专题07导数及其应用（重点）（解析版）

专题07导数及其应用（重点）一、单选题1．已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】根据导数的定义求解.【解析】因为,所以,故选:A.2．曲线在点处的切线方程为，则a，b的值分别为（

）A．-1，1 B．-1，-1 C．1，1 D．1，-1【答案】C【分析】根据切点和斜率求得切线方程.【解析】依题意，切点为，斜率为，，所以，解得.故选：C3．下列求导运算错误的是（

）.A． B．C． D．【答案】D【分析】利用导数公式和运算法则判断【解析】解：A选项中，，故正确；B选项中，，故正确；C选项中，，故正确D选项中，，故错误，故选：D.4．函数的图像如图所示，则关于函数的说法正确的是（

）A．函数有3个极值点B．函数在区间上是增加的C．函数在区间上是增加的D．当时，函数取得极大值【答案】C【分析】结合导数与函数单调性的关系可知，，函数单调递增，，函数单调递减，结合图像即可判断函数的单调区间及极值.【解析】结合导数与函数单调性的关系可知，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值.所以D错误；故函数有2个极值点，所以A错误；函数的单调性为：单增区间；单减区间.故B错误，C正确.故选：C.5．当时，函数取得最大值，则（

）A． B． C．2 D．4【答案】A【分析】由得，再由在处取得最大值，分析得，得.【解析】当时，函数取得最大值-2，所以，即，，定义域为，又因为在处取得最大值，所以在上单调递增，在上单调递减，，则，所以.故选：A.6．若函数在区间上不单调，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求导，对分类讨论，分与两种情况，结合零点存在性定理可得的取值范围.【解析】，，当时，在上恒成立，此时在上单调递减，不合要求，舍去；当时，则要求的零点在内，的对称轴为，由零点存在性定理可得：，故，解得：，故的取值范围.故选：C7．已知，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】原式整理化简为，可构造函数，使用函数的单调性求解.【解析】∵∴原式令，则，当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，又∵，，，∴当时，，∴当，的取值范围是.故选：D.8．函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先得到的奇偶性，排除CD，再利用导函数得到时，恒成立，排除A，选出正确答案.【解析】的定义域为R，且，所以为偶函数，排除CD；令，，则恒成立，故当时，，又在上恒成立，所以在上恒成立，排除A，B选项正确.,故选：B9．定义在上的可导函数的导函数记为，若为奇函数且，当时，，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，根据题意求得函数在为单调递增函数，然后分，和三种情况进行求解即可【解析】设，则，因为当时，成立，所以，为递减函数，又因为函数为奇函数，可得，则，所以函数为偶函数，所以函数在为单调递增函数，因为，所以，，，当时，由为奇函数可得不满足题意；当时，由可得，所以；当时，由可得，所以，此时，综上所述，不等式的解集是故选：D10．函数的定义域为，为奇函数，且的图像关于对称．若曲线在处的切线斜率为，则曲线在处的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意得函数的图像关于点对称，关于对称，进而得函数是周期为的周期函数，再结合题意，根据周期性与对称性求解即可.【解析】解：因为为奇函数，即，所以，函数的图像关于点对称，即，因为的图像关于对称，所以的图像关于对称，即，所以，，所以，即函数是周期为的周期函数，所以曲线在处的切线斜率等于曲线在处的切线斜率，因为曲线在处的切线斜率为，图像关于对称，所以，曲线在处的切线斜率为，因为，，所以，所以，所以曲线在处的切线方程为，即.故选：A11．对任意恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由得，令，，利用导函数求最小值、最大值即可.【解析】当时，，不等式显然成立；当时，，令，令，则是上的增函数且，当时，此时递减，时，此时递增.故的最小值为，令，则，故是增函数，的最大值为，故，综上所述，，故选：D12．关于函数，下列判断正确的是（

