文科一轮学学案5.1向量的线性运算

第五章平面向量第二章函数与基本初等函数4-5-第五章平面向量1-学案5.1向量的线性运算自主预习案自主复习夯实基础【双基梳理】1.向量的有关概念名称定义备注向量具有和的量；向量的大小叫做向量的(或称)平面向量是自由向量零向量长度为的向量；其方向记作0单位向量长度等于的向量非零向量a的单位向量为±eq\f(a,|a|)平行向量(共线向量)共线向量的方向或0与任意向量或共线相等向量、都相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律向量的加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).向量的减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差法则a－b＝a＋(－b)数乘向量求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向；当λ＝0或a＝0时，λa＝0(1)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(2)λ(μa)＝(λμ)a；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb3.平行向量基本定理如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在实数λ，使a＝λb.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量.()(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关.()(3)若a∥b，b∥c，则a∥c.()(4)向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.()(5)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立.()(6)△ABC中，D是BC中点，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))).()考点探究案典例剖析考点突破考点一平面向量的概念例1下列命题中，正确的是________.(填序号)①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(CD,\s\up6(→))共线，则A、B、C、D四点共线；④两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.变式训练：设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是()A.0 B.1C.2 D.3考点二平面向量的线性运算命题点1向量的线性运算例2(1)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))等于()A.eq\o(BC,\s\up6(→)) B.eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→)) D.eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))(2)在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，若点D满足eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，则eq\o(AD,\s\up6(→))等于()A.eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c B.eq\f(5,3)c－eq\f(2,3)bC.eq\f(2,3)b－eq\f(1,3)c D.eq\f(1,3)b＋eq\f(2,3)c命题点2根据向量线性运算求参数例3(1)在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))，则λ等于()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,3)C.－eq\f(1,3) D.－eq\f(2,3)(2)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up6(→))，则x的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))变式训练：如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交对角线AC于K，其中，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AK,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，则λ的值为()A.eq\f(2,9) B.eq\f(2,7)C.eq\f(2,5) D.eq\f(2,3)考点三：平行向量基本定理的应用例4设两个非零向量a与b不共线，(1)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.变式训练(1)已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋3b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝5a＋3b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－3a＋3b，则()A.A，B，C三点共线 B.A，B，D三点共线C.A，C，D三点共线 D.B，C，D三点共线(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC.若eq\o(DE,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up6(→))(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.当堂达标1.给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))相等.则所有正确命题的序号是()A.①B.③C.①③D.①②2.如图所示，向量a－b等于()A.－4e1－2e2 B.－2e1－4e2C.e1－3e2 D.3e1－e23.(2015·课标全国Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，则()A.eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→)) D.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))4.(教材改编)已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则eq\o(DC,\s\up6(→))＝________，eq\o(BC,\s\up6(→))＝________(用a，b表示).5.已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.巩固提高案日积月累提高自我1.设O是正方形ABCD的中心，则向量eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(BO,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))是()A.相等的向量 B.平行的向量C.有相同起点的向量 D.模相等的向量2.设a0，b0分别是与a，b同向的单位向量，则下列结论中正确的是()A.a0＝b0 B.a0·b0＝1C.|a0|＋|b0|＝2 D.|a0＋b0|＝23.在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝3DC，E为BC的中点，则eq\o(AE,\s\up6(→))等于()A.eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)) B.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\f(5,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→)) D.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,6)eq\o(AD,\s\up6(→))4.已知平面内一点P及△ABC，若eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，则点P与△ABC的位置关系是()A.点P在线段AB上 B.点P在线段BC上C.点P在线段AC上 D.点P在△ABC外部5.已知点O为△ABC外接圆的圆心，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则△ABC的内角A等于()A.30° B.60°C.90° D.120°6.已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))满足等式eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))，则四边形ABCD的形状为________.7.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，eq\o(BC,\s\up6(→))2＝16，|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|，则|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝________.8.(2015·北京)在△ABC中，点M，N满足eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(MC,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(NC,\s\up6(→)).若eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，则x＝________；y＝________.9.在△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，试用a，b表示eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AG,\s\up6(→)).10.设两个非零向量e1和e2不共线.(1)如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1－e2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－8e1－2e2，求证：A、C、D三点共线；(2)如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2e1－3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－ke2，且A、C、D三点共线，求k的值.学案5.1向量的线性运算自主预习案自主复习夯实基础【双基梳理】1.向量的有关概念名称定义备注向量具有大小和方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向不确定记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±eq\f(a,|a|)平行向量(共线向量)共线向量的方向相同或相反0与任意向量平行或共线相等向量大小、方向都相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律向量的加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).向量的减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘向量求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0或a＝0时，λa＝0(1)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(2)λ(μa)＝(λμ)a；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb3.平行向量基本定理如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a＝λb.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量.(×)(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关.(√)(3)若a∥b，b∥c，则a∥c.(×)(4)向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.(×)(5)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立.(√)(6)△ABC中，D是BC中点，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))).(√)

