河南省高三年级质量检测数学（理）试题及答案

试卷第=page22页，总=sectionpages33页第Page\*MergeFormat2页共NUMPAGES\*MergeFormat26页河南省高三年级质量检测数学（理）试题及答案一、单选题1．已知集合，集合，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】先解不等式得集合A与B，再根据交集定义得结果.【详解】根据题意：集合，集合，故选：．【点睛】本题考查一元二次不等式与对数不等式解法以及交集的定义，考查基本分析求解能力，属基础题.2．已知,则()A． B． C． D．【答案】C【解析】利用虚数单位的运算性质化简,再由复数模的计算公式,即可求得答案.【详解】由,得故选:C.【点睛】本题考查虚数单位的运算性质,考查复数模的求法,是基础的计算题.3．某企业一种商品的产量与单位成本数据如表：产量(万件)234单位成本(元件)3a7现根据表中所提供的数据,求得关于的线性回归方程为,则值等于()A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知表格中的数据求得与的值,代入线性回归方程求解值.【详解】由所给数据可求得,,代入线性回归方程为,得,解得故选:B.【点睛】本题考查线性回归方程的求法,明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键,是基础题.4．在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据直线与圆相交，可求出k的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率.【详解】因为圆心，半径，直线与圆相交，所以，解得所以相交的概率,故选C.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题.5．已知数列为各项均为正数的等比数列，是它的前项和，若，且，则=（）A．32 B．31 C．30 D．29【答案】B【解析】根据已知求出，再求出公比和首项，最后求.【详解】因为，所以.因为，所以.所以，所以.故选B【点睛】本题主要考查等比数列的通项的基本量的计算，考查等比中项的应用，考查等比数列的前n项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．若直线与曲线相切，则（）A．3 B． C．2 D．【答案】A【解析】设切点为，对求导，得到，从而得到切线的斜率，结合直线方程的点斜式化简得切线方程，联立方程组，求得结果.【详解】设切点为，∵，∴由①得，代入②得，则，，故选A.【点睛】该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目.7．我国著名数学家华罗庚先生曾说图像数缺形时少直观，形缺数时难人微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图像的特征，已知函数的图像如图所示，则函数的解析式可能是()A． B．C． D．【答案】D【解析】根据函数图像特点,结合奇偶性,定义域,取值范围,利用排除法进行判断即可.【详解】函数定义域为,排除A,函数关于y轴对称,则函数为偶函数,排除B,C选项中,当时,,不满足条件.排除C,故选:D.【点睛】本题主要考查函数图像的识别和判断,结合函数的奇偶性,定义域以及特殊值法,利用排除法是解决本题的关键.8．已知程序框图如图所示，则输出的()A． B． C． D．【答案】B【解析】根据流程图逐步运算,直到跳出循环,即可求得答案.【详解】,,;,,;,,;,,;,,;跳出循环,输出结果.故选:B.【点睛】本题考查流程图,掌握流程图基本知识是解题关键,考察了分析能力,属于基础题.9．已知斜率为的直线l经过双曲线的上焦点F，且与双曲线的上、下两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据已知直线的斜率，求出渐近线的斜率范围，推出的关系，然后求出离心率的范围．【详解】由题意可得：，所以，因此，故选【点睛】本题考查直线的斜率，双曲线的离心率求法，考查转化思想，属于中档题．10．如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，是线段上的动点，则的最小值是（）A．0 B． C． D．1【答案】C【解析】利用向量加法的三角形法则表示，再由数量积的运算法则将转化成关于的二次函数，求得最小值.【详解】由已知得设，所以=所以当有最小值故选C.【点睛】本题考查向量的数量积的运算，关键要将待求的向量表示成已知向量的线性运算，属于中档题.11．设数列的前项和为，且，则数列的前10项的和是（）A．290 B． C． D．【答案】C【解析】由得为等差数列，求得，得利用裂项相消求解即可【详解】由得，当时，，整理得，所以是公差为4的等差数列，又，所以，从而，所以，数列的前10项的和.故选.【点睛】本题考查递推关系求通项公式，等差数列的通项及求和公式，裂项相消求和，熟记公式，准确得是等差数列是本题关键，是中档题12．已知函数，若关于的方程由5个不同的实数解，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】利用导数研究函数y的单调性并求得最值，求解方程2[f（x）]2+（1﹣2m）f（x）﹣m＝0得到f（x）＝m或f（x）．画出函数图象，数形结合得答案．【详解】设y，则y′，由y′＝0，解得x＝e，当x∈（0，e）时，y′＞0，函数为增函数，当x∈（e，+∞）时，y′＜0，函数为减函数．∴当x＝e时，函数取得极大值也是最大值为f（e）．方程2[f（x）]2+（1﹣2m）f（x）﹣m＝0化为[f（x）﹣m][2f（x）+1]＝0．解得f（x）＝m或f（x）．如图画出函数图象：可得m的取值范围是（0，）．故选：A．【点睛】本题考查根的存在性与根的个数判断，考查利用导数求函数的最值，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．二、填空题13．已知,则＝_____．【答案】【解析】直接利用三角函数关系式的定义和和角公式的应用求出结果．【详解】，则，所以，则：，故答案为．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，和角公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．14．在我市的高二期末考试中，理科学生的数学成绩，已知，则从全市理科生中任选一名学生，他的数学成绩小于110分的概率为______．【答案】【解析】由已知可得，求出，得，再由对立事件的概率得答案．【详解】，，又，，，则．他的数学成绩小于110分的概率为．故答案为：．【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于简单题.15．已知的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为______．【答案】80【解析】先求出a的值，再把的按照二项式定理展开，可得的展开式中常数项.【详解】令，可得的展开式中各项系数的和为，．故该展开式中常数项为，故答案为：80【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题.16．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，，若鳖臑的外接球的体积为，则阳马的外接球的表面积等于______．【答案】【解析】将鳖臑放入长方体中，利用长方体体对角线长表示出鳖臑半径，利用外接球体积求解出；通过长度关系可确定阳马的外接球球心为中点，从而可得半径，代入表面积公式求得外接球表面积.【详解】鳖臑可看做如下图所示的长方体的一部分：则长方体外接球即为鳖臑的外接球外接球半径为：又连接，，交于，取中点，连接可知：则，可知为阳马的外接球球心，则外接球半径阳马的外接球表面积本题正确结果：【点睛】本题考查多面体的外接球体积和表面积的相关计算，关键是能够根据多面体的特征确定球心的位置，进而求得半径.三、解答题17．设函数．(Ⅰ)当时，求函数的值域；(Ⅱ)的内角所对的边分别为，且，求的面积．【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，由已知可求范围，利用正弦函数的性质可求其值域．(Ⅱ)由已知可求，可求范围，从而可求，由余弦定理解得的值，即可根据三角形的面积公式计算得解．【详解】(Ⅰ)，∵，∴，∴，∴函数的值域为；(Ⅱ)∵，∴，∵，∴，∴，即，由余弦定理，，∴，即，又，∴，∴．【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．如图四棱锥中，底面是正方形，，，且，为中点．(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】（1）推导出，，从而平面，进而．求出，由此能证明平面．（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正弦值．【详解】（1）∵底面为正方形，∴，又，，∴平面，∴.同理，，∴平面.（2）建立如图的空间直角坐标系，不妨设正方形的边长为2.则，，，设为平面的一个法向量，又，，，令，，得同理是平面的一个法向量，则.∴二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．19．由中央电视台综合频道和唯众传媒联合制作的开讲啦是中国首档青年电视公开课，每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到青年观众的喜爱，为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了A、B两个地区的100名观众，得到如表的列联表，已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众是B地区当中“非常满意”的观众的概率为．非常满意满意合计A3015B合计完成上述表格并根据表格判断是否有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系；若以抽样调查的频率为概率，从A地区随机抽取3人，设抽到的观众“非常满意”的人数为X，求X的分布列和期望．附：参考公式：．【答案】（1）没有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系．（2）见解析，期望为2【解析】（1）完成列联表，求出，从而没有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系．（2）从地区随机抽取人，抽到的观众“非常满意”的概率为，随机抽取人，的可能取值为，，，，由此能求出的分布列和.【详解】（1）完成列联表如下：非常满意满意合计A301545B352055合计6535100则，没有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系．（2）从地区随机抽取1人，抽到的观众“非常满意”的概率为，随机抽取人，的可能取值为，，，.，，，，的分布列为：X0

