专题17学科交汇（教师版）

专题17学科交汇学科交汇问题具有非常好的阅读性、趣味性、交汇性、创新性、应用性，是高考考查学生全面知识与能力的一个好场所，具有较好的选拔性与区分度，是高考数学试卷命题者比较青睐的命题方向之一。通过本专题的复习要在学习过程中学科交汇问题具有非常好的阅读性、趣味性、交汇性、创新性、应用性，是高考考查学生全面知识与能力的一个好场所，具有较好的选拔性与区分度，是高考数学试卷命题者比较青睐的命题方向之一。通过本专题的复习要在学习过程中,注意通过材料阅读,理解题目内涵;注意通过数学概念、定义、公式的应用来建立起与之对应的有效的数学模型，转化为解决相关的数学问题，进而达到破解问题的目的;注意重视数学课本，重视学科基础，重视基础知识;注意强调数学基本技能与基本方法的训练;注意通过对所学的数学知识有一个系统的认识，为知识交汇、学科融合的应用与解决奠定基础。专题中三个探究（地理交汇、化学交汇、物理交汇）巧妙设置在数学与其他相关学科的共振点上,进行学科间的交汇与融合.选取的问题借助其他学科知识为问题背景，以概念，定义、公式等形式展开,结合数学知识来切入,以实际间题为场景，合理把数学知识、相关学科知识与生活实际加以有机组合,考查相关数学知识与数学能力,是创新意识与应用意识的重要体现。——大冶一中高级教师陈俊杰探究1：数学与地理【典例剖析】例1.(2022·湖南省衡阳市联考)“人有悲欢离合，月有阴晴圆缺”，这里的圆缺就是指“月相变化”，即地球上所看到的月球被日光照亮部分的不同形象，随着月球与太阳的相对位置的不同，便会呈现出各种形状，如图所示，古代中国的天象监测人员发现并记录了月相变化的一个数列，记为{an}，其中1≤n≤15且n∈N*，将满月分成240部分，从新月开始，每天的月相数据如下表所示(部分数据)，a1=5是指每月的第1天可见部分占满月的5240，a8=128是指每月的第8天可见部分占满月的128240，a15=240是指每月的第15天(即农历十五)会出现满月.已知在月相数列1234567891011121314155aaaaaa128aaaaaa240A.124 B.112 C.1选题意图:选题意图:最新联考题.以圆缺为载体,考查数列的基本性质.考查学生的阅读理解能力,分析问题和解决问题的能力,考查逻辑思维和运算求解的核心素养.思维引导：根据等差数列的基本性质及等比中项的性质直接求解即可.【解析】由题知，第5项至第15项构成等差数列，且a8=128，a15=240，故d=16，a5=a15-10d=80．

第1项至第5故选B.【变式训练】练11(2022·山东省德州市模拟)天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(M.R.Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m1-m2=2.5(lgE2-lgE1)，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2)已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25A.1.24 B.1.25 C.1.26 D.1.27【解析】设“心宿二”的星等是m1，“天津四”的星等是m2，“心宿二”的亮度是E1，“天津四”的亮度是E2，

则m1=1.00，m2=1.25，E1=rE2，

∵两颗星的星等与亮度满足m1-m2=2.5(lgE练12(2022·湖北省七市联考·多选)尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M，则下列说法正确的是(

)A.地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级约为七级

B.八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍

C.八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍

D.记地震里氏震级为nn=1,2,⋯,9,10，地震释放的能量为an【解析】由题，lgE=4.8+1.5M，所以E=104.8+1.5M，

对A，当E=1015.3时，有E=104.8+1.5M，解得M=7，A正确；

对B，记八级地震释放的能量为E8=104.8+1.5×8，七级地震释放的能量为E7=104.8+1.5×7，

则E8E7=104.8+1.5×8104.8+1.5×7=101.5≈31.6练13(2022·山东省菏泽市模拟)大气压强p=压力受力面积，它的单位是“帕斯卡”(Pa,1Pa=1N/m2)，大气压强p(Pa)随海拔高度h(m)的变化规律是p=p0e-kh(k=0.000126m-1)，p0是海平面大气压强.已知在某高山A.550m B.1818m C.5500m D.8732m【解析】依题意p1p2=12，p1=p0e-kh1，p练14(2022·重庆市期末)假设地球是半径为r的球体，现将空间直角坐标系的原点置于球心，赤道位于xOy平面上，z轴的正方向为球心指向正北极方向，本初子午线(弧ASB)是0度经线，位于xOz平面上，且交x轴于点Sr,0,0，如图所示，已知赤道上一点E12r,32r,0位于东经60度，则地球上位于东经30度、北纬60A.34r,14r,3【解析】设点P投影到xOy平面上的点P'，则OP=r,OP'=r2,P'P=32r,又OP'与x轴正向的夹角为30°，

