（根据已知确定焦点所在的坐标轴，设出曲线的方程），再定式（根据已知建立方程组解方程组得解）.8、D【解析】根据题意，求得组数与抽中编号的对应关系，即可判断和选择.【详解】从780名公务员中，采用系统抽样的方法抽取30人做核酸检测，故需要分为组，每组人，设第组抽中的编号为，设，由题可知：，故可得，故可得.当时，.故选：.9、B【解析】设圆锥的母线长为R，底面半径长为r，由题可知圆锥的轴截面是等边三角形，根据体积公式计算可得，利用扇形的面积公式计算即可求得结果.【详解】如图，设圆锥的母线长为R，底面半径长为r，由题可知圆锥的轴截面是等边三角形，所以，圆锥的体积，解得，所以该圆锥的侧面积为.故选：B10、B【解析】把直线的方程化简，再利用平行线间距离公式直接计算得解.【详解】直线的方程化为：，显然，，所以与间的距离为.故选：B11、B【解析】由，将转化为表示，结合，即可求解.【详解】，.故选:B.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题.12、A【解析】根据条件，列出满足条件的不等式，求的取值范围.【详解】曲线表示交点在轴的椭圆，，解得：.故选A【点睛】本题考查根据椭圆的焦点位置求参数的取值范围，意在考查基本概念，属于基础题型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】双曲线的右焦点为.不妨设所作直线与双曲线的渐近线平行，其方程为，代入求得点的横坐标为，由，得，解之得，（舍去，因为离心率），故双曲线的离心率为.考点：1.双曲线的几何性质；2.直线方程.14、【解析】可得四边形为矩形，运用三角函数的定义可得，，由双曲线的定义和矩形的性质，可得，由离心率公式求解即可.【详解】、为双曲线的左、右焦点，可得四边形为矩形，在中，，∴，在中，，可得，，∴，∴，∵，∴，∴，故答案为：.【点睛】关键点点睛：得出四边形为矩形，利用双曲线的定义解决焦点三角形问题.15、【解析】根据根与系数的关系以及一元二次不等式的解法即可解出【详解】由题意可知，，解得，所以即为，解得或，所以不等式的解集是故答案为：16、①.②.【解析】第一空：由，代入已知条件，即可解得结果；第二空：由与关系可推导出之间的关系，再由递推公式即可求出通项公式.【详解】，可得由，可知时，故时即可化为又故数列是首项为公比为2的等比数列，故数列的通项公式故答案为：①；②三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），（2）【解析】（1）直接解不等式即可，（2）由题意可得，从而可得解不等式组可求得答案【小问1详解】由，得，故由，得，故【小问2详解】依题意得：，∴解得∴m的取值范围为18、（1）；（2）证明过程见解析.【解析】（1）利用抛物线的定义进行求解即可；（2）设出直线l的方程，与抛物线方程联立，根据一元二次方程的根与系数关系进行求解证明即可.【小问1详解】该抛物线的准线方程为，因为点到F的距离是4，所以有，所以抛物线C的方程为：；【小问2详解】该抛物线的准线方程为，设直线l的方程为：，与抛物线方程联立，得，不妨设，因此，直线的斜率为：，所以方程为：，当时，，即，同理，因为，所以有，而，所以有，所以直线l的方程为：，因此直线l恒过.【点睛】关键点睛：把直线l的方程为：，利用一元二次方程根与系数关系是解题的关键.19、(1)(2)1【解析】（1）先设设等差数列的公差为，由，列出方程组求出首项和公差即可；（2）由(1)先求出，再由裂项相消法求数列的前项和即可.【详解】解：（1）设等差数列的公差为，因为，，所以解得所以数列的通项公式为.（2）由（1）可知∴,∴，∴，∴的最小正整数为1【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，以及裂项相消法求数列前项和的问题，熟记公式即可，属于基础题型.20、（1），（2）证明见解析，【解析】(1)直接利用等差中项的应用求出的值，进一步求出数列的通项公式和的值；(2)利用等比数列的定义即可证明数列为等比数列，进一步求出数列的和.【小问1详解】等差数列的前三项依次为，4，，∴，解得；故首项为2，公差为2，故，前项和为，且，整理得，解得或－11(负值舍去).∴，k＝10.【小问2详解】由(1)得：，故(常数)，故数列是等比数列；∴.21、（1）（2）【解析】（1）利用双曲线的标准方程直接列不等式组，即可求解；（2）先求出直线l的方程为:，利用“设而不求法”和弦长公式求弦长.【小问1详解】要使曲线：为双曲线，只需，解得：，即的取值范围.【小问2详解】当m=0时,曲线C的方程为