高等代数(北大版)第6章习题参考答案

未知驱动探索，专注成就专业高等代数（北大版）第6章习题参考答案习题1题目：设A为n阶方阵且|A|=2，证明$\\text{tr}(A)=\\text{tr}(A^{-1})$，其中$\\text{tr}(A)$表示答案：根据矩阵的迹定义可得：$\\text{tr}(A)=a_{11}+a_{22}+\\ldots+a_{nn}$，其中aij为矩阵A第i行第j由矩阵的迹的性质可知：$\\text{tr}(A)=\\text{tr}(A^{-1})$成立的条件是A和A−1设A的特征值为$\\lambda_1,\\lambda_2,\\ldots,\\lambda_n$，则有：$$|A|=\\lambda_1\\lambda_2\\ldots\\lambda_n=2$$根据乘法定理可知：$$|A^{-1}|=\\frac{1}{\\lambda_1\\lambda_2\\ldots\\lambda_n}=\\frac{1}{2}$$由特征值的定义可知$|A|=\\lambda_1\\lambda_2\\ldots\\lambda_n$，$|A^{-1}|=\\lambda_1^{-1}\\lambda_2^{-1}\\ldots\\lambda_n^{-1}$，将其代入可得：$$|A^{-1}|=\\frac{1}{|A|}$$由此可知A和A−1故$\\text{tr}(A)=\\text{tr}(A^{-1})$成立。习题2题目：求解线性方程组$\\begin{cases}2x+y+3z=1\\\\3x+2y+5z=2\\\\4x+3y+7z=3\\end{cases}$。答案：为了求解线性方程组，我们可以利用矩阵的方法。将系数矩阵和常数列组成增广矩阵，然后对增广矩阵进行初等行变换，化为行最简形，最后求出方程组的解。首先，将给定的线性方程组写成增广矩阵的形式：$$\\begin{bmatrix}2&1&3&1\\\\3&2&5&2\\\\4&3&7&3\\\\\\end{bmatrix}$$接下来，对增广矩阵进行初等行变换，化为行最简形：$$\\begin{bmatrix}2&1&3&1\\\\3&2&5&2\\\\4&3&7&3\\\\\\end{bmatrix}\\xrightarrow[r_2-\\frac{3}{2}r_1]{r_3-2r_1}\\begin{bmatrix}2&1&3&1\\\\0&\\frac{1}{2}&\\frac{1}{2}&\\frac{1}{2}\\\\0&1&1&1\\\\\\end{bmatrix}\\xrightarrow[]{r_3-2r_2}\\begin{bmatrix}2&1&3&1\\\\0&\\frac{1}{2}&\\frac{1}{2}&\\frac{1}{2}\\\\0&0&0&0\\\\\\end{bmatrix}$$化简后的增广矩阵为：$$\\begin{bmatrix}2&1&3&1\\\\0&\\frac{1}{2}&\\frac{1}{2}&\\frac{1}{2}\\\\0&0&0&0\\\\\\end{bmatrix}$$根据化简后的增广矩阵可以得知，方程组存在自由变量。设自由变量为z=t（其中t是任意实数），则$y=\\frac{1}{2}-\\frac{1}{2}t$，所以，线性方程组的解为：$\\begin{cases}x=\\frac{1}{2}-\\frac{3}{2}t\\\\y=\\frac{1}{2}-\\frac{1}{2}t\\\\z=t\\end{cases}$，其中t是任意实数。习题3题目：设A是n阶非零实对称矩阵，证明$4\\text{tr}(A^2)\\geq\\text{tr}^2(A)$，其中$\\text{tr}(A)$表示A的迹。答案：设A是n阶非零实对称矩阵，则有AT根据矩阵的迹的性质可得：$$\\text{tr}(A^2)=a_{11}^2+a_{22}^2+\\ldots+a_{nn}^2$$由矩阵的迹的性质可得：$$\\text{tr}^2(A)=(a_{11}+a_{22}+\\ldots+a_{nn})^2$$由柯西-施瓦茨不等式可知：$$(a_{11}^2+a_{22}^2+\\ldots+a_{nn}^2)(1+1+\\ldots+1)\\geq(a_{11}+a_{22}+\\ldots+a_{nn})^2$$化简可得：$$n\\cdot\\text{tr}(A^2)\\geq\\text{tr}^2(A)$$由于题目中要求的是$4\\text{tr}(A^2)\\geq\\text{tr}^2(A)$，所以我们还需要继续进行推导。接下来，我们来证明$n\\cdot\\text{tr}(A^2)\\geq4\\text{tr}(A^2)$：由于A是n阶非零实对称矩阵，所以A必定有n个非零特征值。