四川省金堂中学2024届高二数学第一学期期末检测试题含解析

四川省金堂中学2024届高二数学第一学期期末检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知平面法向量为，，则直线与平面的位置关系为A. B.C.与相交但不垂直 D.2．在中，若，，则外接圆半径为（）A. B.C. D.3．袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“文、明、中、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（）A. B.C. D.4．若直线与直线垂直，则a的值为（）A.2 B.1C. D.5．设太阳光线垂直于平面，在阳光下任意转动棱长为一个单位的立方体，则它在平面上的投影面积的最大值是（）A.1 B.C. D.6．设正方体的棱长为，则点到平面的距离是（）A. B.C. D.7．在中，若，则（）A.150° B.120°C.60° D.30°8．已知实数x，y满足，则的取值范围是（）A. B.C. D.9．某校去年有1100名同学参加高考，从中随机抽取50名同学总成绩进行分析，在这个调查中，下列叙述错误的是A.总体是：1100名同学的总成绩 B.个体是：每一名同学C.样本是：50名同学的总成绩 D.样本容量是：5010．过两点、的直线的倾斜角为，则的值为（）A.或 B.C. D.11．圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．直线l：与椭圆C：相切于点P，椭圆C的焦点为，，由光学性质知直线，与l的夹角相等，则的角平分线所在的直线的方程为（）A. B.C. D.12．已知函数的导数为，则等于（）A.0 B.1C.2 D.4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知的顶点A(1，5)，边AB上的中线CM所在的直线方程为，边AC上的高BH所在直线方程为，求（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程；14．有一道楼梯共10阶，小王同学要登上这道楼梯，登楼梯时每步随机选择一步一阶或一步两阶，小王同学7步登完楼梯的概率为___________.15．如图，图形中的圆是正方形的内切圆，点E，F，G，H为对角线与圆的交点，若向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影部分区域内的概率为_________16．已知函数的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，则的外接圆E的方程是________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某高校自主招生考试分笔试与面试两部分，每部分考试成绩只记“通过”与“不通过”，两部分考试都“通过”者，则考试“通过”，并给予录取.甲、乙两人在笔试中“通过”的概率依次为，在面试中“通过”的概率依次为，笔试和面试是否“通过”是独立的，那么（1）甲、乙两人都参加此高校的自主招生考试，谁获得录取的可能性大？（2）甲、乙两人都参加此高校的自主招生考试，求恰有一人获得录取的概率.18．（12分）已知函数在区间上有最大值和最小值（1）求实数、的值；（2）设，若不等式，在上恒成立，求实数的取值范围19．（12分）在平面直角坐标系中，双曲线的左、右两个焦点为、，动点P满足（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）设过且不垂直于坐标轴的动直线l交轨迹E于A、B两点，问：线段上是否存在一点D，使得以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形？若存在，请给出证明：若不存在，请说明理由20．（12分）已知，，函数，直线是函数图象的一条对称轴（1）求函数的解析式及单调递增区间；（2）若，，的面积为，求的周长21．（12分）已知，是椭圆：的左、右焦点，离心率为，点A在椭圆C上，且的周长为.（1）求椭圆C的方程；（2）若B为椭圆C上顶点，过的直线与椭圆C交于两个不同点P、Q，直线BP与x轴交于点M，直线BQ与x轴交于点N，判断是否为定值.若是，求出定值，若不是，请说明理由.22．（10分）已知椭圆C：短轴长为2，且点在C上（1）求椭圆C的标准方程；（2）设、为椭圆的左、右焦点，过的直线l交椭圆C与A、B两点，若的面积是，求直线l的方程

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】.本题选择A选项.2、A【解析】根据三角形面积公式求出c，再由余弦定理求出a，根据正弦定理即可求外接圆半径.【详解】,,,解得由正弦定理可得：，所以故选：A3、A【解析】利用古典概型的概率公式求解.【详解】因为随机模拟产生了以下18组随机数：，其中恰好第三次就停止包含的基本事件有：023,123,132共3个，所以由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为，故选：A4、A【解析】根据两条直线垂直的条件列方程，解方程求得的值.【详解】由于直线与直线垂直，所以，解得.故选：A5、C【解析】确定正方体投影面积最大时,是投影面与平面AB'C平行，从而求出投影面积的最大值.【详解】设正方体投影最大时，是投影面与平面AB'C平行，三个面的投影为两个全等的菱形，其对角线为，即投影面上三条对角线构成边长为的等边三角形，如图所示，所以投影面积为故选：C6、D【解析】建立空间直角坐标系，根据空间向量所学点到面的距离公式求解即可.【详解】建立如下图所示空间直角坐标系，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴.因为正方体的边长为4，所以，，，，，所以，，，设平面的法向量，所以，，即，设，所以，，即，设点到平面的距离为，所以，故选：D.7、C【解析】根据正弦定理将化为边之间的关系，再结合余弦定理可得答案.