专题12全等三角形的判定原卷版

专题12全等三角形的判定★知识点1：全等三角形的判定SSSSSS指的是利用边边边证明三角形全等，只要找到对应边分别相等，即可证明！三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△.典例分析【例1】（2023·云南·统考中考真题）如图，是的中点，．求证：．【例2】（2023·江苏南京·统考二模）如图，在和中，，，D、分别是BC、的中点，且．求证．【即学即练】1．（2023春·云南·九年级专题练习）已知：如图，点A，D，C，B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证：(1)△AEC≌△BFD(2)DE=CF2．（2018秋·八年级课时练习）如图，AB＝AE，AC＝AD，BD＝CE，△ABC≌△AED吗？试证明．★知识点2：全等三角形的判定SASSAS指的是利用边角边证明两三角形全等，这个角必须是两对应边的夹角，切不可看成是SSA，SSA是不能作为判定三角形全等的方法的。（1）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.如图，如果AB＝，∠A＝∠，AC＝，则△ABC≌△.注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.（2）有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.典例分析【例1】（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，点A，B，C，D在同一直线上，．求证：．【例2】（2023春·江西·九年级专题练习）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，．求证：．即学即练1．（2023春·甘肃白银·七年级统考期末）如图，，，与全等吗？为什么？2．（2023秋·安徽·八年级阶段练习）如图，和中，，连接，．(1)求证：；(2)求证：．★知识点3：全等三角形的判定ASA或AAS此类主要是利用两角和一边，注意这个边可以是两角的夹边，也可以是角的对边或邻边两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.（1）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）备注：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.（2）三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.典例分析【例1】（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得，，．(1)求证：；(2)若，求的长度．【例2】（2022秋·湖南永州·八年级校考期中）如图，，，，，垂足分别是，．(1)求证：；(2)猜想线段，，之间具有怎样的数量关系，并说明理由．即学即练1．（2023秋·全国·八年级专题练习）在和中，点在边上，，，，求证：．2．（2023春·湖南株洲·八年级统考开学考试）如图，已知点、、、在同一直线上，，，．(1)求证：；(2)，，求的度数．★知识点4全等三角形的判定HLHL只适用于直角三角形的判定，指的是一直角边和一斜边。（1）由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.（2）判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.典例分析【例1】（2023春·江苏盐城·九年级校考期中）如图，在四边形中，，；，，垂足分别为E，F．(1)求证：；(2)若与交于点O，求证：．【例2】．（2020秋·广东惠州·八年级校考阶段练习）如图，点C在BE上，，且，交于点F．(1)的长度．(2)的度数．即学即练1．（2023春·江西吉安·七年级统考期末）如图，已知，，，点E在上，点F在的延长线上．求证：．2.（2023春·福建三明·八年级统考期末）如图，在中，是的中点，，，垂足分别是、、且．求证：．★知识点5全等三角形的判定综合应用判定方法的选择1、选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：已知条件可选择的判定方法一边一角对应相等SASAASASA两角对应相等ASAAAS两边对应相等SASSSS如何选择三角形证全等（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.典例分析【例1】（2021秋·湖南邵阳·八年级统考期末）如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点．（1）求证：；（2）若，，求四边形的面积．【例2】（2021秋·全国·八年级专题练习）证明命题：“一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程．下面是小颖根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．已知：在和中，，，与分别为，边上的中线且．求证：．请补全已知和求证部分，并写出证明过程．即学即练1．（2021·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）已知：在△ABC和△DBE中，AB＝DB，BC＝BE，其中∠ABD＝∠CBE．（1）如图1，求证：AC＝DE；（2）如图2，AB＝BC，AC分别交DE，BD于点F，G，BC交DE于点H，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四对全等三角形．2．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在等边三角形中，是边上的动点，以为一边向上作等边三角形，连接．（1）求证：≌；（2）求证：；（3）当点运动到的中点时，与有什么位置关系？并说明理由．★知识点6尺规作图作一个角等于已知角已知：∠AOB。求作：∠A’O’B’使∠A’O’B’=∠AOB。作法与示范：（1）作射线O’A’（2）以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；（3）以点O’为圆心，以OC长为半径画弧，交O’A’于点C’（4）以点C’为圆心，以CD长为半径画弧，交前面的弧于点D’；（5）过点D’作射线O'B’∠A'O'B'就是所求作的角.典例分析【例1】（2023春·广东深圳·七年级深圳中学校考期中）问题探究：尺规作图：作一个角等于已知角．如图①，已知：．求作：，使．(1)作法：步骤1：如图②，以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点C、D；步骤2：作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；步骤3：以点为圆心，长为半径画弧，与步骤2中所画的弧相交于点；步骤4：过点画射线，则．根据以上作图和求证过程完成以上填空：(2)实践应用：如图，点P为的边上一点，①求作：过点P作，且C在内部，使得；（要求保留作图痕迹）②直线和的位置关系是．【例2】（2023春·广东佛山·七年级佛山市华英学校校考期中）（1）格点作图：如图1，方格纸中每个小正方形的边长都是1．①过格点P画，使与直线相交于格点M；②若点N在图中的格点上（不与点A重合），作直线与直线垂直（2）尺规作图（在原图上作图，不写作法，保留作图痕迹）在图2图形中，补充作图：①在的左侧作，②根据上面所作出的图形，你认为与一定平行吗？请说明理由．答：______________________即学即练1．（2023春·山东枣庄·七年级滕州育才中学校考期中）尺规作图：中，请用直尺和圆规，过点C作直线，使．（保留作图痕迹，不写作法．）2．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·七年级校联考阶段练习）根据下列要求画图，(1)如图（1）所示，过点A画；(2)如图（2）所示，过点P画，垂足为E，过点P画，垂足为G．★知识点7:尺规作图作三角形1已知三边作三角形已知三边求作三角形是利用三角形全等的条件“边边边”来作图的，具体作图的方法、步骤、图形如下：已知：线段a，b，c求作：△ABC，使AB=c，BC=a，AC=b作法与示范：作线段AB=c以点A为圆心，b为半径画弧以点B为圆心，a为半径画弧，两弧交于点C连接AC，BC，△ABC即为所求2、已知两边及其夹角作三角形已知两边及其夹角作三角形是利用三角形全等的条件“边角边”来作图的，具体作图的方法、步骤、图形如下：已知：线段a，b，∠α求作：△ABC，使∠B=∠α，BC=a，BA=b作法与示范：作∠MBN=∠α在射线BM，BN上分别截取线段BC=a，BA=b连接AC，则△ABC为所求作的三角形3、已知两角及其夹边作三角形已知两角及其夹边求作三角形是利用三角形全等的条件“角边角”来作图的，具体作图的方法、步骤、图形如下：已知：∠α，∠β，线段a求作：△ABC，使∠BAC=∠α，∠ABC=∠β，AB=a作法与示范：作线段AB=a在AB同侧，作∠DAB=∠α，∠EBA=∠β，AD与BE相交于点C，则△ABC为所求.典例分析【例1】（2022秋·河北邯郸·八年级校考期中）如图，已知线段，和，按要求尺规作图（不必写作法，保留作图痕迹）．(1)求作，使，，；(2)填空：（1）中作出的三角形__________（填“是”或“不是”）唯一的，作图依据是__________．【例2】（2020秋·广东广州·八年级校考阶段练习）尺规作图：已知：线段，，．求作：，使，，（保留作图痕迹，不写作法）．即学即练1．（2023春·陕西西安·七年级统考期末）如图，已知，请用尺规作，使．（不写作法，保留作图痕迹）2．（2022秋·福建南平·八年级校考阶段练习）已知：两边及其夹角，线段，，．求作：，使，，（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．1．（2023春·甘肃陇南·七年级统考期末）康康所在的小组依据全等三角形的判定设计了截面如图所示的伞骨结构，当众完全打开后，测得分别是的中点，，那么的依据是（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·八年级假期作业）如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（

