人教A版数学必修五讲义第1章1.2第3课时三角形中的几何计算Word版含答案

第3课时三角形中的几何计算学习目标核心素养1.掌握三角形的面积公式的应用(重点).2.掌握正、余弦定理与三角函数公式的综合应用(难点)．1.通过三角形面积公式的学习，培养学生的数学运算的素养.2.借助三角形中的综合问题的学习，提升学生的数学抽象的素养.1．三角形的面积公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha＝eq\f(1,2)b·hb＝eq\f(1,2)c·hc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)casinB；(3)S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r为内切圆半径)．思考：(1)三角形的面积公式适用于所有的三角形吗？(2)已知三角形的两个内角及一边能求三角形的面积吗？[提示](1)适用．三角形的面积公式对任意的三角形都成立．(2)能．利用正弦定理或余弦定理求出另外的边或角，再根据面积公式求解．2．三角形中常用的结论(1)A＋B＝π－C，eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2)；(2)在三角形中大边对大角，反之亦然；(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；(4)三角形的诱导公式sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，tan(A＋B)＝－tanCeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C≠\f(π,2)))，sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)，coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2)．1．下列说法中正确的是________(填序号)．①已知三角形的三边长为a，b，c，内切圆的半径为r，则三角形的面积S＝(a＋b＋c)r；②在△ABC中，若c＝b＝2，S△ABC＝eq\r(3)，则A＝60°；③在△ABC中，若a＝6，b＝4，C＝30°，则S△ABC的面积是6；④在△ABC中，若sin2A＝sin2B，则A＝B.③[①中三角形的面积S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r.②由S＝eq\f(1,2)bcsinA可得sinA＝eq\f(\r(3),2)，∴A＝60°或120°.④在△ABC中由sin2A＝sin2B得A＝B或A＋B＝eq\f(π,2).]2．在△ABC中，a＝6，B＝30°，C＝120°，则△ABC的面积为________．9eq\r(3)[由题知A＝180°－120°－30°＝30°，由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)知b＝6，∴S＝eq\f(1,2)absinC＝18×eq\f(\r(3),2)＝9eq\r(3).]3．在△ABC中，ab＝60，S△ABC＝15eq\r(3)，△ABC的外接圆半径为eq\r(3)，则边c的长为________．3[由题知S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝15eq\r(3)得sinC＝eq\f(\r(3),2).又由eq\f(c,sinC)＝2R得c＝2eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝3.]三角形面积的计算【例1】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝eq\f(π,3)，cosA＝eq\f(4,5)，b＝eq\r(3).(1)求sinC的值；(2)求△ABC的面积．[解](1)∵角A，B，C为△ABC的内角，且B＝eq\f(π,3)，cosA＝eq\f(4,5)，∴C＝eq\f(2π,3)－A，sinA＝eq\f(3,5).∴sinC＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－A))＝eq\f(\r(3),2)cosA＋eq\f(1,2)sinA＝eq\f(3＋4\r(3),10).(2)由(1)知sinA＝eq\f(3,5)，sinC＝eq\f(3＋4\r(3),10).又∵B＝eq\f(π,3)，b＝eq\r(3)，∴在△ABC中，由正弦定理得a＝eq\f(bsinA,sinB)＝eq\f(6,5).∴△ABC的面积S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×eq\f(6,5)×eq\r(3)×eq\f(3＋4\r(3),10)＝eq\f(36＋9\r(3),50).1．由于三角形的面积公式有三种形式，实际使用时要结合题目的条件灵活运用，若三角形的面积已知，常选择已知的那个面积公式．2．如果已知两边及其夹角可以直接求面积，否则先用正、余弦定理求出需要的边或角，再套用公式计算．1．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA＝eq\f(2\r(2),3)，a＝3，S△ABC＝2eq\r(2)，则b的值为()A．6B．3C．2D．2或3D[因为S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝2eq\r(2)，所以bc＝6，又因为sinA＝eq\f(2\r(2),3)，所以cosA＝eq\f(1,3)，又a＝3，由余弦定理得9＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－4，b2＋c2＝13，可得b＝2或b＝3.]三角恒等式证明问题【例2】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.证明：eq\f(a2－b2,c2)＝eq\f(sin（A－B）,sinC).思路探究：由左往右证，可由边化角展开；由右往左证，可由角化边展开．[证明]法一：(边化角)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，∴a2－b2＝b2－a2－2bccosA＋2accosB，整理得：eq\f(a2－b2,c2)＝eq\f(acosB－bcosA,c).依正弦定理有eq\f(a,c)＝eq\f(sinA,sinC)，eq\f(b,c)＝eq\f(sinB,sinC)，∴eq\f(a2－b2,c2)＝eq\f(sinAcosB－sinBcosA,sinC)＝eq\f(sin（A－B）,sinC).法二：(角化边)eq\f(sin（A－B）,sinC)＝eq\f(sinAcosB－cosAsinB,sinC)＝eq\f(a·\f(a2＋c2－b2,2ac)－\f(b2＋c2－a2,2bc)·b,c)＝eq\f(2（a2－b2）,2c2)＝eq\f(a2－b2,c2).1．三角恒等式证明的三个基本原则(1)统一边角关系．(2)由繁推简．(3)目标明确，等价转化．2．三角恒等式证明的基本途径(1)把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系，然后进行化简、变形．