）①是的极大值点，②函数有且只有1个零点，③存在正实数，使得成立，④对任意两个正实数，且，若，则.A．①④ B．②③ C．②③④ D．②④【答案】D【分析】对于①，根据极大值点的定义，求导，研究导数与零的大小关系，可得答案；对于②，构造函数，求导研究其单调性，根据零点存在定理，可得答案；对于③，采用变量分离，构造函数，研究单调性与最值，可得答案；对于④，以直线为对称轴，构造函数，求导研究其单调性和最值，可得答案.【解析】对于①，由，求导得，令，解得，可得下表：极小值则为函数的极小值点，故错误；对于②，由，求导得：，则函数在上单调递减，当时，，当时，，由，故函数有且只有1个零点，故正确；对于③，由题意，等价于存在正实数，使得，令，求导得，令，则，在上，，函数单调递增；在上，，函数单调递减，，，在上单调递减，无最小值，不存在正实数，使得恒成立，故错误；对于④，令，则，，令，则，在上单调递减，则，即，令，由，且函数在上单调递增，得，则，当时，显然成立，故正确.故选：D.二、多选题13．（多选）设在处可导，下列式子中与相等的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用导数的定义对各选项逐一分析计算并判断作答.【解析】对于A，，A满足；对于B，，B不满足；对于C，，C满足；对于D，，D不满足.故选：AC14．已知函数，则（

）A．成立 B．是上的减函数C．为的极值点 D．只有一个零点【答案】CD【分析】本题首先可根据求导得出，然后利用导函数求出函数的单调性，最后结合单调性求出函数的最值，即可得出结果.【解析】因为，所以，当时，，，即当时是增函数，B错误，当时，，，即当时是减函数，则当时，取极小值，即最小值，，，故A错误，C正确，D正确，故选：CD.15．定义在上的函数满足，，则下列说法正确的是（

）A．在处取得极大值，极大值为B．有两个零点C．若在上恒成立，则D．【答案】ACD【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，再逐项分析即可判断作答.【解析】，由得：，即，令，而，则，即有，，当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，于是得在处取得极大值，A正确；显然，即函数在上有1个零点，而时，恒成立，即函数在无零点，因此，函数在定义域上只有1个零点，B不正确；，，令，，当时，，当时，，即函数在上递增，在上递减，因此，当时，，所以，C正确；因函数在上单调递增，而，则，又，则，即，D正确.故选：ACD【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.16．已知函数，则下列选项正确的有（

