rd中moran集类的上盒维数

rd中moran集类的上盒维数

设置正数排列{nk}k1和正数排列{k}k1，以满足nk2、0.1、nk康熙1、k1、k1、dk={（i1i2，，ik）。1ijnj，1jk}，d=k0d，d0=1ijnj，1jk}，d=k0d和d0=，当d=（1，2，m）dk，=（1，2，m）dk和m，假设a是r的平均组，d是正数，ad=a，a是d的累积组，这是一件不普遍的事情。假设j=id是sd中的单位立方体。定义1称J的所有闭子立方体组成的集合F={Jσ∶σ∈D}具有齐次Moran结构,如果:1)Jϕ=J;2)对∀k≥0及σ∈Dk,Jσ*1,Jσ*2…Jσ*nk+1为Jσ的闭子立方体,且0Jσ*i∩0Jσ*(i+1)=∅J0σ*i∩J0σ*(i+1)=∅,其中0AA0表示A的内部;3)对∀k≥1及σ∈Dk-1,1≤j≤nk,有|Jσ*j||Jσ|=ck|Jσ*j||Jσ|=ck,其中|A|表示集A之直径.设F是由J的闭子立方体组成的具有齐次Moran结构的集簇,称E(F)=∩k≥0∪σ∈DkJσE(F)=∩k≥0∪σ∈DkJσ是由F确定的一个(d维)齐次Moran集,称Fk={Jσ∶σ∈Dk}为E的k级基本立方体.由上面的定义可知,对任意固定的序列{nk}k≥1,{ck}k≥1,如果基本立方体的位置不同,我们可得不同的齐次Moran集.由J,{nk}k≥1,{ck}k≥1确定的全体齐次Moran集组成的集合记为M(J,{nk}k≥1,{ck}k≥1),并称之为由J,{nk}k≥1,{ck}k≥1确定的(d维)齐次Moran集类.文考虑了齐次Moran集类M(J,{ndkdk}k≥1,{ck}k≥1),其中ndkdk∶=(nk)d.对此齐次Moran集类,引入(d维)齐次和偏齐次Cantor集.为此,先回顾一维齐次和偏齐次Cantor集的定义.定义2设E∈M(I,{nk}k≥1,{ck}k≥1).对任意的正整数k及p∈Fk,p中包含的(k+1)阶基本区间按从左到右的排列顺序依次记为p1,p2,…,pnk+1.1)如果1<i<nk+1,pi与pi+1之间的间距相等,且p与p1的左端点一致,pnk+1与p的右端点一致,则称E为齐次Cantor集,记之为C(I,{nk}k≥1,{ck}k≥1).2)如果p1与p的左端点重合,pi的右端点与pi+1的左端点重合(1≤i≤nk+1),则称E为偏齐次Cantor集,并记为C*(I,{nk}k≥1,{ck}k≥1).定义3E∈M(J,{ndk},{ck}),对任意正整数l,及p∈Fl,记Qj为立方体p的第j边,1≤j≤d,如果对任意的1≤j≤d,p在Qj上的投影构成齐次Cantor集C(Qj,{nk}k≥l+1,{ck}k≥l+1)(或偏齐次Cantor集C*(Qj,{nk}k≥l+1,{ck}k≥l+1)),则称E为M(J,{ndk}k≥1,{ck}k≥1)中d维齐次Cantor集(或d维偏齐次Cantor集),并记为Cd(J,{ndk}k≥1,{ck}k≥1)(或C*d(J,{ndk}k≥1,{ck}k≥1)).为简单起见,在不引起混淆的情况下,我们采用下面的记号:C∶=C(Ι,{nk}k≥1,{ck}k≥1),Cd∶=Cd(J,{ndk}k≥1,{ck}k≥1);C*∶=C*(Ι,{nk}k≥1,{ck}k≥1),C*d∶=C*d(J,{ndk}k≥1,{ck}k≥1);Μ∶=Μ(Ι,{nk}k≥1,{ck}k≥1),Μd∶=Μ(J,{ndk}k≥1,{ck}k≥1).由前面的定义,有Cd=Cd,C*d=C*d.特别地C=C1,C*=C*1.文将文的结果推广到高维情形,研究了Md中元素的Hausdorff维数及packing维数的性质,确定了Cd及C*d的各种常见分形维的计算公式,得到∀E∈Md,dimΗC*d=dim¯BC*d≤dimΗE≤dim¯ΜBE≤dim¯BE≤dimΗCd=dim¯BCd≤dimΡC*d=¯dimBC*d≤dimΡE≤¯dimBE≤dimΡCd=¯dimBCd.(1)并提出如下猜想.1)若dim¯BC*d≤t≤dim¯BCd,则存在E1,E2∈Md,使得dim¯BE1=dim¯ΜBE2=t.2)若¯dimBC*d≤s≤¯dimBCd,则存在E3∈Md,使得¯dimBE3=s.