设A的特征值为$\\lambda_1,\\lambda_2,\\ldots,\\lambda_n$，则有：$$\\text{tr}(A^2)=\\lambda_1^2+\\lambda_2^2+\\ldots+\\lambda_n^2$$由于A是非零实对称矩阵，所以$\\lambda_1,\\lambda_2,\\ldots,\\lambda_n$均为非零实数。不妨设$\\lambda_i>0$，则$\\lambda_i^2>0$。设k为使得$\\lambda_k^2$最小的下标，即$\\lambda_k^2\\leq\\lambda_i^2$对任意i成立。由于A是非零实对称矩阵，所以$\\lambda_1,\\lambda_2,\\ldots,\\lambda_n$两两不相等。则对于所有其他下标i eqk的特征值$\\lambda_i$根据题目要求，有：$n\\cdot\\text{tr}(A^2)\\geq4\\text{tr}(A^2)$。证毕。习题4题目：设$A=\\begin{bmatrix}a&b\\\\c&d\\end{bmatrix}$，其中a,b,c,d为实数且答案：设A的特征值为$\\lambda$，则有：$$\\begin{vmatrix}a-\\lambda&b\\\\c&d-\\lambda\\\\\\end{vmatrix}=(a-\\lambda)(d-\\lambda)-bc=\\lambda^2-(a+d)\\lambda+(ad-bc)=\\lambda^2-(a+d)\\lambda+1=0$$设特征多项式为$f(\\lambda)=\\lambda^2-(a+d)\\lambda+1$。由题目可知ad−bc根据判别式的定义可知，当判别式D=(a+d)将判别式的表达式D=((移项化简得：(整理后得：(由于平方数非负，所以$(a-d)^2\\geq0$。因此，$(a-d)^2+4\\geq4>0$，即(a所以，由于不等式(a−综上所述，A的特征值不可能是实数。习题5题目：设a>0，$A=\\begin{bmatrix}a&1\\\\a&1\\end{bmatrix}$。求答案：首先，我们计算矩阵A的特征值。将A的特征方程表示为：$$\\begin{vmatrix}a-\\lambda&1\\\\a&1-\\lambda\\\\\\end{vmatrix}=(a-\\lambda)(1-\\lambda)-a=a-\\lambda-\\lambda+\\lambda^2-a=\\lambda(\\lambda-2)=0$$解得特征值为$\\lambda_1=0$和$\\lambda_2=2$。因为A是一个$2\\times2$的矩阵，所以它的特征值有两个。接下来，我们计算矩阵A的特征向量。首先，对于特征值$\\lambda_1=0$，我们需要求解方程组$(A-\\lambda_1I)X=0$。将方程组化为增广矩阵形式并进行初等行变换，得：$$\\begin{bmatrix}a&1&0\\\\a&1&0\\\\\\end{bmatrix}\\xrightarrow[r_2-r_1]{r_2-r_1}\\begin{bmatrix}a&1&0\\\\0&0&0\\\\\\end{bmatrix}$$去掉行最简形的非零行，得方程aX令自由变量X2=t（其中t是任意实数），则由此可得，特征值$\\lambda_1=0$对应的特征向量为$\\begin{bmatrix}-\\frac{t}{a}\\\\t\\end{bmatrix}$，其中t是任意实数。接下来，对于特征值$\\lambda_2=2$，我们需要求解方程组$(A-\\lambda_2I)X=0$。将方程组化为增广矩阵形式并进行初等行变换，得：$$\\begin{bmatrix}a-2&1&0\\\\a&1-2&0\\\\\\end{bmatrix}\\xrightarrow[]{r_2-ar_1}\\begin{bmatrix}a-2&1&0\\\\0&-a&0\\\\\\end{bmatrix}$$去掉行最简形中的非零行，得方程(−由于a是一个正实数，所以−a由此可得，方程仅有零解。综上所述，特征值$\\lambda_2=2$对应的特征向量为零向量。根据特征值和特征向量的定义可知，我们可以使用特征向量矩阵P和特征值矩阵$\\Lambda$来表示矩阵A，其中$P=\\begin{bmatrix}-\\frac{t}{a}&0\\\\t&0\\end{bmatrix}$，$\\Lambda=\\begin{bmatrix}0&0\\\\0&2\\end{bmatrix}$。因此，$A^n=P\\Lambda^nP^{-1}$。根据矩阵乘法的运算规则可知，P的逆矩阵为$P^{-1}=\\begin{bmatrix}0&\\frac{1}{t}\\\\0&0\\end{bmatrix}$。由此可以计算得到An$$A^n=\\begin{bmatrix}-\\frac{t}{a}&0\\\\t&0\\end{bmatrix