1

2

3P

．【点睛】本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查学生的逻辑分析能力、运算求解能力，属于中档题．20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，其右焦点为，且点

在椭圆C上．求椭圆C的方程；设椭圆的左、右顶点分别为A、B，M是椭圆上异于A，B的任意一点，直线MF交椭圆C于另一点N，直线MB交直线于Q点，求证：A，N，Q三点在同一条直线上．【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）设椭圆的方程为，由题意可得，解方程组即可.（2）设，，直线MN的方程为，由方程组，消去整理得，根据韦达定理求出点的坐标，根据向量即可求出，且向量和有公共点，即可证明．【详解】（1）不妨设椭圆的方程为，.由题意可得，解得，，故椭圆的方程.（1）设，，直线的方程为，由方程组，消去x整理得，，直线的方程可表示为，将此方程与直线成立，可求得点的坐标为，，，，，向量和有公共点，，，三点在同一条直线上．【点睛】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的关系，向量问题等基础知识，考查了运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想，应用意识，是中档题．21．已知函数．讨论函数的单调性；若函数图象过点，求证：．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）求导后，分类讨论和，解不等式即可.（2）构造函数，求其最小值大于等于即可．【详解】（1）函数的定义域为，又，当时，，在上单调递增；当时，由得，若，，则在上单调递增；若，，则在上单调递减.（2）函数图象过点，可得，此时，要证，令，则只需证即可.，令，则，当时，，故在上单调递增，由，即，故存在使得，此时，故，当时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，故当时，有最小值，成立，即得证．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．22．在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),其中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程;（2）已知曲线与曲线交于两点,点,求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）按公式将极坐标转化成直角坐标方程;（2）可以用参数方程,用参数方程中的参数表示成所求的转化.【详解】（1）,由,曲线的直角坐标方程为.（2）将曲线的参数方程为(为参数),代入曲线的直角坐标方程.故:化简得,且,可得,设两点对应的参数分别为