本文主要是讨论了Md中元素的上(下)盒数的性质,给上述猜想一个肯定的回答.此外还确定了dimBC*d的存在性与dimBCd的存在之间的联系,所获结果是文在高维情形的推广.我们用dimΗE,dimΡE,dim¯BE,dim¯ΜBE,¯dimBE分别表示集E的Hausdorff维数,packing维数,下盒维数,修正的下盒维数,上盒维数,关于它们的定义和性质见.若dim¯BE=¯dimBE,则集合E的盒维数存在,称此共同值为集合E的盒维数并记为dimBE.若dimHE=dimPE,则称集E是正则的.本文仅就d=2的情形进行讨论,d>2的情形可类似地进行.沿用前面的记号,我们有定理1若¯dimBC*2≤t≤¯dimBC2,则存在E∈M2,使得¯dimBE=t.证由文之定理2,对t≤¯dimBC2,∃F⊂C2,使得¯dimBF=t.用Fk表示生成C2的k阶基本正方形的集合,令J1={A∈F1,A∩F=ϕ},ˆJ1={A∈F1,A∩F≠∅}.对∀A∈J1,用A*表示在A上由{n2k}k≥2,{ck}k≥2生成偏齐次Cantor集C*2(A∈J1,{n2k}k≥2,{ck}k≥2).用ˆF2表示ˆJ1中所有元素A生成的C2的2阶基本正方形的集合,令J2={A∈ˆF2;A∩F=∅},ˆJ2={A∈ˆF2;A∩F≠∅},对A∈J2,设A*是在A上由{n2k}k≥3,{ck}k≥3生成偏齐次Cantor集C*2(A∈J2,{n2k}k≥3,{ck}k≥3).按上述方式,对∀l∈N,我们可以归纳地定义Jl,ˆJl和偏齐次Cantor集A*=C*2(A∈Jl,{n2k}k≥l+1,{ck}k≥l+1).由上述构造,我们有:1)F=∩l≥1∪A∈ˆJlA;2)∀l≥1,A∈Jl,¯dimBA*=¯dimBC*2.令E=F∪(∪l≥1∪A∈JlA*),由齐次Moran集之定义有:E∈M2(J,{n2k}k≥1,{ck}k≥1).下证¯dimBE=t.记W=∪l≥1∪A∈JlA*,由齐次Cantor集C2之构造知:C2的任何一个k阶基本正方形最多与位于同一(k-1)阶基本正方形内的8个k级基本正方形相邻,用εk表示位于同一(k-1)级基本正方形内的相邻两个k级基本正方形的距离,则c1c2⋯ck-1(1-nkck)nk-1≤εk≤√2c1c2⋯ck-1(1-nkck)/(nk-1)(∀k≥1),取δk=c1c2…ck-1(1-nkck)/(nk-1),于是δk≤εk(∀k≥1).因为∀x∈W,存在正整数N,及A∈JN,A*=C*2(A,{n2k}k≥N+1,{ck}k≥N+1),使得x∈A*⊂A,对0<r<min1≤k≤Ν{δk},我们断言:B(x,r)∩W⊂A(其中Br(x)表示中心在x点,半径为r的圆域).若不然,则∃y∈B(x,r)∩W,但y∉A.于是由W之构造知:存在正整数l及B⊂Jl,B*=C*2(B,{n2k}k≥l+1,{ck}k≥l+1),使得y∈B*⊂B,显然A≠B.(i)若l≥N,由Jl的定义和C2之构造:存在一个异于A且是C2的某一N阶基本正方形IN,使得B⊂ΙΝ,ΙΝ∩F≠ϕ,ΙΝ∈ˆJΝ,从而dist(x,y)≥dist(A,B)≥dist(A,ΙΝ)≥εΝ≥δΝ≥min1≤k≤Ν{δk}>r.(ii)若l<N,因为A∈JN,由JN之定义和C2之构造:存在一个异于B且是C2的l阶基本正方形Il,使得A⊂Il,Il∩F≠ϕ,即Il∈ˆJl,于是dist(x,y)≥dist(A,B)≥dist(Ιl,B)≥εl≥δl≥min1≤k≤l{δk}≥min1≤k≤Ν{δk}>r.由(i),(ii)知d(x,y)>r,所以y∉B(x,r),这与y∈B(x,r)∩W相矛盾,于是断言成立,故B(x,r)∩A*⊂B(x,r)∩W⊂A∩W=A*,所以¯dimBB(x,r)∩A*≤¯dimBB(x,r)∩W≤¯dimBA*.由文之引理2.1和齐次Cantor集的构造易知:∀r>0,¯dimBB(x,r)∩A*=¯dimBA*,再联合¯dimBA*=¯dimBC*2有:¯dimBB(x,r)∩W=¯dimBC*2,(0<r<min1≤k≤Ν{δk}).