河南省高三调研考试数学（理）试题及答案

试卷第=page22页，总=sectionpages33页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat24页河南省高三调研考试数学（理）试题及答案一、单选题1．全集，，，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】解不等式和求函数的值域，求两个集合，然后再求.【详解】解：，，则，则.故选：D.【点睛】本题考查求函数的值域和解对数不等式，以及求集合的交并补，属于基础题型.2．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的函数是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】从函数的形式以及偶函数的定义判断函数是否是偶函数，结合函数的性质，排除选项，得到正确选项.【详解】四个选项中的函数的定义域均为，它关于原点对称.对于A，因为，为奇函数，故A错；对于B，因为是偶函数，但在区间上单调递减，故B错；对于C，因为关于对称，是非奇非偶函数，故C错；对于D，，所以函数是偶函数，当时，，此时函数单调递减，满足条件.故选：D【点睛】本题考查根据函数的解析式判断函数的性质，属于基础题型.3．“”是“直线：和直线：垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意可知，解得，再根据充分必要条件的定义判断.【详解】直线：和直线：垂直，则，则或.则“”能推出两直线互相垂直，反过来两直线互相垂直，不能推出“”，所以“”是“直线：和直线：垂直”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查根据两条直线垂直求参数和判断充分必要条件的综合问题，意在考查基本公式和基本概念，属于基础题型，若和互相垂直，则，若与互相垂直，则.4．已知函数，则（）A．-2 B．9 C． D．【答案】C【解析】根据分段函数，首先求，然后求.【详解】由题可知，，.故选：C【点睛】本题考查分段函数求值，属于简单题型.5．下列说法正确的个数是（）①.“”是“定义在上函数是奇函数”的充要条件②.若：，，则：，③.“若，则”的逆否命题是错误的④.若为假命题，则，均为假命题A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】逐一分析选项，对应①可根据特殊函数直接判断是否成立，②根据特称命题的否定形式直接判断；③根据原命题和逆否命题的关系判断真假；④根据复合命题的真假判断方法直接判断.【详解】对于①时，函数不一定是奇函数，如，，∴错误；对于②命题：，，则：，，∴错误；对于③，因为若，则正确，所以它的逆否命题也正确，∴错误；对于④若为假命题，则，至少有一假命题，∴错误；故选：A.【点睛】本题考查有关命题的判断，意在考查基本概念和基本知识和基本判断方法，属于基础题型.6．若数列满足，，则（）A．3 B． C． D．-2【答案】C【解析】根据递推形式求数列的前几项，判断数列是周期数列，再求值.【详解】，，，，，是周期数列，周期为4，故.故选：C【点睛】本题考查数列的函数特性，周期性，数列是特殊的函数，考查数列的函数性质，一般考查单调性，最值，周期性.7．已知向量，，若，则实数的值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由向量的几何意义，因为，所以，再运用向量积的运算得到参数的值.【详解】因为，所以，所以，将和代入，得出，所以，故选D.【点睛】本题考查了向量的数量积运算，属于基础题．8．设，，，则，，的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】首先这三个数和特征值0或1比较大小，然后再比较这三个数的大小关系.【详解】解：，，所以，，则.故选：A【点睛】本题考查指对数比较大小，属于简单题型，一般指对比较大小，根据函数单调性比较大小，或是根据特殊值比较大小.9．将函数的图象上各点向右平行移动个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数解析式是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】根据图象的平移，伸缩变换规律得到函数的解析式.【详解】由题意函数的图象上各点向右平移个单位长度，得到，再把横坐标缩短为原来的一半，得到，纵坐标伸长为原来的4倍，得到，故选:C.【点睛】本题考查三角函数的图象变换规律，若图象是左右平移，则根据“左＋右－”变换，例：向左平移个单位，得到函数，若图象是横坐标伸缩，则是周期变换，例的横坐标伸长到原来的倍，得到函数，若是纵坐标伸缩，是振幅变换，例：的纵坐标伸长到原来的倍，得到.10．