2022-2023学年广西壮族自治区北海市高一下学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广西壮族自治区北海市2022-2023学年高一下学期期末数学试题全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦千净后，再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.4.本卷主要考查内容：北师大版必修第二册.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列各角中，与角终边相同的是（）A.B.C.D.2.已知互不重合的直线，互不重合的平面，下列命题错误的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则3.已知复数满足（是虚数单位），则（）A.B.C.D.4.已知两个单位向量的夹角为，若，则（）A.B.13C.7D.5.为了得到函数的图象，只需把曲线上所有的点（）A.向左平移个单位，再把纵坐标伸长到原来的2倍B.向右平移个单位，再把纵坐标伸长到原来的2倍C.向左平移个单位，再把纵坐标缩短到原来的D.向右平移个单位，再把纵坐标缩短到原来的6.著名的古希腊数学家阿基米德一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理：把一个球放在一个圆柱形的容器中，如果盖上容器的上盖后，球恰好与圆柱的上､下底面和侧面相切（该球也被称为圆柱的内切球），那么此时圆柱的内切球体积与圆柱体积之比为定值，则该定值为（）A.B.C.D.7.若圆台的高是，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底面所成角的大小为，则这个圆台的侧面积是（）A.B.C.D.8.某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是，则该三角形（）A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.有可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知点平面，点平面，则下列说法错误的是（）A.平面内所有的直线与直线异面B.平面内存在一条直线与直线平行C.平面内存在无数条直线与直线垂直D.有且只有一个过直线的平面与平面垂直10.在下列情况的三角形中，有两个解的是（）A.B.C.D.11.如图是函数的部分图象，则（）A.B.C.D.12.如图，在棱长为1的正方体中，点是线段上的一点，则下列说法正确的是（）A.直线与平面所成的角为定值B.平面C.三棱锥的体积为定值D.直线与直线所成的角为定值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知复数满足（为虚数单位），则__________.14.已知扇形的面积为，该扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为__________.15.在中，，则__________.16.已知锐角满足，则__________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.17.（本小题满分10分）已知，复数是虚数单位.（1）若是纯虚数，求的值；（2）若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围；

18.（本小题满分12分）已知，且.（1）求的值；（2）求的值.19.（本小题满分12分）已知向量.（1）设，求的最小值；（2）若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围.20.（本小题满分12分）如图，某地计划在一海滩处建造一个养殖场，射线为海岸线，，现用长度为2千米的网依托海岸线围成一个的养殖场（海岸钱不用围）.（1）已知，求的长度；（2）请问如何选取点，才能使得养殖场的面积最大？并求其最大面积.

21.（本小题满分12分）如图，四棱柱的底面是菱形，平面，，点为的中点.（1）求证：直线平面；（2）求二面角的余弦值.

22.（本小题满分12分）已知函数.（1）若，求的最大值；（2）若在上恰有3个零点，求实数的取值范围.