由P'在x轴与【规律方法】学科的发展日益壮大，学科之间可以相互借鉴、相互促进.探究2：数学与化学【典例剖析】例2.(2022·湖南省益阳市联考)六氟化硫，化学式为SF6，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构(正八面体是每个面都是正三角形的八面体)，如图所示.若此正八面体的内切球的半径为6，则该正八面体的表面积为

．选题意图选题意图：联考题,以化学气体为载体考查正八面体的表面积的求法.考查数形结合思想.考查学生阅读理解能力、空间想象能力和综合分析问题、解决问题的能力.思维引导：结合空间几何体的结构特征直接求解表面积即可.【解析】如图，连接AC，BD相交于O，连接OP，取BC的中点E，连接OE，PE，设AB=2a，可得OA=OB=OC=OD=2a，OP=AP2-OA2可得BC⊥平面POE，过点O作OH⊥PE，可得OH⊥平面PBC，可得OH的长为内切球半径．

又由OE=a，PE=2a2可得63a=6，解得a=3，∴该正八面体故答案为723【变式训练】练21(2022·山东省青岛市模拟)放射性核元素锶89的质量M会按某个衰减率衰减，设初始质量为M0，质量M与时间t(单位：天)的函数关系为M=M012th(其中h为常数)，若锶89的半衰期(质量衰减一半所用的时间)约为50天，那么锶89的质量从M0A.10 B.20 C.30 D.40【解析】由题意，得12M0=M0⋅1250h⇒h=50，故M=练22(2022·湖北省联考)在某溶液中，A粒子的浓度cA(单位：mol/L)随H+c10101010101c0.110.130.280.490.580.60则A粒子的浓度y与溶液的pH值x的函数关系式(不考虑定义域)可能是(

)注：溶液的pH值定义为-lgcH+；aA.y=1a+b⋅ex B.y=【解析】A.10mｌ0.10mol/L的HClO溶液中加入5mL0.01mol/LNaOH，发生反应

NaOH+HClO=NaClO+H2O，溶液中一定存在电荷守恒，c(Na+)+c(H+)=c(OH-K=c(H+)c(Clo-)c(HClO)=溶解后铵根离子水解显酸性抑制次氯酸的电离，c(HClO)c(ClO-)比值增大，故C错误;

D所得溶液中离子浓度的大小顺序为：c(ClO-)>c(H+【规律方法】化学是自然科学的一种,主要在分子、原子层面,研究物质的组成、性质、结构与变化规律,创造新物质（实质是自然界中原来不存在的分子），当然研究的工具离不开数学，如模型构建、数据的计算与处理等.探究3：数学与物理【典例剖析】例3.(2022·安徽省合肥市联考)牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：θ=(θ1-θ0)e-kt+θ0，其中t为时间(单位：min)，θ0为环境温度，θ1为物体初始温度，θ为冷却后温度.假设在室内温度为20℃A.10min B.20min C.40选题意图选题意图：最新联考题,以实际生活中的物理知识为载体，考查指对运算的实际应用,考查了指数函数模型,考查学生的阅读理解能力,分析问题和解决问题能力.思维引导：根据题意确定已知的四个量代入,求出参数k即可.【解析】∵θ=θ0+(θ1-θ0)e-kt，

又∵当空气温度为20°C时，某物体的温度从100°C下降到60∘C用时20分钟，

∴60=20+(100-20)e-20k，解得e-20k=12，∴-20k=ln12，∴k=ln故选B．【变式训练】练31(2022·福建省龙岩市期末)如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且A.52 B.102 C.142【解析】连接F1B,F1A，则F1，A,C，和F1，B,D三点共线，得F2B=x，F1B=x+2a，

由cos⁡∠F1AB=cos⁡(∠π-∠BAC)=45，

得tan∠F1AB=34，又AB⊥BD练32(2022·江苏省淮安市模拟)2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N随时间T(单位：年)的衰变规律满足N=N0⋅2-T5730(N0表示碳14原有的质量)，经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量约是原来的37，据此推测良渚古城存在的时期距今约

【解析】碳14的质量是原来的37，由题意可知2-T5730=37，

两边同时取以2为底的对数得log22-T5730=log237，练33(2022·广东省四校联考·多选)声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数y=Asin ωt，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数f(x)=sin x+1A.f(x)的图象关于直线x=π对称

B.f(x)在[-π4 , π4]上是增函数

C.f(x)的最大值为【解析】对于A，因为f(2π-x)=-sinx-12sin2x=-f(x)，

所以f(x)的图象关于(π,0)对称，不关于x=π对称，故A错误；

对于B，因为y=sinx与y=12sin2x在[-π4,π4]上都是增函数，

所以f(x)在[-π4,π4]上是增函数，故B正确；

对于C，因为f(-x)=-sinx-12sin2x=-f(x)，所以f(x)是奇函数；

又y=sinx与y=12sin2x的最小正周期分别为2π与π，

所以f(x)的最小正周期为2π，

当x∈[0,π