）A．函数极小值为1B．函数在上单调递增C．当时，函数的最大值为D．当时，方程恰有3个不等实根【答案】AC【分析】求导得，分析的单调性，进而可得极大值、极小值与最值，即可判断ABC是否正确；作出的图象，结合图象即可判断D是否正确.【解析】对于AB：，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以的极大值为，的极小值为，故A正确，B错误；对于C：由函数单调性知，在上单调递增，在上单调递减，在上递增，且，，故函数的最大值为，故C正确；对于D：当时，，时，，且的极大值为，的极小值为，由上述分析可知，的图象为：由图象可得当或时，有1个实数根，当或时，有2个实数根，当时，有3个实数根，故D错误.故选：AC.三、填空题17．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数______．【答案】【分析】求导，根据切线斜率为切点处导数值即可求解.【解析】直线的斜率为：，故切线的斜率为2，，解得．故答案为：18．记函数的导函数为，且溥足，则＝______．【答案】##1.5【分析】首先对函数求导，将代入导函数中，求解的导函数值，进而求得，最后代入求解即可.【解析】由题意得，，∴，解得，∴，∴．故答案为：19．已知函数的定义域为D，给出下列三个条件：①，有；②，有；③且，有.试写出一个同时满足条件①②③的函数，则___________.【答案】（答案不唯一）【分析】根据条件分析函数的奇偶性、单调性判断即可【解析】由①可得，在定义域内为奇函数，由②可得恒成立，由③可得不是在整个区间上单调递减，故可有故答案为：（答案不唯一）20．的两个极值点满足，则的最小值为________.【答案】【分析】由已知函数求导，令则可得，代入极值点后两式作商，可得到的关系，作商得到的结果指对互换，便可解出，根据题目所求，代入后便可构造新的函数，通过求导可求得最小值.【解析】由函数，，则，因为函数两个极值点，则①，②，得③，设，则且，代入③得，设，则，设，则，在单调递减，，从而，在单调递减，，故的最小值为.故答案为：【点睛】求函数最值，通常是对所求函数求导，当一阶导数不能确定极值点时，可二阶求导确定导函数的单调性和零点，可得到原函数的单调区间，进而求得原函数的最值.四、解答题21．已知函数，且.(1)求的解析式；(2)求曲线在处的切线方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）先求导数，根据可求，进而可得答案；（2）先求导数得到切线斜率，再求出切点，利用点斜式可求切线方程.（1）因为，且，所以，解得，所以函数的解析式为.（2）由（1）可知，；又，所以曲线在处的切线方程为，即.22．求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】（1）利用基本初等函数及加法求导法则计算；（2）利用导函数乘法法则进行计算；（3）利用导函数乘法法则进行计算；（4）利用复合函数求导法则计算；（5）利用复合函数及导函数乘法法则进行计算；（6）利用求导加减乘除法则进行计算.(1)(2)(3)(4)(5)(6)23．已知函数，其中(1)求的单调区间；(2)恒成立，求a的值．【答案】(1)递减区间是，递增区间是；(2)2.【分析】（1）求出函数的导数，再解不等式即可作答.（2）利用（1）的信息，求出的最小值，再构造函数并求出其最大值即可作答.【解析】（1）函数的定义域为，求导得函数，因，当时，，当时，，即函数在上递减，在上递增，所以函数的递减区间是，递增区间是.（2）由（1）知，函数在处取得最小值，，令，，当时，，当时，，因此函数在上单调递增，在上单调递减，则，于是得恒成立，而恒成立，即恒成立，从而得，所以.24．已知且.(1)讨论函数的单调性；(2)当时，求证：.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）对参数的值进行分类讨论，在不同的情况下根据导数的正负即可判断函数单调性；（2）将待证不等式两边同乘以，令，将问题转化为证明的最小值大于等于零即可.【解析】（1）且的定义域为，，当时，令，得；令，得，故函数在上单调递增，在上单调递减；当时，令，得；令，得，故函数在上单调递减，在上单调递增.（2）当时，即为，由于，两边同时乘以，得，即证明.因为，令，令，则，所以在上，单调递减，在上，单调递增.所以，所以.即得证.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数单调性，以及利用导数证明不等式；第二问处理的关键是构造函数，从而简化证明，属综合中档题.25．设函数．(1)若函数是增函数，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使得是的极值点？若存在，求出a；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)不存在，理由见解析【分析】（1）由是增函数等价转化为恒成立，通过参变分离，求新函数的最值，得到参数a的取值范围；（2）先假设是的极值点，由必要性条件求出a的值，再代回验证，发现不能使是极值点成立，故判断为不存在.【解析】（1），∵是增函数，∴对恒成立，∴令令且当时，，单调递减；当时，，单调递增.∴，∴即a的取值范围为．（2）若是的极值点，则必有（必要性）当时，∴在上单调递增，无极值点，故假设不成立即不存在这样的a．26．如图，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路，点P所在的山坡面与山脚所在水平面所成的二面角为，且，点P到平面的距离．沿山脚原有一段笔直的公路AB可供利用，从点O到山脚修路的造价为a万元，原有公路改建费用为万元，当山坡上公路长度为时，其造价为万元，已知，，，．(1)在AB上求一点D，使沿折线PDAO修建公路的总造价最小；(2)对于（1）中得到的点D，在DA上求一点E，使沿折线PDEO修建公路的总造价最小；(3)在AB上是否存在两个不同的点，使沿折线修建公路的总造价小于（2）中得到的最小总造价，证明你的结论．【答案】(1)时，总造价最小.(2)时，总造价最小(3)不存在，使总造价小于（2）中得到的最小造价，证明见解析【分析】（1）设，则，写出总造价的函数解析式，求最小值；（2）设，写出总造价的函数解析式，利用导数求函数最小值；（3）设，，写出总造价的解析式，求最小值，并与（2）中得到的最小值进行比较.【解析】（1）由题，因为，，，所以，即山坡面与所成二面角的平面角，，.设，，则.设总造价万元，则当，即时，总造价最小.（2）设，，总造价万元，则，，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当，即时，总造价最小，最小总造价为万元.（3）不存在，使总造价小于（2）中得到的最小造价.证明：在AB上取不同两点，，由题在和A点之间，设，，，总造价为万元，则，同（1）（2），，，当且仅当，时，等号同时成立，即总造价最小，最小总造价为万元，等于第（2）中的最小造价.所以不存在，使总造价小于（2）中得到的最小造价.27．已知函数(1)若函数f（x）在处取得极值，求m；(2)在（1）的条件下，，使得不等式成立，求a的取值范围.【答案】(1)1(2)【分析】（1）首先对函数求导，利