）A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④3．（2022秋·河北邯郸·八年级校考期中）如图，已知，分别以，为圆心，以，长为半径画弧，两弧交于点，连接，、下列结论一定正确的有（

）①；②判定全等的依据是；③；④平分A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，有一池塘，要测量池塘两端A，B的距离时，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C．连接并延长到D，使．连接并延长到E，使．可证明，从而得到，则测得的长就是两点A，B的距离．判定的依据是（）A．“边边边” B．“角边角” C．“角角边” D．“边角边”5．（2023·全国·八年级假期作业）如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，ABDE，运用“SAS”判定△ABC≌△DEF，需补充的条件是（）A．AC＝DF B．∠A＝∠D C．BE＝CF D．∠ACB＝∠DFE6．（2023春·四川雅安·七年级统考期末）如图，，，则下列结论错误的是（

）A． B．C． D．7．（2023春·湖南益阳·八年级统考期末）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（

）A． B． C． D．8．（2022春·福建宁德·七年级校联考期中）如图，过直线外一点作它的平行线，其作图依据是（

）A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，内错角相等C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行9．（2023春·广东茂名·七年级统考期末）诸仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的三角形全等有关的知说，说明画出的依据是（

）A． B． C． D．10．（2022秋·云南昭通·八年级统考期末）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（

）A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去11．（2023春·辽宁朝阳·七年级统考期末）王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合．则两堵木墙之间的距离是（

）A． B． C． D．12．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，，垂足分别为D、E，且平分，则与全等的理由是（

）A． B． C． D．13．（2023春·广东梅州·七年级校考期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（

）A． B． C． D．14．（2023春·湖南怀化·八年级统考期末）如图，，，垂足分