单调性与最大（小）值2

函数的单调性与最大（小）值（第一课时）

如图为我市某天24小时内的气温变化图．观察这张气温变化图：问题1：说出气温在哪些时段内是逐步升高的或下降的？问题2：怎样用数学语言来刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？t1t2f(t1)f(t2)xyoxyoabab[a，b]上，函数

y

随x

的增大而减小在[a，b]上，函数

y随x

的增大而增大——单调递增性——单调递减性通俗定义问题3：如何用数学语言来精准地描述函数的这种增减性呢？一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，区间D

I．如果对于区间D内的任意两个值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说y＝f(x)在区间D上是单调增函数，D称为y＝f(x)的单调增区间．

单调增函数xyoabf（x1）x1x2f（x2）问题4：类比单调增函数概念，你能给出单调减函数的概念吗？f（x1）x1x2f（x2）Oxy一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，区间D

I．如果对于区间D内的任意两个值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说y＝f(x)在区间D上是单调减函数，D称为y＝f(x)的单调减区间．

单调减函数说明（1）函数的单调性也叫函数的增减性；（2）函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概念。这个区间是定义域的子集。（3）单调区间：针对自变量x

而言的。若函数在此区间上是增函数，则区间为单调递增区间若函数在此区间上是减函数，则区间为单调递减区间yxoy=kx+b(k>0)yxoy=kx+b(k<0)1.一次函数的单调性结论：2.二次函数的单调性xyO练习：3.反比例函数的单调性yOx例1.如图是定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一个单调区间上，y=f(x)是增函数还是减函数。在区间[-2,1),[3,5]上是增函数。答：函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5],其中y=f(x)在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数，证：在区间（－∞，0）上任意取两个值，且，

∵∴

即∴例2.证明：函数在区间（－∞，0）上是单调减函数．∴

在区间（－∞，0）上是单调减函数．取值作差变形定号判断则证：在区间[－1，＋∞）上任意取两个值，且，练习.证明：函数在区间［－1，＋∞）上是单调增函数．∴

在区间[－1，＋∞）上是单调增函数．∴

即∴∵取值作差变形定号判断则１．讨论函数的单调性必须在定义域内进行，即函数的单调区间是其定义域的子集．因此讨论函数的单调性，必须先确定函数的定义域；2.函数的单调性是针对给定区间而言的.3．根据定义证明函数单调性的一般步骤是：(1)取值且x1<x2；(2)作差f(x1)－f(x2)；并将此差式变形(要注意变形的程度)；(3)判断f(x1)－f(x2)的正负(要注意说理的充分性)；（定号）(4)下结论。

①图象判断②定义证明要求：课堂小结2.讨论函数的单调性，并证明你的结论.提升训练2、若定义在R上的单调减函数满足，试确定实数的取值范围吗？1、定义在R上的单调函数满足，那么函数是R上的单调增函数还是单调减函数？请思考下列问题:0函数的单调性与最大（小）值（第二课时）图象上有一个最低点（0,0），即对于任意的，都有图象没有最低点。yx观察一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值（maximumvalue）。你能给出函数最小值的定义吗？函数的最大（小）值关于函数最大（小）值的几点说明:1.一个函数不一定有最值，例如2.若函数有最大(或最小)值，则一定唯一的,但取最值时的自变量却可以有多个.例如:例1.求函数y=x2-2x+3分别在下列范围上的最值.（1）R（2）[2,4]（3）[-2,0]（4）[-2,4]X=1Oxy24-2例2、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果在距地面高度hm与时间ts之间的关系为:h(t)=-4.9t2+14.7t+18

，那么烟花冲出后什么时候是它的爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）解：作出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象(如图).显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.

由于二次函数的知识，对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有:

于是，烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度为29m.例3.求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值．

解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1<x2,则由于2<x1<x2<6,得x2-x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,于是所以，函数是区间[2,6]上的减函数.

因此,函数在区间[2,6]上的两个端点上分别取得最大值和最小值，即在点x=2时取最大值，最大值是2，在x=6时取最小值，最小值为0.4.

求函数的最大（小）值的方法1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值;2.利用图象求函数的最大（小）值;3.利用函数单调性的求函数的最大（小）值.

巩固练习1、函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-∞，6]内递减，则a的取值范围是()A、a≥3B、a≤3C、a≥-3D、a≤-3D2、在已知函数f(x)=4x2-mx+1,在(-∞，-2]上递减，在[-2,+∞)上递增，则f(x)在[1,2]上的值域____________.[21,49]3、分别在下列各范围上求函数y=x2+2x－3的最值.(1)RO-2xy2-1(2)-1≤x≤2(3)－2≤x≤2（1）函