考点探究案典例剖析考点突破考点一平面向量的概念例1下列命题中，正确的是________.(填序号)①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(CD,\s\up6(→))共线，则A、B、C、D四点共线；④两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.答案④解析①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；②不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；④正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小.思维升华(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈.(4)非零向量a与eq\f(a,|a|)的关系：eq\f(a,|a|)是与a同方向的单位向量.变式训练：设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是()A.0 B.1C.2 D.3答案D解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题.综上所述，假命题的个数是3.考点二平面向量的线性运算命题点1向量的线性运算例2(1)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))等于()A.eq\o(BC,\s\up6(→)) B.eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→)) D.eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))(2)在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，若点D满足eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，则eq\o(AD,\s\up6(→))等于()A.eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c B.eq\f(5,3)c－eq\f(2,3)bC.eq\f(2,3)b－eq\f(1,3)c D.eq\f(1,3)b＋eq\f(2,3)c答案(1)C(2)A解析(1)eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).(2)∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))＝2(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))，∴3eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c.命题点2根据向量线性运算求参数例3(1)在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))，则λ等于()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,3)C.－eq\f(1,3) D.－eq\f(2,3)(2)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up6(→))，则x的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))答案(1)A(2)D解析(1)∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，即eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝2(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))，∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(2,3).(2)设eq\o(CO,\s\up6(→))＝yeq\o(BC,\s\up6(→))，∵eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋yeq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋y(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－yeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1＋y)eq\o(AC,\s\up6(→)).∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，∴y∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))，∵eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴x＝－y，∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0)).变式训练：如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交对角线AC于K，其中，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AK,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，则λ的值为()A.eq\f(2,9) B.eq\f(2,7)C.eq\f(2,5) D.eq\f(2,3)答案A解析∵eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(5,2)eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(AF,\s\up6(→)).由向量加法的平行四边形法则可知，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，∴eq\o(AK,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)\o(AE,\s\up6(→))＋2\o(AF,\s\up6(→))))＝eq\f(5,2)λeq\o(AE,\s\up6(→))＋2λeq\o(AF,\s\up6(→))，由E，F，K三点共线，可得λ＝eq\f(2,9)，故选A.考点三：平行向量基本定理的应用例4设两个非零向量a与b不共线，(1)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.(1)证明∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up6(→)).∴eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BD,\s\up6(→))共线，又∵它们有公共点B，∴A、B、D三点共线.(2)解∵ka＋b和a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a、b是两个不共线的非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.变式训练(1)已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋3b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝5a＋3b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－3a＋3b，则()A.A，B，C三点共线 B.A，B，D三点共线C.A，C，D三点共线 D.B，C，D三点共线(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC.若eq\o(DE,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up6(→))(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.答案(1)B(2)eq\f(1,2)解析(1)∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(BD,\s\up6(→))、eq\o(AB,\s\up6(→))共线，又有公共点B，∴A，B，D三点共线.故选B.(2)eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，∵eq\o(DE,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up6(→))，∴λ1＝－eq\f(1,6)，λ2＝eq\f(2,3)，故λ1＋λ2＝eq\f(1,2).当堂达标1.给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))相等.则所有正确命题的序号是()A.①B.③C.①③D.①②答案A解析根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))互为相反向量，故③错误.2.如图所示，向量a－b等于()A.－4e1－2e2 B.－2e1－4e2C.e1－3e2 D.3e1－e2答案C解析由题图可得a－b＝eq\o(BA,\s\up6(→))＝e1－3e2.3.(2015·课标全国Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，则()A.eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→)) D.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))答案A解析∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，∴eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝3(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))，即4eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝3eq\o(AD,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).4.(教材改编)已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则eq\o(DC,\s\up6(→))＝________，eq\o(BC,\s\up6(→))＝________(用a，b表示).答案b－a－a－b解析如图，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝b－a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝－a－b.5.已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.答案－eq\f(1,3)解析由已知得a＋λb＝－k(b－3a)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－k，,3k＝1.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,3)，,k＝\f(1,3).))巩固提高案日积月累提高自我1.设O是正方形ABCD的中心，则向量eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(BO,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))是()A.相等的向量 B.平行的向量C.有相同起点的向量 D.模相等的向量答案D解析这四个向量的模相等.2.设a0，b0分别是与a，b同向的单位向量，则下列结论中正确的是()A.a0＝b0 B.a0·b0＝1C.|a0|＋|b0|＝2 D.|a0＋b0|＝2答案C解析因为是单位向量，所以|a0|＝1，|b0|＝1.3.在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝3DC，E为BC的中点，则eq\o(AE,\s\up6(→))等于()A.eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)) B.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\f(5,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→)) D.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,6)eq\o(AD,\s\up6(→))答案A解析eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))－\f(2,3)\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)).4.已知平面内一点P及△ABC，若eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，则点P与△ABC的位置关系是()A.点P在线段AB上 B.点P在线段BC上C.点P在线段AC上 D.点P在△ABC外部答案C解析由eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))得eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))，即eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))＝2eq\o(AP,\s\up6(→))，所以点P在线段AC上.5.已知点O为△ABC外接圆的圆心，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则△ABC的内角A等于()A.30° B.60°C.90° D.120°答案B解析由eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，知点O为△ABC的重心，又∵O为△ABC外接圆的圆心，∴△ABC为等边三角形，A＝60°.6.已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))满足等式eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))，则四边形ABCD的形状为________.答案平行四边形解析由eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))得eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，所以eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→)).所以四边形ABCD为平行四边形.7.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，eq\o(BC,\s\up6(→))2＝16，|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|，则|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝________.答案2解析由|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|可知，eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，因此，|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝2.8.(2015·北京)在△ABC中，点M，N满足eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(MC,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(NC,\s\up6(→)).若eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