专题03利用向量法求线线角线面角二面角及距离问题（知识梳理专题过关）（原卷版）

专题03利用向量法求线线角、线面角、二面角及距离问题【知识梳理】（1）异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则．（2）线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为与所成角的大小，则．（3）二面角公式：设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中．（4）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算．如图，设两条异面直线的公垂线的方向向量为，这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离．则即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值．（5）点到平面的距离为平面外一点（如图），为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线．（6）点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算．（7）在直线上找一点，过定点且垂直于直线的向量为，则定点到直线的距离为．【专题过关】【考点目录】考点1：异面直线所成角考点2：线面角考点3：二面角考点4：点到直线的距离考点5：点到平面的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离考点6：异面直线的距离【典型例题】考点1：异面直线所成角1．（2022·贵州·遵义市第五高二期中（理））在三棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC，M、N分别为AC、AB的中点，则异面直线PN和BM所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．2．（2022·四川省成都市新都高二期中（理））将正方形沿对角线折起，使得平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．3．（2022·新疆·乌苏市第一高二期中（理））如图，在直三棱柱中，，，，，则与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．4．（2022·福建宁德·高二期中）若异面直线，的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角的余弦值等于（

）A． B． C． D．5．（2022·河南·焦作市第一高二期中（理））已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，平面，线段的中点分别为，，若异面直线与所成角的余弦值为，则（

）A．1 B． C．2 D．36．（2021·广东·深圳市龙岗区德琳高二期中）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，点是侧棱的中点，，则异面直线与所成角的大小为___________.7．（2021·广东·江门市广雅高二期中）如图，在正三棱柱中，、分别是、的中点.设D是线段上的（包括两个端点）动点，当直线与所成角的余弦值为，则线段的长为_______.8．（2021·福建省厦门集美高二期中）如图，在正四棱锥中，为的中点，.已知为直线上一点，且与不重合，若异面直线与所成角为余弦值为，则________.考点2：线面角9．（2022·山东·东营市第一高二期中）如图，在正方体中，棱长为2，M、N分别为、AC的中点．(1)证明：平面；(2)求与平面所成角的大小．10．（2021·黑龙江·哈尔滨七十高二期中（理））如图，已知正四棱柱中，底面边长，侧棱的长为4，过点作的垂线交侧棱于点，交于点．(1)求证：平面；(2)求与平面所成的角的正弦值．11．（2021·河北唐山·高二期中）如图（1），△BCD中，AD是BC边上的高，且∠ACD＝45°，AB＝2AD，E是BD的中点，将△BCD沿AD翻折，使得平面ACD⊥平面ABD，得到的图形如图（2）．(1)求证：AB⊥CD；(2)求直线AE与平面BCE所成角的正弦值．12．（2022·贵州·遵义市第五高二期中（理））如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面ABP，BC//AD，∠PAB=90°，PA=AB=2，AD=3，BC=1，E是PB的中点.(1)证明：PB⊥平面ADE；(2)求直线AP与平面AEC所成角的正弦值.13．（2022·四川省成都市新都高二期中（理））如图，在四棱锥中，平面，，，，，点，分别为棱，的中点．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．14．（2021·福建·厦门大学附属科技高二期中）如图，在四棱锥中，，，点是棱上一点，且满足．(1)求二面角的正弦值；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长．15．（2022·北京市第十二高二期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，E是棱的中点．(1)证明：平面；(2)若，F为棱上一点，与平面所成角的大小为，求的值．16．（2022·江苏·东海县教育局教研室高二期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，点在线段上（不与端点重合），.(1)求证：平面；(2)是否存在点使得直线与平面所成角为30°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.考点3：二面角17．（2022·云南·罗平县第一高二期中）如图，在直三棱柱中，为的中点，交于点，，.(1)求证：平面；(2)求平面与平面的夹角的余弦值.18．（2022·江苏·宝应县教育局教研室高二期中）如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，是的中点．(1)求异面直线与所成角的余弦值；(2)求二面角的正弦值．19．（2021·福建·厦门高二期中）如图，在平行四边形中，，，，四边形为矩形，平面平面，，点在线段上运动．(1)当时，求点的位置；(2)在（1）的条件下，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．20．（2022·四川省内江市第六高二期中（理））如图，直角三角形中，，点在斜边上，且，平面，平面，，．(1)求证：平面；(2)点在线段上，且二面角的余弦值为，求的长度．21．（2022·江苏徐州·高二期中）如图所示，在四棱锥中，，，，且(1)求证：平面平面；(2)已知点是线段上的动点（不与点､重合），若使二面角的大小为，试确定点的位置.22．（2021·湖北十堰·高二期中）如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，(1)证明：平面；(2)在线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在，请说明理由.考点4：点到直线的距离23．（2021·云南大理·高二期中）鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥.如图，在鳖臑中，平面，，，分别是棱，的中点，点是线段的中点，则点到直线的距离是（

）A． B． C． D．24．（2021·河北·石家庄市第十二高二期中）已知直线l的方向向量为，点在直线l上，则点到直线l的距离为（

）A． B． C． D．25．（2021·北京·牛栏山高二期中）在空间直角坐标系中，已知长方体的项点，，，，则点与直线之间的距离为（

）A． B．2 C． D．26．（2021·北京市昌平区第二高二期中）已知空间中三点，，，则点到直线的距离为（

）A． B． C． D．27．（2022·江西南昌·高二期中（理））如图，在棱长为4的正方体中，E为BC的中点，点P在线段上，点Р到直线的距离的最小值为_______.28．（2022·福建龙岩·高二期中）直线l的方向向量为，且l过点，则点到l的距离为___________.29．（2021·山东·嘉祥县第一高二期中）在棱长为2的正方体中，O为平面的中心，E为BC的中点，则点O到直线的距离为________.考点5：点到平面的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离30．（2020·山东省商河县第一高二期中）如图，在正四棱柱中，已知，，E，F分别为，上的点，且．(1)求证：平面ACF：(2)求点B到平面ACF的距离．31．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高二期中）将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则点到平面的距离为______．32．（2022·河南·濮阳一高高二期中（理））如图，在棱长为1的正方体中，若E，F分别是上底棱的中点，则点A到平面的距离为______．33．（2022·山东·济南外国语高二期中）在棱长为的正方体中，平面与平面间的距离是________.34．（多选题）（2020·辽宁·大连高二期中）已知正方体的棱长为，点分别是，的中点，在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（

）A．点到直线的距离是B．点到平面的距离是C．平面与平面间的距离为D．点到直线的距离为考点6：异面直线的距离35．（2021·安徽·合肥市第六高二期中）如图正四棱柱中，，.动点，分别在线段，上，则线段长度的最小值是（

）A． B．C． D．36．（2021·辽宁沈阳·高二期中）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（

）A． B． C． D．37．（2021·上海交大附中高二期中）在正方体中，，则异面直线AB和的距