9. 相关分析与回归分析

《统计学》第十章相关分析与回归分析logo授课教师：廖颖文目录相关分析12回归分析1相关分析学习目标

了解相关关系的概念及种类。

掌握相关分析的概念、主要内容，几种常用相关系数的测定方法及相关系数的取值含义。

掌握回归分析的概念、方法及应用，重点掌握简单一元线性回归方程的拟合及应用，明确直线回归方程中待定参数的含义。通用汽车对香草冰激凌过敏吗？通用汽车庞蒂亚克分部收到了一封客户投诉的信件。“……每次我买香草冰激凌，从商店出来的时候我的汽车就无法发动。如果我买其他种类的冰激凌，车就能正常发动。”“为什么一买香草冰激凌庞蒂亚克的车就无法发动，而买其他的车就很容易发动？””庞蒂亚克的总裁对感到不可思议，但他还是派了一名工程师前去检查。投诉的男子刚吃过晚饭准备去买冰激凌，很惊讶也很欢迎工程师的到来，他们立即跳上汽车前往冰激凌商店，那天晚上吃的是香草冰激凌。果然，当他们回到车里时，汽车无法启动。工程师又连续跟了三个晚上。第一天，他们买的巧克力味，汽车正常启动;第二天，他们吃了草莓冰激凌，汽车也正常启动了;第三天，香草冰激凌来了，汽车又无法启动。工程师是一个严谨的人，他拒绝相信男子的汽车对香草冰激凌过敏。于是他决定继续调查直到决定问题为止。他开始记各种笔记:买冰激凌的时间，汽油的使用类型，开车来回的时间等等。很快，他就有了线索。这个人买香草冰淇淋的所花费的时间比其他口味的短很多。为什么？问题就在商店的布局中。香草冰激凌是最受欢迎的口味，放在商店最前面的一个箱子里，方便取货。而其他口味的冰激凌则放在后面不同的柜台，取货需要更多的时间。所以为什么买香草冰激凌就无法启动呢？问题是时间而不是冰激凌，工程师很快就想到了答案，“气阻”。它每天晚上都在发生，但是购买其他口味冰激凌花费的时间足以让引擎冷却从而启动。但当男子购买香草冰激凌的时候，引擎太热气阻无法及时消失。有时候问题看起来很疯狂甚至愚蠢但它是真实存在的，虽然我们通过冷静思考并找到解决方案时发现它很简单。§10.1相关分析一、相关关系（一）相关关系的概念在社会经济领域中，现象与现象之间具有一定的联系，一种现象的变化往往取决于或者影响其他现象的变化。现象之间的关系一般可以分为函数关系和相关关系。§10.1相关分析当现象之间存在着完全确定关系，即一个现象能被一个或若干个其他现象按某一规律唯一确定时，这种关系通常被称为函数关系。当现象之间存在着一定关系但又具有一些不确定性时，即一个现象虽然受其他现象影响，但不能完全确定，这种关系通常被称为相关关系。§10.1相关分析一、函数关系与相关关系（一）函数关系1、定义：完全确定的（数量）关系。（1）某一（组）变量与另一变量间存在着一一对应的关系；[例]计件工资（y）与产量（x）y=10x；（二）相关关系１、定义：不完全确定的关系。（1）某一（组）变量与另一变量间有关系但并非一一对应；§10.1相关分析1.客观现象之间的数量联系可以归纳为函数关系和相关关系两种不同的类型（）判断题答案：

√§10.1相关分析2.圆的周长C与其半径r之间的依存关系可以表示为，这是一种相关关系（）判断题答案：×，函数关系§10.1相关分析1.当自变量的数值确定后，因变量的数值也随之完全确定，这种关系属于（

）A、相关关系

B、函数关系

C、回归关系

D、随机关系单选题答案：

B§10.1相关分析2.下面的关系中不是相关关系的是（）A、身高与体重之间的关系B、工资水平与工龄之间的关系C、农作物的单位面积产量与降雨量之间的关系D、圆的面积与半径之间的关系单选题答案：

