上海市徐汇区上海第四中学2023年高二数学第一学期期末经典模拟试题含解析

上海市徐汇区上海第四中学2023年高二数学第一学期期末经典模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线的焦点在y轴上，且实半轴长为4，虚半轴长为5，则双曲线的标准方程为（）A.＝1 B.＝1C.＝1 D.＝12．若双曲线与椭圆有公共焦点，且离心率，则双曲线的标准方程为（）A. B.C. D.3．已知且，则下列不等式恒成立的是A. B.C. D.4．已知直线与椭圆：（）相交于，两点，且线段的中点在直线：上，则椭圆的离心率为（）A. B.C. D.5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC（）A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形 D.是锐角或直角三角形6．如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于其焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点.图2是图1的轴截面，，两点关于抛物线的对称轴对称，是抛物线的焦点，是馈源的方向角，记为.焦点到顶点的距离与口径的比为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等.若馈源方向角满足，则该抛物面天线的焦径比为（）A. B.C. D.27．平行直线：与：之间的距离等于（）A. B.C. D.8．函数在和处的导数的大小关系是（）A. B.C. D.不能确定9．已知双曲线，则“”是“双曲线的焦距大于4”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10．如图，、分别是椭圆的左顶点和上顶点，从椭圆上一点向轴作垂线，垂足为右焦点，且，点到右准线的距离为，则椭圆方程为（）A. B.C. D.11．已知命题P：，，则命题P的否定为（）A.， B.，C.， D.，12．已知椭圆，则它的短轴长为（）A.2 B.4C.6 D.8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列前项和为，且，则_______.14．已知空间向量，则使成立的x的值为___________15．已知椭圆的长轴在轴上，若焦距为4，则__________.16．已知斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点A，B，M为y轴上一点且满足|MA|=|MB|，则点M的纵坐标的取值范围是___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：.18．（12分）从①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答：已知等差数列公差大于零，且前n项和为，，______，，求数列的前n项和.（注：如果选择多个条件分别解答，那么按照第一个解答计分）19．（12分）已知数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）记，其中表示不超过最大整数，如，.（i）求、、；（ii）求数列的前项的和.20．（12分）已知椭圆，离心率为，短半轴长为1（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线，问：在椭圆C上是否存在点T，使得点T到直线l的距离最大？若存在，请求出这个最大距离；若不存在，请说明理由21．（12分）求适合条件的椭圆的标准方程.（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点；（2）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6.22．（10分）某高校在今年的自主招生考试成绩中随机抽取100名考生的笔试成绩，分为5组制出频率分布表如图所示.组号分组频数频率150052350.35330b4cd5100.1（1）求b，c，d的值；（2）该校决定在成绩较好的3、4、5组用分层抽样抽取6名学生进行面试，则每组应各抽多少名学生？（3）在（2）的前提下，从抽到6名学生中再随机抽取2名被甲考官面试，求这2名学生来自同一组的概率.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据双曲线的性质求解即可.【详解】双曲线的焦点在y轴上，且实半轴长为4，虚半轴长为5，可得a＝4，b＝5，所以双曲线方程为：＝1.故选：D.2、A【解析】首先求出椭圆的焦点坐标，然后根据可得双曲线方程中的的值，然后可得答案.【详解】椭圆焦点坐标为所以双曲线的焦点在轴上，，因为，所以，所以双曲线的标准方程为故选：A3、C【解析】∵且，∴∴选C4、A【解析】将直线代入椭圆方程整理得关于的方程，运用韦达定理，求出中点坐标，再由条件得到，再由，，的关系和离心率公式，即可求出离心率.