【详解】若,则根据正弦定理得：，即,而，故，故选：C.8、B【解析】实数，满足，通过讨论，得到其图象是椭圆、双曲线的一部分组成的图形，借助图象分析可得的取值就是图象上一点到直线距离范围的2倍，求出切线方程根据平行直线距离公式算出最小值，和最大值的极限值即可得出答案.【详解】因为实数，满足，所以当时，，其图象是位于第一象限，焦点在轴上的双曲线的一部分（含点），当时，其图象是位于第四象限，焦点在轴上的椭圆的一部分，当时，其图象不存在，当时，其图象是位于第三象限，焦点在轴上的双曲线的一部分，作出椭圆和双曲线的图象，其中图象如下：任意一点到直线的距离所以，结合图象可得的范围就是图象上一点到直线距离范围的2倍，双曲线，其中一条渐近线与直线平行，通过图形可得当曲线上一点位于时，取得最小值，无最大值，小于两平行线与之间的距离的倍，设与其图像在第一象限相切于点，由因为或（舍去）所以直线与直线的距离为此时，所以的取值范围是故选：B【点睛】三种距离公式：（1）两点间的距离公式：平面上任意两点间的距离公式为；（2）点到直线的距离公式：点到直线的距离;（3）两平行直线间的距离公式：两条平行直线与间的距离.9、B【解析】采用逐一验证法，根据总体，个体，样本的概念，可得结果.【详解】据题意：总体是1100名同学的总成绩，故A正确个体是每名同学的总成绩，故B错样本是50名同学的总成绩，故C正确样本容量是：50，故D正确故选：B【点睛】本题考查总体，个体，样本的概念，属基础题.10、D【解析】利用斜率公式可得出关于实数的等式与不等式，由此可解得实数的值.详解】由斜率公式可得，即，解得.故选：D.11、A【解析】先求得点坐标，然后求得的角平分线所在的直线的方程.【详解】，直线的斜率为，由于直线，与l的夹角相等，则的角平分线所在的直线的斜率为，所以所求直线方程为.故选：A12、A【解析】先对函数求导，然后代值计算即可【详解】因为，所以.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、（1）；（2）.【解析】（1）设出点C的坐标，进而根据点C在中线上及求得答案；（2）设出点B的坐标，进而求出点M的坐标，然后根据中线的方程及求出点B的坐标，进而求出直线BC的方程.【小问1详解】设C点的坐标为，则由题知，即.【小问2详解】设B点的坐标为，则中点M坐标代入中线CM方程则由题知，即，又，则，所以直线BC方程为.14、【解析】由题意可分为步、步、步、步、步、步共6种情况，分别求出每种的基本事件数，再利用古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：由题意可分为步、步、步、步、步、步共6种情况，①步：即步两阶，有种；②步：即步两阶与步一阶，有种；③步：即步两阶与步一阶，有种；④步：即步两阶与步一阶，有种；⑤步：即步两阶与步一阶，有种；⑥步：即步一阶，有种；综上可得一共有种情况，满足7步登完楼梯的有种；故7步登完楼梯的概率为故答案为：15、【解析】利用几何概型概率计算公式，计算得所求概率.【详解】设正方形的边长为2，则阴影部分的面积为，故若向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影部分区域内概率为故答案为：.16、【解析】由题可求三角形三顶点的坐标，三角形的外接圆的方程即求.【详解】令，得或，则，∴外接圆的圆心的横坐标为2，设，半径为r，由，得，则，即，得，.∴的外接圆的方程为.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）甲获得录取的可能性大；（2）【解析】（1）利用独立事件的乘法公式求出甲、乙两人被录取的概率并比较大小，即得结果.（2）应用对立事件、独立事件的概率求法，结合互斥事件的加法公式求恰有一人获得录取的概率.【小问1详解】记“甲通过笔试”为事件，“甲通过面试”为事件，“甲获得录取”为事件A，“乙通过笔试”为事件，“乙通过面试”为事件，“乙获得录取”为事件B，则，，即，所以甲获得录取的可能性大.【小问2详解】记“甲乙两人恰有一人获得录取”为事件C，则.18、（1），；（2）.【解析】（1）分析函数在区间上的单调性，结合已知条件可得出关于实数、的方程组，即可解得实数、的值；（2）由（1）可得，利用参变量分离法可得出，利用单调性求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围.【小问1详解】解：的对称轴是，又，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，当时，取最小值，当时，取最大值，即，解得.【小问2详解】解：由（1）知：，所以，，又，，令，则在上是增函数．所以，，要使在上恒成立，只需，因此，实数的取值范围为19、（1）；（2）存在，理由见解析.【解析】（1）根据题意用定义法求解轨迹方程；（2）在第一问的基础上，设出直线l的方程，联立椭圆方程，用韦达定理表达出两根之和，两根之积，求出直线l的垂直平分线，从而得到D点坐标，证明出结论.【小问1详解】由题意得：，所以，，而，故动点P的轨迹E的方程为以点、为焦点的椭圆方程，由得：，，所以动点P的轨迹E的方程为；【小问2详解】存，理由如下：显然，直线l的斜率存在，设为，联立椭圆方程得：，设，，则，，要想以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，则点D为AB垂直平分线上一点，其中，，则，故AB的中点坐标为，则AB的垂直平分线为：，令得：，且无论为何值，，点D在线段上，满足题意.20、（1），单调递增区间为.（2）【解析】（1）先利用向量数量积运算、二倍角公式、辅助角公式求出，再求单增区间；（2）利用面积公式求出，再利用余弦定理求出，即可求出周长.小问1详解】已知，，函数，所以.因为直线是函数图象的一条对称轴，所以,所以，又，所以当k=0时，符合题意，此时要求的单调递增区间，只需,解得：，所以的单调递增区间为.【小问2详解】由于，所以，所以.因为，所以.因为的面积为，所以，即，解得：.又，由余弦定理可得：，即，所以，所以，所以的周长.21、（1）（2）【解析】（1）利用椭圆的定义可得，而离心率，解方程组，即可得解；（2）设直线的方程为，将其与椭圆的方程联立，由，，三点的坐标写出直线，的方程，进而知点，的坐标，再结合韦达定理，进行化简，即可得解【小问1详解】解：因为的周长为，所以，即，又离心率，所以，，所以，故椭圆的方程为【小问2详解】