——★参考答案★——一、单项选择题1.B〖解析〗因为，所以角与角的终边相同；因为不是的整数倍，所以它们的终边不同；因为不是的整数倍，所以它们的终边不同；因为不是的整数倍，所以它们的终边不同.故选B.2.B〖解析〗对于选项，，根据面面平行，可证得线面平行，即，故A正确；对于B选项，，则或，故B错误；对于C选项，，则，故C正确；对于D选项，，则，故D正确.故选B.3.A〖解析〗设，所以，所以，所以.故选A.4.D〖解析〗因为，所以，因为为夹角为的两个单位向量，所以.故选D.5.C〖解析〗将向左平移个单位得，再把纵坐标缩短到原来的，得.故选C.6.D〖解析〗设圆柱的母线长为，内切球的半径为，如图所示，则其轴截面如图所示，则，所以圆柱的内切球体积为，圆柱体积为，所以圆柱的内切球体积与圆柱体积之比为.故选D.7.A〖解析〗由题意，可作该圆台的轴截面，如图所示：则圆台的高，上底面半径，下底面半径，即，母线，即，在Rt中，，易知在正方形中，，则，即，综上，，圆台的侧面积.故选A.8.B〖解析〗设的内角的对边分别是，且边上的高分别为，则，令，则，故，故为直角，故该三角形为直角三角形.故选.二、多项选择题9.ABD〖解析〗当平面内的直线过点时，该直线与直线相交，故错误；假设平面内存在一条直线与直线相互平行，则该直线与直线共面，显然不成立，故错误；当直线与平面垂直时，有无数个过直线的平面与平面垂直，故D错误.故选ABD.10.AD〖解析〗对于，所以有两解，故A正确；对于，所以有一解，故B错误；对于C，.只有一解，故C错误；对于D，有两解，故D正确.故选AD.11.BC〖解析〗根据题中的图象可得，即，，即，将图象中的点代入函数中，，即，，，可得A错误；对于B选项，，可得正确；对于选项，由分析可知正确；对于D选项，可得D错误.故选BC.12.BCD〖解析〗当分别在或时，显然直线与平面所成角不同，故错误；平面即为平面，又平面平面，所以平面，故B正确；因为平面平面，所以平面，所以点到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，故C正确；在正方体中，易得平面，又平面，所以，故D正确.故选BCD.三、填空题13.〖解析〗因为，所以，所以.14.4〖解析〗设扇形的弧长为，半径为，由已知可得，圆心角，面积，所以有即解得15.〖解析〗因为，所以，所以，由余弦定理.16.〖解析〗由可得：，则，解得，又，故为一元二次方程的两个实数根，解得，又为锐角，故可得，则.四、解答题17.解：（1）因为是纯虚数，所以解得；（2）在复平面内对应的点为，由题意可得解得，即的取值范围是.18.解：（1）因为，所以，又，所以，所以，所以，所以；（2），，则.19.解：（1）由题意得，所以，所以当时，取得最小值为；（2）由于，向量与向量的夹角为钝角，所以，且向量与向量不能反向，即，即，所以，故实数的取值范围为.20.解：（1）在中，由正弦定理可得，代入数据得，解之得千米；（2）在中，由余弦定理可得.令，可得，所以.当且仅当时取得，又，千米时，取得最大值平方千米.21.（1）证明：连接交于点，连接，如图，则为的中点，由于是的中点，故，平面平面，所以平面；（2）解：连接，因为是的中点，所以，因为平面，所以平面，又平面，所以，由底面是菱形，得，又平面，所以平面，又平面，所以，则为二面角的平面角，，由余弦定理可知，二面角的余弦值为.22.解：（1）若，令，则，所以，所以，所以；（2）令，所以，，所以在上恰有3个零点，即在上有两个根，且或.当时，，解得，又当时，解得，不符合题意；当时，令，当时，不符合题意；当时，又，所以在上至少有一个零点，不符合题意；当时，又，所以解得，综上，实数的取值范围是.广西壮族自治区北海市2022-2023学年高一下学期期末数学试题全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦千净后，再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.4.本卷主要考查内容：北师大版必修第二册.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列各角中，与角终边相同的是（）A.B.C.D.2.已知互不重合的直线，互不重合的平面，下列命题错误的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则3.已知复数满足（是虚数单位），则（）A.B.C.D.4.已知两个单位向量的夹角为，若，则（）A.B.13C.7D.5.为了得到函数的图象，只需把曲线上所有的点（）A.向左平移个单位，再把纵坐标伸长到原来的2倍B.向右平移个单位，再把纵坐标伸长到原来的2倍C.向左平移个单位，再把纵坐标缩短到原来的D.向右平移个单位，再把纵坐标缩短到原来的6.著名的古希腊数学家阿基米德一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理：把一个球放在一个圆柱形的容器中，如果盖上容器的上盖后，球恰好与圆柱的上､下底面和侧面相切（该球也被称为圆柱的内切球），那么此时圆柱的内切球体积与圆柱体积之比为定值，则该定值为（）A.B.C.D.7.若圆台的高是，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底面所成角的大小为，则这个圆台的侧面积是（）A.B.C.D.8.某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是，则该三角形（）A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.有可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知点平面，点平面，则下列说法错误的是（）A.平面内所有的直线与直线异面B.平面内存在一条直线与直线平行C.平面内存在无数条直线与直线垂直D.有且只有一个过直线的平面与平面垂直10.在下列情况的三角形中，有两个解的是（）A.B.C.D.11.如图是函数的部分图象，则（）A.B.C.D.12.如图，在棱长为1的正方体中，点是线段上的一点，则下列说法正确的是（）A.直线与平面所成的角为定值B.平面C.三棱锥的体积为定值D.直线与直线所成的角为定值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知复数满足（为虚数单位），则__________.14.已知扇形的面积为，该扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为__________.15.在中，，则__________.16.已知锐角满足，则__________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.17.（本小题满分10分）已知，复数是虚数单位.（1）若是纯虚数，求的值；（2）若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围；