在中，，，，则符合条件的三角形个数是（）A．一个 B．两个 C．一个或两个 D．0个【答案】B【解析】首先求，然后再和比较大小，判断三角形个数.【详解】由题意知，，，，∴，如图：∵，∴此三角形的解的情况有2种，故选：B.【点睛】本题考查已知两边和其中一边的对角，判断三角形个数，需数形结合和公式相结合判断求三角形的个数，属于基础题型.11．若是函数的极值点，则的值为（）A．-2 B．3 C．-2或3 D．-3或2【答案】B【解析】由题意可知，这样可求出，然后针对的每一个值，进行讨论，看是不是函数的极值点.【详解】，由题意可知，或当时，，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，显然是函数的极值点；当时，，所以函数是上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去，故本题选B.【点睛】本题考查了已知函数的极值，求参数的问题.本题易错的地方是求出的值，没有通过单调性来验证是不是函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自变量的值，不一定是极值点.12．已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】先将函数有零点，转化为对应方程有实根，构造函数，对函数求导，利用导数方法判断函数单调性，再结合图像，即可求出结果.【详解】由得，令，则，设，则，由得；由得，所以在上单调递减，在上单调递增；因此，所以在上恒成立；所以，由得；由得；因此，在上单调递减，在上单调递增；所以；又当时，，，作出函数图像如下：因为函数恰有两个零点，所以与有两不同交点，由图像可得：实数的取值范围是.故选A【点睛】本题主要考查函数零点以及导数应用，通常需要将函数零点转化为两函数交点来处理，通过对函数求导，利用导数的方法研究函数单调性、最值等，根据数形结合的思想求解，属于常考题型.二、填空题13．已知数列的前项和，则它的通项公式是_____;【答案】【解析】先根据数列的前项和，求出，再根据当时，求出，并验证当是否也满足，即可求出数列的通项公式．【详解】数列的前项和，,又，，检验当时，，【点睛】本题考查数列前项和与通项公式之间的关系，易错点是，所以必须要检验是否满足通项，属于基础题，必须掌握14．已知等差数列，满足，其中，，三点共线，则数列的前16项和______.【答案】16【解析】因为，，三点共线，可知，再根据等差数列的性质，最后求.【详解】因为，则,其中，，三点共线，所以；因为为等差数列，所以，因此数列的前16项和.故答案为：16【点睛】本题考查等差数列的性质和平面向量基本定理向结合的问题，意在考查转化与化归的思想，属于基础题型.15．已知，，分别为锐角三个内角，，的对边，，，则周长范围为______.【答案】【解析】首先根据正弦定理边角互化为，再由余弦定理得到，利用正弦定理和三角函数求周长的范围.【详解】由已知，即得，由正弦定理，，三角形的周长为，是锐角三角形是锐角三角形，,,周长的取值范围为.故答案为：【点睛】本题考查正余弦定理解三角形和三角函数求值域，意在考查转化与化归和计算能力.16．已知命题：“对任意的，”，命题：“存在，”若命题“且”是假命题，命题“或”是真命题，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】首先分别求两个命题为真命题时的取值范围，由题意判断和一真一假，列不等式组求的取值范围.【详解】命题为真时恒成立，，即，，命题为真时，即，解得：或.命题“且”是假命题，命题“或”是真命题时，和一真一假.当真假时，，解得：，当假真时，，解得：，综上可知，实数的取值范围是.故答案为：【点睛】本题考查由复合命题的真假求参数的取值范围，本题的关键是根据两个命题是真命题求的取值范围.三、解答题17．已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）当时，求的最大值和最小值.【答案】(1)(2)最大值为2，最小值为-1.【解析】（1）首先根据公式化简，再令求得函数的单调递增区间；（2）首先求的范围，再求函数的最大值和最小值.【详解】（1），由得：，∴的单调增区间为.（2）当时，，当时，，当时，，∴的最大值为2，最小值为-1.【点睛】本题考查三角函数的性质和三角恒等变形，意在考查转化与化归和计算能力，本题的关键是正确化简函数.18．已知函数.（1）若，求曲线在处切线方程；（2）讨论的单调性；（3）时，设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）见详解；（3）【解析】（1）利用导数的几何意义直接求切线方程，；（2）首先求函数的导数，，分和两种情况讨论函数的单调性；（3）由题意可知的值域是，值域是，，所以分别求两个函数的值域，转化为子集问题求实数的取值范围.