极坐标系 省赛获奖

§1.2极坐标系§4.1.2极坐标系(1)教学目标:1.理解极坐标的概念

2.学会用极坐标表示平面上的点教学重点:1.理解极坐标的意义

2.能够在极坐标系中用极坐标确定点位置问题2：如何刻画这些点的位置？一、问题情境情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？情境2：请问到隆回一中学校区怎么走？从这向从这向北2000米。问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？从这向北2000米。请问：去隆回一中

学校区怎么走？请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？从这向北走2000米！出发点方向距离

在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。一、极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点。引一条射线OX，叫做极轴。再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向）。这样就建立了一个极坐标系。XO二、极坐标系内一点的极坐标的规定XOM

对于平面上任意一点M，用

表示线段OM的长度，用

表示从OX到OM的角度，

叫做点M的极径，

叫做点M的极角，有序数对（，）就叫做M的极坐标。特别强调：表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离；表示从OX到OM的角度，即以OX（极轴）为始边，OM为终边的角。2、极坐标系内一点的极坐标的规定XOM

极点的极坐标为_________________(0,),

可为任意值.思考:对比直角坐标系，比较异同要素：________________________________________；(2)平面内点的极坐标用_____表示.极点、极轴、长度单位、角度单位和正方向(,)

对于平面上任意一点M,用

表示线段OM的长度,用

表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的角,

叫做点M的极径,

叫做点M的极角,有序数对(,)就叫做M的极坐标。例1.如图，写出各点的极坐标：。Ox

4

2564353

A•B•C•D•E•F•G•A(4,0)B(3,)

4C(2,)

2D(5,)56E(4.5,

)F(6,)43G(7,)53[变式训练1

]在课本的图上描下列点：[小结]由极坐标描点的步骤：

(1)先按极角找到点所在射线；

(2)在此射线上按极径描点.3、点的极坐标的表达式的研究XOM

如图：OM的长度为4，请说出点M的极坐标的其他表达式思考：这些极坐标之间有何异同？思考：这些极角有何关系？这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们是终边相同的角。本题点M的极坐标统一表达式：极径相同，不同的是极角思考:①平面上一点的极坐标是否唯一？若不唯一,那有多少种表示方法？②不同的极坐标是否可以写出统一表达式？4、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况[1]给定（

,）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。原因在于：极角有无数个。OXPM(ρ,θ)如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.例2.在极坐标系中,(1)已知两点，，求线段PQ的长度；

(2)已知点M的极坐标为(

,),R,说明满足上述条件的点M的位置.

在一般情况下，极径都是取正值。但在某些必要的情况下，也允许取负值(

<0):当

<0时如何规定(,)对应的点的位置？°Ox当

<0时，点M(,)的位置规定：

))|

|•M(,)°OxM(-2,)56)56¬¬•点M：在角

终边的反向延长线上，且|OM|=|

|M(-2,)565、关于负极径小结：从比较来看,负极径比正极径多了一个操作,将射线OP“反向延长”.正、负极径时，点的确定过程比较OXPOXP[1]作射线OP，使

XOP=/4[2]在OP的反向延长线上取一点M，使

OM=3[1]作射线OP，使

XOP=/4[2]在OP的上取一点M，使

OM=3M画出点（3，

/4）和（－3，

/4）给定ρ,θ在极坐标系中描点的方法：先按极角找到极径所在的射线，后按极径的正负和数值在这条射线或其反向延长线上描点。M负极径小结：极径变为负，极角增加

。练习：写出点的负极径的极坐标（6，）答：（－6，

+π）或（－6，－+π）特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为

≥

0。因为负极径只在极少数情况用。。Ox

4

2565453

1162332A(-4,0)C(-2,)

2B(3,)56D(-1,)53E(3,-)

6(-4,-)

3F•A•B•C•D•E•F[小结](,)(,2k

+)(-,+

)[-,+(2k+1)

]都是同一点的极坐标.例3.已知点Q(,)，分别按下列条件求出点P的坐标：

(1)P是点Q关于极点O的对称点；

(2)P是点Q关于直线的对称点.(3)P是点Q关于极轴的对称点。

注意点M的极坐标具有多值性.极坐标与直角坐标的区别:

直角坐标

极坐标

表示形式与平面内点的对应关系

一一对应一一对应[3]一点的极坐标有否统一的表达式？三、小结[1]建立一个极坐标系需要哪些要素极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向.[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？无数，极角有无数个.有。（ρ，2kπ+θ）四、课后作业教材P14-15页5，8，9，10，11思考:极坐标系中,点M的坐标为(-10,),则下列各坐标中,不是M点的坐标的是()(A)(10,)(B)(-10,-)(C)(10,-)(D)(10,)43

3532323极坐标和直角坐标的互化§4.1.2极坐标系(2)教学目标:1、掌握极坐标和直角坐标的互化关系式2、会实现极坐标和直角坐标之间的互化教学重点:1、对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解2、互化关系式的掌握极坐标和直角坐标的互化情境1：若点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标系描述比较方便;一、问题情境情境2：若点作旋转变动时，则点的位置采用极坐标系描述比较方便问题1:

极坐标系是怎样定义的?问题2:

极坐标系与直角坐标系有何异同?问题3:平面内的一个点的直角坐标是(1,)，这个点如何用极坐标表示?Oxy在直角坐标系中,以原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并且两种坐标系中取相同的长度单位。点M的直角坐标为θ设点M的极坐标为(ρ,θ)M(2,π/3)极坐标与直角坐标的互化关系式:设点M的直角坐标是(x,y)极坐标是(ρ,θ)x=ρcosθ,y=ρsinθ

互化公式的三个前提条件：1.极点与直角坐标系的原点重合;2.极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;3.两种坐标系的单位长度相同.(限定ρ＞0,0≤θ＜2π)例1.将点M的极坐标化成直角坐标.解:所以,点M的直角坐标为已知下列点的极坐标，求它们的直角坐标。例2.将点M的直角坐标化成极坐标.解:因为点在第三象限,所以因此,点M的极坐标为练习:已知点的直角坐标,求它们的极坐标.例3已知两点（2，），（3，）求两点间的距离.π3π2o