这样我们便证明了:∀x∈W,∃rx>0,使得¯dimBB(x,r)∩W=¯dimBC*2,故由文之引理5有:¯dimBW=¯dimBC*2.于是dimBE=max{¯dimBF,¯dimBW}=t.下面我们来证明Md中元素下盒维数的介值性.先叙述一条引理.引理设C=C([0,1],{nk}k≥1,{ck}k≥1)是一维齐次Cantor集,若正实数列{dk}k≥1满足d1d2⋯dk≤c1c2⋯ck≤d1d2⋯dk-1nk,(∀k≥1)约定d0=1,则C([0,1],{nk}k≥1,{dk}k≥1)∈M([0,1],{nk}k≥1,{ck}k≥1).定理2若dim¯BC*2≤t≤dim¯BC2,且limk→∞logn1n2⋯nk-logc1c2⋯ck+1nk+1存在,则存在E∈M2,使得dim¯BE=dim¯ΜBE=t.证因为C2=C2,C*2=C*2,故先考虑一维的情形:由文定理1.1得dim¯BC*≤t2≤dim¯BC,令s=dim¯BC=liminf1↔∞logn1n2⋯nk-logc1c2⋯ck,于是t2=liminfk→∞logn1n2⋯nk-log(c1c2⋯ck)2s/t,又t2≥liminfk→∞logn1n2⋯nk-logc1c2⋯ck+1nk+1=limk→∞logn1n2⋯nk-logc1c2⋯ck+1nk+1,故存在正整数N,当k≥N时,logn1n2⋯nk-logc1c2⋯ck+1nk+1≤t2≤logn1n2⋯nk-log(c1c2⋯ck)2s/t得c1c2⋯ck+1nk+1≤(c1c2⋯ck)2s/t,(2)又0<t/2<s,所以(c1c2…ck)2s/t≤c1c2…ck,(∀k≥1).综上有:(c1c2⋯ck+1)2s/t≤(c1c2⋯ck+1)≤(c1c2⋯ck)2s/tnk+1,(k≥Ν).(3)下面我们构造一维齐次Moran集F∈M([0,1],{nk}k≥1,{ck}k≥1),使其dimHF≥t/2.用Gk表示生成集F的k级基本区间的集合.当1≤k≤N时,Gk的元素是{nk}k≥1,{ck}k≥1在[0,1]上确定的齐次Cantor集的k级基本区间.在GN中,任选一个区间记为IN而在其余N级基本区间A上生成偏齐次Cantor集A*(A,{nk}k≥N+1,{ck}k≥N+1).由于|IN|=c1c2…cN≥(c1c2…cN)2s/t及(3)式,故可在IN上选取一个长为(c1c2…cN)2s/t的闭子区间I,令C′=C(I,{nk}k≥N+1,{c2s/tk}k≥N+1),由式(3)及上述引理知:C′∈M(IN,{nk}k≥N+1,{ck}k≥N+1),令F=C′∪∪A∈GΝA≠ΙΝA*,易知F∈M([0,1],{nk}k≥1,{ck}k≥1),又由文之引理2.2有:dimΗC′=liminfk→∞logn1n2⋯nk-log(c1c2⋯ck)2s/t=t2,从而dimΗF≥dimΗC′=t2.令E=F×F,由M2之定义有E∈M2([0,1]×[0,1],{n2k}k≥1,{ck}k≥1).下证dim¯BE=dim¯ΜBE=t.一方面dim¯BE≥dim¯ΜBE≥dimΗE≥dimΗC′×C′≥2dimΗC′=t.另一方面,由∪A∈GΝA≠ΙΝA*之构造可知:∪A∈GΝA≠ΙΝA*可被(Ν∏i=1ni-1)k∏j=Ν+1nj个长为c1c2…ck+1nk+1的区间覆盖;由(2)式知当k≥N时,∪A∈GΝA≠ΙΝA*可被(Ν∏i=1ni-1)k∏j=Ν+1nj个长为(c1c2…ck)2s/t的区间覆盖,显然C′可被k∏j=Ν+1nj个长为(c1c2…ck)2s/t的闭区间覆盖.所以F可被(Ν∏i=1ni-1)k∏j=Ν+1nj+k∏j=Ν+1nj=k∏j=1nj个长为(c1c2…ck)2s/t的区间覆盖.于是E=F×F就可被k∏j=1n2j个边长为(c1c2…ck)2s/t的正方形所覆盖,从而dim¯BE≤liminfk→∞2logn1n2⋯nk-log(c1c2⋯ck)2s/t=t,故dim¯BE=dim¯ΜBE=t.由(1)式可以看出:a)若dimBCd及dimBC*d均存在,则∀E∈Md,dimHE=dimPE=dimBE=dimBC*d=dimBCd.