2.1-2.2列写系统微分方程的一般方法

11/12/20231第二章控制系统的数学模型控制系统的性能一般从哪三个方面来评价？11/12/20232第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型1.定义：数学模型是描述系统输入输出变量以及内部其它变量之间关系的数学表达式2.描述方法：输入-输出描述（端部描述）

常微分方程传递函数系统框图状态变量描述（内部描述）状态方程是这种描述的最基本形式，适用多输入多输出系统一.描述系统运动的数学模型11/12/20233第二章控制系统的数学模型二.建立系统数学模型的方法解析法:

根据系统各变量所依据的物理定律、化学定律或者其它的自然规律，列写出每一个元件的输入-输出的关系式，然后消去中间变量，从而求得系统输出与输入的表达式。

实验法：给系统施加一定的测试信号，依据系统对测试信号的响应或实验数据来建立数学模型，又称系统辨识。11/12/20234第二章控制系统的数学模型2.1列写系统微分方程的一般方法一.用解析法建立系统微分方程的一般步骤

分析元件的工作原理和在系统中的作用，确定元件的输入量和输出量，并根据需要引进一些中间变量（必要扰动）。根据各元件在工作过程中所遵循的物理、化学定律，列写系统中每一个元件的输入与输出的微分方程式（考虑相邻元件之间的影响）。消去中间变量，求得只含输出、输入变量及其各阶导数的微分方程。对所求的微分方程进行标准化处理。与输入有关的项写在方程等号的右方，与输出有关的项写在方程等号的左方。11/12/20235第二章控制系统的数学模型图2-1Ｒ-L-C电路二.例子消去中间变量，则有:解：由基尔霍夫定律得：1、电气网络系统例1：无负载效应的电路11/12/20236第二章控制系统的数学模型图2-2R-C滤波网络消去中间变量i1、i2得或写作例2：有负载效应的电路列写2极相同形式RC串联电路组成的滤波电路的微分方程对于图2-2所示的电路，在列写方程时必须考虑后级电路对前级电路的影响，由基尔霍夫定律列出下列方程组：解：11/12/20237第二章控制系统的数学模型例3：求图2-3所示弹簧-质量-阻尼器系统的数据模型解：由牛顿第二定律列出方程图2-3弹簧-质量-阻尼器系统即式中：

-阻尼器阻力ky(t)-弹簧拉力ｋ-为弹簧的弹性系数2、机械位移系统ｆ-为阻尼系数11/12/20238第二章控制系统的数学模型描述线性定常系统输入与输出关系的微分方程式为列写元件和系统方程式前,首先要明确谁是输入量和输出量，把与输出量有关的项写在方程式等号的左方，与输入量有关系的项写在等号的右方，列写系统中各元件输入－输出微分方程式，消去中间变量，求得系统的输出与输入的微分方程式

写微分方程式的一般步骤11/12/20239第二章控制系统的数学模型直流他励发电机由电机学原理得：图2-4直流他励电动机电路图把式（2-2）代入（2-1），则得（2-1）（2-2）（2-3）式中假设拖动发电机的原动机的转速n0恒定不变，发电机没有磁滞回线和剩磁，发电机的磁化曲线为一直线，即Φ/ib=L。11/12/202310第二章控制系统的数学模型2.2非线性数学模型的线性化一、可线性化的条件变量对于平衡工作点的偏离较小非线性函数不仅连续，而且其多阶导数均存在二、微偏法在给定工作点邻域将此非线性函数展开为泰勒级数，并略去二阶及二阶以上的各项，用所得的线性化方程代替原有的非线性方程。11/12/202311第二章控制系统的数学模型设一非线性元件的输入为x、输出为y，它们间的关系如图2-5所示，相应的数学表达式为

图2-5非线性特性的线性化y=f(x)（2-4）在给定工作点A（x0,y0）附近，将上式展开为泰勒级数11/12/202312第二章控制系统的数学模型y=f(x)→11/12/202313第二章控制系统的数学模型三、举例直流他励发电动机的微分方程式时，曾假设其磁化曲线为直线，实际上发电机的磁化曲线如图2-5所示。

设发电机原工作于磁化曲线的A点，若令发电机的励磁电压增加△U1，求其增量电势△EG的变化规律。图2-5发电机的磁化曲线若励磁电压增量，则有

如果发电机在小信号励磁电压的作用下，工作点A的偏离便较小，从而可以通过点A作一切线CD，且以此切线CD近似代替原有的曲线EAF。在平衡点A处，直流电机的方程为11/12/202314第二章控制系统的数学模型由式（2-21）减式（2-19），式（2-22）减式（2-20）后得

式（2-23）、（2-24）均为增量方程，它们描述了发电机在平衡点A处受到△u1作用后的运动过程。对增量方程式而言，磁化曲线的坐标原点不是在O点，而是移到A点。因而发电机的初始条件仍为零。式中N为励磁绕组的匝数。11/12/202315第二章控制系统的数学模型11/12/202316第二章控制系统的数学模型在实际应用中，常把增量符号“△”省去，这样上述两式显然和（2-9）（2-10）完全相同