D§10.1相关分析（2）非因果关系。相关现象变量之间不存在因果关系，称之为非因果相关关系。（二）相关关系的种类1.根据依存关系划分（1）因果关系。相关现象之间有因果关系，称之为因果相关关系。这又分为两种情况：②双向因果关系。①单向因果关系。例：父母身高与子女身高，农作物施肥量与产量。例：供求平衡与价格。§10.1相关分析若干个变量与一个变量之间的相关关系称为复相关。

（1）单相关。（2）复相关。2.根据自变量多少划分对于单向因果相关关系，影响变量称为自变量，被影响变量称为因变量。§10.1相关分析

当相关关系的一个变量变动时，另一个变量也相应地发生变动，但这种变动是不均等的，这种相关关系就称为非线性相关。（1）线性相关（直线相关）。（2）非线性相关（曲线相关）。3.根据相关形式划分§10.1相关分析

正相关是指两个变量之间的变化方向一致，都是增长趋势或下降趋势。负相关是指两个变量之间的变化方向不一致，一个下降而另一个上升，或一个上升而另一个下降。4.根据相关方向划分（1）正相关。（2）负相关。§10.1相关分析

5.根据相关程度划分

如果两个变量的数量变化互相独立，这种关系称为不相关。

如果一个变量的数量变化由另一个变量的数量变化唯一确定，这时两个变量间的关系称为完全相关。完全相关实际是函数关系。

如果两个变量之间的关系介于不相关和完全相关之间，称为不完全相关。（1）不相关。（2）完全相关。（3）不完全相关。§10.1相关分析1.当所研究的是一个变量对两个或两个以上其他变量的相关关系时，称为（）A．单相关B．复相关C．偏相关单选题答案：B§10.1相关分析三、相关分析方法要进行相关分析时，需要对现象之间是否存在依存关系进行定性分析。（一）相关表相关表是根据两个相关变量，即自变量和因变量相对应的关系数值编制成的数列表。§10.1相关分析相关表简单相关表分组相关表未经分组，只将自变量数值按照大小顺序并配合相应因变量的数值平行排列。P207表10-1单变量分组表多变量分组表只对自变量数值进行分组。P207表10-2对自变量和因变量都进行分组。P208表10-3§10.1相关分析（三）相关系数相关系数是反映客观现象之间直线相关关系及关系密切程度的指标。相关系数基本计算公式为：式中：——自变量及其平均值；

——因变量及其平均值；

——自变量及因变量标准差；

——变量值个数。简捷公式：§10.1相关分析P209例10.1线性相关的判断准则若将协方差代入，则得到相关系数取值范围为时，表示正线性相关；时，表示负线性相关；时表示与无线性关系（但不说明

与

无任何关系）；时，为完全相关，越大，表示相关程度越高。§10.1相关分析1.根据你的判断，下面的相关系数取值哪一个是错误的（）A、–0.86B、0.78C、1.25D、0单选题答案：

C§10.1相关分析课本例题P212-213例10.2相关系数的计算§10.1相关分析练习：2008年1月期末考试结束后，从某班50名学生中随机抽取10名，得其高等数学成绩与统计学成绩资料如下：要求：根据上述资料计算相关系数分析高等数学成绩与统计学成绩之间的相关情况，并绘制相关图。（1）根据需要，计算有关数据如下：相关系数计算表高等数学成绩和统计学成绩相关关系示意图§10.1相关分析§10.1相关分析1.测定变量之间相关密切程度的代表性指标是（