(2)把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理，然后利用三角函数公式进行恒等变形．2．在△ABC中，求证：eq\f(cosB,cosC)＝eq\f(c－bcosA,b－ccosA).[证明]由正弦定理得右边＝eq\f(2RsinC－2RsinBcosA,2RsinB－2RsinCcosA)＝eq\f(sin（A＋B）－sinBcosA,sin（A＋C）－sinCcosA)＝eq\f(sinAcosB＋cosAsinB－sinBcosA,sinAcosC＋cosAsinC－sinCcosA)＝eq\f(sinAcosB,sinAcosC)＝eq\f(cosB,cosC)＝左边．∴原等式成立.解三角形中的综合问题[探究问题]1.如图所示，图中共有几个三角形？线段AD分别是哪些三角形的边，∠B是哪些三角形的内角？[提示]在图形中共有三个三角形，分别为△ABC，△ABD，△ADC；线段AD是△ADC与△ABD的公共边，∠B既是△ABC的内角，又是△ABD的内角．2．在探究1中，若sinB＝sin∠ADB，则△ABD是什么形状的三角形？在此条件下若已知∠ADB＝α,AB＝m，DC＝n，如何求出AC?[提示]若sinB＝sin∠ADB，则△ABD为等腰三角形，在此条件下，可在△ABD中先求出AD，然后利用余弦定理在△ADC中求出AC，也可以在△ABD中先求出BD，然后在△ABC中，利用余弦定理求出AC.【例3】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝eq\f(π,4)，bsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋C))－csineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋B))＝a.(1)求证：B－C＝eq\f(π,2)；(2)若a＝eq\r(2)，求△ABC的面积．思路探究：(1)先由正弦定理化边为角，再化简已知三角形即证．(2)结合第(1)问可直接求出B，C，再利用面积公式求值；也可以作辅助线导出b，c的大小关系，再由余弦定理求值，最后用面积公式求解．[解](1)证明：由bsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋C))－csineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋B))＝a，应用正弦定理，得sinBsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋C))－sinCsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋B))＝sinA，所以sinBeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)sinC＋\f(\r(2),2)cosC))－sinC(eq\f(\r(2),2)sinB＋eq\f(\r(2),2)cosB)＝eq\f(\r(2),2)，整理得sinBcosC－cosBsinC＝1，即sin(B－C)＝1，因为0<B<eq\f(3,4)π，0<C<eq\f(3,4)π，从而B－C＝eq\f(π,2).(2)因B＋C＝π－A＝eq\f(3π,4)，所以B＝eq\f(5π,8)，C＝eq\f(π,8).由a＝eq\r(2)，A＝eq\f(π,4)得b＝eq\f(asinB,sinA)＝2sineq\f(5π,8)，c＝eq\f(asinC,sinA)＝2sineq\f(π,8)，所以△ABC的面积S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\r(2)sineq\f(5π,8)·sineq\f(π,8)＝eq\r(2)coseq\f(π,8)sineq\f(π,8)＝eq\f(1,2).(变条件，变结论)将例题中的条件“A＝eq\f(π,4)，bsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋C))－csineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋B))＝a”改为“△ABC的面积S＝eq\f(\r(3),4)(a2＋b2－c2)”．求：(1)角C的大小；(2)求sinA＋sinB的最大值．[解](1)由题意可知eq\f(1,2)absinC＝eq\f(\r(3),4)×2abcosC.所以tanC＝eq\r(3)，因为0<C<π，所以C＝eq\f(π,3).(2)由已知sinA＋sinB＝sinA＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－A－\f(π,3)))＝sinA＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－A))＝sinA＋eq\f(\r(3),2)cosA＋eq\f(1,2)sinA＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))≤eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<A<\f(2π,3)))，当A＝eq\f(π,3)，即△ABC为等边三角形时取等号．所以sinA＋sinB的最大值为eq\r(3).1．解三角形综合问题，除灵活运用正、余弦定理及三角形的有关知识外，一般还要用到三角函数，三角恒等变换，平面向量等知识，因此掌握正、余弦定理，三角函数的公式及性质是解题关键．2．三角形问题中，涉及变量取值范围或最值问题要注意函数思想的应用．处理三角形问题时常用的公式(1)l＝a＋b＋c(l为三角形的周长)．(2)A＋B＋C＝π.(3)三角形内切圆的半径：r＝eq\f(2S△,a＋b＋c).特别地，当△ABC为直角三角形，c为斜边时，r＝eq\f(a＋b－c,2).(4)三角形的面积S＝eq\r(p（p－a）（p－b）（p－c）)，这里p＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)，这就是著名的海伦一秦九韶公式．(5)三角形的面积S＝eq\f(abc,4R)＝2R2sinAsinBsinC(R为△ABC外接圆的半径)．1．判断正误(1)公式S＝eq\f(1,2)absinC适合求任意三角形的面积． ()(2)三角形中已知三边无法求其面积． ()(3)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积． ()[答案](1)√(2)×(3)√[提示]已知三边可以先利用余弦定理求出其中一角，然后再求面积故(2)错．2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosC＝eq\f(2\r(2),3)，bcosA＋acosB＝2，则△ABC的外接圆面积为()A．4πB．8πC．9πD．36πC[由余弦定理及题意得b·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＋a·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝2，即eq\f(b2＋c2－a2＋a2＋c2－b2,2c)＝2，整理得c＝2，由cosC＝eq\f(2\r(2),3)得sinC＝eq\f(1,3)，再由正弦定理可得2R＝eq\f(c,