18.（本小题满分12分）已知，且.（1）求的值；（2）求的值.19.（本小题满分12分）已知向量.（1）设，求的最小值；（2）若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围.20.（本小题满分12分）如图，某地计划在一海滩处建造一个养殖场，射线为海岸线，，现用长度为2千米的网依托海岸线围成一个的养殖场（海岸钱不用围）.（1）已知，求的长度；（2）请问如何选取点，才能使得养殖场的面积最大？并求其最大面积.

21.（本小题满分12分）如图，四棱柱的底面是菱形，平面，，点为的中点.（1）求证：直线平面；（2）求二面角的余弦值.

22.（本小题满分12分）已知函数.（1）若，求的最大值；（2）若在上恰有3个零点，求实数的取值范围.

——★参考答案★——一、单项选择题1.B〖解析〗因为，所以角与角的终边相同；因为不是的整数倍，所以它们的终边不同；因为不是的整数倍，所以它们的终边不同；因为不是的整数倍，所以它们的终边不同.故选B.2.B〖解析〗对于选项，，根据面面平行，可证得线面平行，即，故A正确；对于B选项，，则或，故B错误；对于C选项，，则，故C正确；对于D选项，，则，故D正确.故选B.3.A〖解析〗设，所以，所以，所以.故选A.4.D〖解析〗因为，所以，因为为夹角为的两个单位向量，所以.故选D.5.C〖解析〗将向左平移个单位得，再把纵坐标缩短到原来的，得.故选C.6.D〖解析〗设圆柱的母线长为，内切球的半径为，如图所示，则其轴截面如图所示，则，所以圆柱的内切球体积为，圆柱体积为，所以圆柱的内切球体积与圆柱体积之比为.故选D.7.A〖解析〗由题意，可作该圆台的轴截面，如图所示：则圆台的高，上底面半径，下底面半径，即，母线，即，在Rt中，，易知在正方形中，，则，即，综上，，圆台的侧面积.故选A.8.B〖解析〗设的内角的对边分别是，且边上的高分别为，则，令，则，故，故为直角，故该三角形为直角三角形.故选.二、多项选择题9.ABD〖解析〗当平面内的直线过点时，该直线与直线相交，故错误；假设平面内存在一条直线与直线相互平行，则该直线与直线共面，显然不成立，故错误；当直线与平面垂直时，有无数个过直线的平面与平面垂直，故D错误.故选ABD.10.AD〖解析〗对于，所以有两解，故A正确；对于，所以有一解，故B错误；对于C，.只有一解，故C错误；对于D，有两解，故D正确.故选AD.11.BC〖解析〗根据题中的图象可得，即，，即，将图象中的点代入函数中，，即，，，可得A错误；对于B选项，，可得正确；对于选项，由分析可知正确；对于D选项，可得D错误.故选BC.12.BCD〖解析〗当分别在或时，显然直线与平面所成角不同，故错误；平面即为平面，又平面平面，所以平面，故B正确；因为平面平面，所以平面，所以点到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，故C正确；在正