【详解】解：将直线代入椭圆方程得，，即，设，，，，则，即中点的横坐标是，纵坐标是，由于线段的中点在直线上，则，又，则，，即椭圆的离心率为.故选：A5、C【解析】由余弦定理确定角的范围，从而判断出三角形形状【详解】由得－cosC>0，所以cosC<0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形.故选：C6、B【解析】建立平面直角坐标系，利用题设条件得到得点坐标，代入抛物线方程化简即可求解【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为（）在中，则所以则所以，所以将代入抛物线方程中得所以或即或（舍）当时，故选：B7、B【解析】先由两条直线平行解出，再按照平行线之间距离公式求解.【详解】，则：，即，距离为.故选：B.8、A【解析】求出函数导数即可比较.【详解】，，所以，即.故选：A.9、A【解析】先找出“双曲线的焦距大于4”的充要条件，再进行判断即可【详解】若的焦距，则；若，则故选：A10、A【解析】设椭圆方程为，设该椭圆的焦距为，则，求出点的坐标，根据可得出，可得出，，结合已知条件求得的值，可得出、的值，即可得出椭圆的方程.【详解】设椭圆方程为，设该椭圆的焦距为，则，由图可知，点第一象限，将代入椭圆方程得，得，所以，点，易知点、，，，因为，则，得，可得，则，点到右准线的距离为为，则，，因此，椭圆的方程为.故选：A.11、B【解析】根据特称命题的否定变换形式即可得出结果【详解】命题：，，则命题的否定为，故选：B12、B【解析】根据椭圆短轴长的定义进行求解即可.【详解】由椭圆的标准方程可知：，所以该椭圆的短轴长为，故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、，.【解析】由的递推关系，讨论、求及，注意验证是否满足通项，即可写出的通项公式.【详解】当时，，当且时，，而，即也满足，∴，.故答案为：，.14、##【解析】利用空间向量垂直的坐标表示列方程求参数x的值.【详解】由题设，，可得.故答案为：.15、8【解析】根据椭圆方程列方程，解得结果.【详解】因为椭圆的长轴在轴上，焦距为4，所以故答案为：8【点睛】本题考查根据椭圆方程求参数，考查基本分析求解能力，属基础题.16、【解析】设直线的方程为，由消去并化简得，设，，，解得..由于，所以是垂直平分线与轴的交点，垂直平分线方程为，令得，由于，所以.也即的纵坐标的取值范围是.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、见解析【解析】将代入式子，得到，，进而进行化简，最后通过基本不等式证明问题.【详解】∵，，，∴，.∴＝，当且仅当，即时取“＝”18、；【解析】将条件①②③转化为的形式，列方程组，并求解，写出的通项公式，从而表示出，利用裂项相消法求和.【详解】选①：设等差数列首项为，公差为，因为，，所以，所以，所以，所以选②：设等差数列首项为，公差为，因为，，所以，所以，所以，所以选③：设等差数列首项为，公差为，因为，，所以，所以，所以，所以【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和19、（1）；（2）（i），，；（ii）.【解析】（1）推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式；（2）（i）利用对数函数的单调性结合题中定义可求得、、的值；（ii）分别解不等式、、，结合题中定义可求得数列的前项的和.【小问1详解】解：因为，，则，可得，，可得，以此类推可知，对任意的，.由，变形为，是一个以为公差的等差数列，且首项为，所以，，因此，.【小问2详解】解：（i），则，，则，故，，则，故；（ii），当时，即当时，，当时，即当时，，当时，即当时，，因此，数列的前项的和为.20、（1）；（2）存在，最大距离为.，理由见解析【解析】（1）根据离心率及短轴长求椭圆参数，即可得椭圆方程.（2）根据直线与椭圆的位置关系，将问题转为平行于直线且与椭圆相切的切线与直线最大距离，设直线方程联立椭圆方程根据求参数，进而判断点T的存在性，即可求最大距离.【小问1详解】由题设知：且，又，∴，故椭圆C的方程为.小问2详解】联立直线与椭圆，可得：，∴，即直线与椭圆相离，∴只需求平行于直线且与椭圆相切的切线与直线最大距离即为所求，令平行于直线且与椭圆相切的直线为，联立椭圆，整理可得：，∴，可得，当，切线为，其与直线距离为；当，切线为，其与直线距离为；综上，时，与椭圆切点与直线距离最大为.21、（1）或（2）【解析】（1）待定系数法去求椭圆的标准方程即可；（2）待定系数法去求椭圆的标准方程即可.【小问1详解】当椭圆焦点在x轴上时，方程可设为，将点代入得，解之得，则所求椭圆方程为当椭圆焦点在y轴上时，方程可设为，将点代入得，解之得，则所求椭圆方程为【小问2详解】椭圆方程可设为，则，解之得，则椭圆方程为22、（1），，（2）第三组应抽人，第四组应抽人，第五组应抽人（3）【解析】（1）根据频率分布表的数据求出b，c，d的值；（2）三个组共有60人，从而利用分层抽样抽样方法抽取6名学生第三组应