）A、估计标准误

B、两个变量的协方差

C、相关系数

D、两个变量的标准差单选题答案：

C§10.1相关分析2.变量之间的相关程度越低，则相关系数的数值（

）A、越小

B、越接近于0

C、越接近于-1

D、越接近于1单选题答案：B§10.1相关分析3.在价格不变的条件下，商品销售额和销售量之间存在着（

）A、不完全的依存关系

B、不完全的随机关系

C、完全的随机关系

D、完全的依存关系单选题答案：D§10.1相关分析4.当一个或几个相互联系的自变量取一定的值时，因变量必定有一个且只有一个确定的值与之对应。这种关系称为（）A．函数关系B．相关关系C．对应关系单选题答案：A§10.1相关分析5.当相关系数时，只能认为变量之间不存在（）A．线性相关关系B．曲线相关关系C．任何相关关系单选题答案：A§10.1相关分析6.如果两个变量之间存在负相关关系，下列回归方程中哪个肯定有误（）A、=25–0.75xB、=–120+0.86xC、=200–2.5xD、=–34–0.74x单选题答案：B§10.1相关分析下列回归方程中哪个肯定有误（）A、y=15–0.48x，r=0.65B、y=–15-1.35x，r=-0.81C、y=-25+0.85x，r=0.42D、y=120–3.56x，r=-0.96单选题答案：A2回归分析§10.2回归分析上课之前我们先来讨论一个问题：你想要找什么样的男朋友or女朋友？§10.2回归分析§10.2回归分析择偶策略§10.2回归分析§10.2回归分析下面这两个人中你会倾向于选择哪个当男朋友？§10.2回归分析男性在择偶时重视的因素：面容、身材、人格、年龄以上四个因素将如何排序？§10.2回归分析女性在择偶时重视的因素：身体特征、人格、经济地位以上三个因素将如何排序？§10.2回归分析§10.2回归分析§10.2回归分析§10.2回归分析§10.2回归分析§10.2回归分析§10.2回归分析一、回归与回归分析（一）回归在统计学中，研究相关变量之间的数量关系，以探索它们之间的统计规律。（二）回归分析回归分析是指对具有相关关系的现象之间数量变化进行测定，配合一定数学方程（称为回归方程），对因变量进行估计或预测的一种统计分析方法。§10.2回归分析回归分析和相关分析差别主要有以下几点:

第一，在回归分析中，如果变量

是自变量，则变量

称为因变量，处在被解释的特殊地位。在相关分析中，变量与变量

处于平等地位，即研究变量

与变量

的密切程度与研究变量

与变量

的密切程度是一回事儿。§10.2回归分析

第三，相关分析的研究主要是为刻画两类变量间线性相关的密切程度。而回归分析不仅可以揭示变量

对变量

的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制。

第二，相关分析中涉及的变量全是随机变量，而回归分析中，因变量

是随机变量，自变量

可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量。§10.2回归分析

其一，相关分析是回归分析的基础和前提。其二，回归分析是相关分析的深入和继续。回归分析与相关分析也存在着一定联系:§10.2回归分析

在相关分析的基础上，用相应的数学表达式来反映变量之间的数量关系，该数学表达式称为回归方程或回归模型。一元线性回归模型是只有一个自变量与一个因变量的直线回归方程。二、一元线性回归模型§10.2回归分析建立一元线性回归模型，应注意以下几点内容。第一，两个变量之间确实存在显著的直线相关关系才能建立一元线性回归模型。第二，应根据最小平方法（最小二乘法）原理配合一元线性回归模型。第三，根据变量之间的因果关系，有时可以建立两个独立模型。§10.1相关分析1.回归分析中的两个变量（

）A、都是随机的

B、关系是对等的

C、一个是自变量，一个是因变量

D、都是给定的单选题答案：C§10.2回归分析将要建立的模型为：式中：

——待求参数；

——直线在

轴上的截距，代表经济现象经过修匀的基础水平；

——直线斜率，称为

对

的回归系数，表明

每变动一个单位时，影响平均变动的数量。一元线性回归模型的建立过程。§10.2回归分析根据最小平方法原理，

中的

应使最小值成立。将

代入最小值，使之变为：利用微分求极限的方法取两个偏导数等于零，推导出下列方程组：

解联立方程得：或§10.2回归分析一元线性回归模型:长期趋势的测定与分析-直线趋势:课本P102课本P21