【详解】（1）由已知时，，，，，故曲线在处切线的方程是，即.（2）定义域为，，当时，恒成立，所以在上单调递增；当时，时恒成立，时恒成立，所以在上单调递增，在上单调递减；综上述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（3）由已知，转化为在的值域和在的值域满足：，易求.又且，在上单调递增，故值域.所以，解得，即.【点睛】本题考查利用导数求切线方程和讨论函数的单调性，本题第三问考查双变量的问题，对任意，存在问题求参数的取值范围，若满足，，使，只需满足，若是，只需满足.19．已知数列的各项均不为零，设数列的前项和为，数列的前项和为，且，.（1）求，的值，证明数列是等比数列；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1），；证明见详解；（2）【解析】（1）代入，求，并构造，和已知两式相减，变形，化简为，并验证；（2）由（1）可知，利用错位相减法求和.【详解】（1）∵，令，得，∵，∴；令，得，即，∵，∴.证明：∵，①∴，②②-①得：，∵，∴，③从而当时，，④③-④得：，即，∵，∴.又，，∴.∴数列是以2为首项，以2为公比的等比数列.（2）由（1）知则，故，于是，∴，上述两式相减得：∴，∴.【点睛】本题考查已知数列的前项和求通项公式和错位相减法求和，意在考查转化与化归和计算能力，属于难题，一般数列求和的方法包含1.公式法求和；2.错位相减法求和；3.裂项相消法求和；4.分组转化法求和；5.倒序相加法求和.20．在中，角所对的边分别是已知．（1）求的大小；（2）若的面积为，求的周长．【答案】（1）；（2）．【解析】利用正弦定理，再进行三角恒等变换求的值，从而求出B值；由的面积公式，利用余弦定理求得b的值，再求的周长．【详解】解：中，，由正弦定理可得，整理可得，又A为三角形内角，，所以，由B为三角形内角，可得；由的面积为，即，所以，又，由余弦定理得，所以，的周长为．【点睛】本题考查三角形的正弦、余弦定理和面积公式应用问题，考查三角函数的恒等变换，以及化简运算能力，是中档题．21．某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为万元时，销售量万件满足（其中，为正常数），现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品万件还需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为万元/万件．（1）将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．【答案】（1）y=25-(+x)，（，a为正常数）;（2）当a≥3时，促销费用投入3万元时，厂家的利润最大；当O<a<3时，促销费用投入x=a万元时，厂家的利润最大．【解析】试题分析：（1）利润为总销售所得减去投入成本和促销费用，得y=t(5+）)﹣(10+2t）﹣x=3t+10－x，又销售量t万件满足t=5－，整理化简可得y=25－（+x）；（2）将函数方程整理为对勾函数形式y=28－（+x+3），利用基本不等式得到=x+3，即x=3时，得到利润最大值为．试题解析：（1）由题意知，利润y=t(5+）)﹣(10+2t）﹣x=3t+10－x由销售量t万件满足t=5－（其中0≤x≤a，a为正常数）．代入化简可得：y=25－（+x），（0≤x≤a，a为正常数）（2）由（1）知y=28－（+x+3），当且仅当=x+3，即x=3时，上式取等号．当a≥3时，促销费用投入3万元时，厂家的利润最大；当0＜a＜3时，y在0≤x≤a上单调递增，x=a，函数有最大值．促销费用投入x=a万元时，厂家的利润最大．综上述，当a≥3时，促销费用投入3万元时，厂家的利润最大；当0＜a＜3时，促销费用投入x=a万元时，厂家的利润最大．22．已知函数.（1）若对于任意都有成立（注意不等号前面是的导函数），求实数的取值范围；（2）若过点可作函数图象的三条不同切线，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）由题意可知，不等式转化为对于任意都有成立，即或，求的取值范围；（2）设点是函数图象上的切点，写出过点的切线方程，并转化为方程有三个不同的实数解，令，利用导数求当函数有3个零点时，求的取值范围.【详解】（1）方法1：由，得，因为对于任意都有成立，即对于任意都有成立，即对于任意都有成立，令，要使对任意都有成立，必须满足或，即或.所以实数的取值范围为.方法2：由，得，因为对于任意都有成立，所以问题转化为，对