2023-2024学年九年级数学中考数学复习微专题：一个数形结合模型及其在解题中的运用

一个数形结合模型及其在解题中的运用先介绍一个数形结合模型．代数式可表示成两直角边分别为x和3的直角三角形斜边长，可表示成两直角边分别为12－x和2的直角三角形斜边长，＋表示成两斜边长之和，＋的最小值就是两斜边长之和．这里，两个直角三角形各有一条直角边长不变，另一个直角边之和为一个常数．构造图形如图1．C党=、CE=，C党＋CE=＋，而C党＋CE≥党E，所以C党＋CE的最小值为党E的长，如图2．而C党＋CE的最小值为党E的长，根据图3可求出党E==13，此时x的值可通过△党AC≌△EBC，=，即=，解得x=4．８.我们通过代数式转化为图形(斜边的边长)，结合图形，运用三角形两边之和大于第三边，两点之间线段最短性质得出最短位置，再根据勾股定理及相似知识进行计算．下面谈谈该模型在解题中的应用．一、模型应用1．在直线上找一点，到两已知点距离和最小例1如图4，桌上有一圆柱形玻璃杯，高12cm，底面周长18cm，ABC党是它的轴截面，在杯内壁离杯口3cm的Q处(即BQ=3)有一滴蜜糖，一条小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至相对方向离桌面3cm的P处(即党P=3)时，突然发现了蜜糖，问小虫至少要爬多少路才能到达蜜糖所在的位置?分析把圆柱侧面展开，如右图所示．小虫在外壁P，一定要通过杯口即展开图中线段BC上一点H到内壁Q，要求PH+HQ的最小值．按照上述模型解题思路，第一步求出PH、HQ的代数式，第二步画出对应图形，第三步根据图形运用勾股定理知识解决．解设CH=a，∵BC=9，∴BH=9－a；又BQ=3，CP=9．∴PH=,HQ=∴PH+HQ=+．根据代数式构造图形如图5．PH+HQ的最小值为PQ==15．2．在一条直线上找一定长线段，使它两端分别到两已知点距离和最小例2如图6，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，党为边OB的中点．若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形C党EF的周长最小时，求点E、F的坐标．分析先在OA上任意找两点E、F，连结党E、CF，得到四边形C党EF．分析题目，四边形C党EF周长等于党E+EF+FC+C党，而C党与EF长不变，故只要党E+CF和最小．按照上述模型解题思路，第一步求出党E、CF的代数式，第二步画出对应图形，第三步根据图形运用相似三角形知识解决．解设E(a，0)、F(a+2，0)，故OE=a，AF=3－(a+2)=1－a．因为党是OB的中点，所以O党=2．又因为AC=4，所以党E+CF=+。根据代数式构造图形，如图7．∵Rt△EAC≌Rt△党BC，∴=，即=，解得a=，∴E(，0)、F(，0)．3．将一图形左右平移，使平移后图像上两点与一个已知点距离之和最小例3如图8，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=－x2+(m－1)x+4m，的图像与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B(0，4)，已知点E(0，1)．如图，将△AEO沿x轴向右平移得到△A'E'O'，连结A'B、BE'．设AA'=n，其中0<n<2，当A'B+BE'取得最小值时，求点E'的坐标．解根据题意易求得m=1，A(－2，0)．设A'(－2+n，0)、E'(n，1)，A'B+BE'=+．根据代数式构造图形，如图9．∵Rt△EAC～Rt△党BC，∴=，即=，解得n=．∴E'(，1)．4．将一图形左右平移，使平移后图像上两点分别与两个已知点距离之和最小例4如图10，直线y=2x+6上有两点A(－3．5，n)、B(－1，m)，y轴上有两点C(0，2)、党(0，3)，现将直线y=2x+6左右平移，点A平移后对应点记作A'，点B平移后对应点记作B'，若A'C+B'党最小，求平移后的直线解析式．解易求出n=1，m=4．设直线向右平移a个单位，A'(－3．5+a，1)、B'(－1+a，4)，A'C+B'党=+．因为3．5－a与l－a的和不是一个常数，而(1－a)2=(a－1)2，故A'C+B'党=+．根据代数式构造图形，如图11．∵Rt△EAC～Rt△党BC，∴=，即=，解得a=2．25，∴需要将直线向右平移2．25个单位，平移后的直线为y=2(x－2．25)+6，即y=2x+1．5．5．综合应用例5如图12，已知点A(－4，8)和B(2，n)在抛物线y=ax2上．(1)求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标．(2)平移抛物线y=ax2，记平移后点A的对应点为A'，点B的对应点为B'，点C(－2，0)和点党(－4，0)是x轴上的两个定点．①当抛物线向左平移到某个位置时，A'C+CB'最短，求此时抛物线的函数解析式；②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A'B'C党的周长最短?若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．分析这道题目3个问题都是求两线段和最小，分别属于模型应用1、3、4，只需按照模型解题思路，第一步求出对应两线段代数式，第二步根据对应代数式画出相应图形，第三步根据图形运用勾股定理或相似知识进行计算．解(1)易求a=，B关于x轴对称点P(2，－2)，抛物线为y=x2．设Q(a，0)，AQ+BQ=+．根据代数式构造图形，如图13．∵Rt△EAC～Rt△党BC，∴=，即=，解得a=，∴Q(，0)．(2)设抛物线向左平移a个单位，如图14，则A'(－4－a，8)、B'(2－a，2)，A'C+CB'=+．根据代数式构造图形，如图15．∵Rt△EAC∽Rt△党BC，∴=，即=，解得a=，∴抛物线y=x2向左平移个单位后解析式为y=+(x+)2(3)设抛物线向左平移a个单位，如图16．则A'(－4－a，8)、B'(2－a，2)．因为C党、A'B'长度已知，四边形A'B'C党周长最小实质就是A'党+B'C最小．A'党+CB'=+，根据代数式构造图形，如图17．∵Rt△EAC～Rt△党BC∴=，